3.1 Határállapotok és repedéstágasság számítása

Repedéstágasság-számítás

A repedéstágasság meghatározására két módszer létezik – stabilizált és nem stabilizált repedésképződés. A szerkezet egyes részein a geometriai vasalási arány alapján kerül eldöntésre, melyik repedésszámítási modellt kell alkalmazni (TCM a stabilizált repedésképződéshez és POM a nem stabilizált repedésképződési modellhez).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Míg a CSFM a legtöbb ellenőrzéshez (pl. teherbírás, alakváltozás…) közvetlen eredményt ad, a repedéstágasság eredményeit a végeselemes analízis által közvetlenül biztosított vasalási alakváltozási eredményekből számítjuk, a 20. ábrán bemutatott módszertan szerint. A modell alapfeltevéseivel összhangban egy csúszás nélküli repedéskinematikát (tiszta repedésnyílás) veszünk figyelembe (20a. ábra). A feszültségek és alakváltozások főirányai határozzák meg a repedések dőlésszögét (θ_r = θ_s= θ_e). A (20b. ábra) szerint a repedéstágasság (w) a vasbetét irányába projektálható (w_b), amelyből következik:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

ahol θ_b a vasbetét dőlésszöge.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a program θ_r és θ_b < π/2 értékeket jelenít meg. Ez azt jelenti, hogy az előző egyenlet azokra az esetekre érvényes, amikor a vasbetét és a repedés a Descartes-féle koordinátarendszer különböző síknegyedein halad át, ahogy azt a 20. ábra mutatja, ahol a vasbetét az I. és III. síknegyeden, a repedés a II. és IV. síknegyeden halad át. Azokra az esetekre, ahol a vasbetét és a repedés azonos síknegyeden halad át, az egyenletet a következőképpen kell módosítani:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

A w_b komponenst mindig a húzási merevítő hatás modellek alapján számítjuk, a vasalási alakváltozások integrálásával. Azoknál a tartományoknál, ahol a repedésminta teljesen kialakult, a vasbetétek mentén számított átlagos alakváltozásokat (e_m) közvetlenül integráljuk a repedésköz (s_r) mentén, ahogy a (20c. ábra) jelzi. Bár ez a repedésirányok számítási megközelítése nem felel meg a repedések valódi helyzetének, mégis olyan reprezentatív értékeket ad, amelyek eredményeként kapott repedéstágasság-értékek összehasonlíthatók a vasbetét helyén szabvány által előírt repedéstágasság-értékekkel.

Speciális helyzetek figyelhetők meg a számított szerkezet konkáv sarkainál. Ebben az esetben a sarok előre meghatározza egy egyedi repedés helyzetét, amely nem stabilizált módon viselkedik, mielőtt további szomszédos repedések kialakulnának. Ezek a további repedések általában a használhatósági tartományon túl alakulnak ki (Mata-Falcón 2015), ami indokolja, hogy az ilyen tartományban a repedéstágasságot úgy számítsuk, mintha nem stabilizált lenne (21. ábra).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Húzási merevítő hatás

A húzási merevítő hatás megvalósítása megkülönbözteti a stabilizált és nem stabilizált repedésminták eseteit. Mindkét esetben a beton alapértelmezés szerint terhelés előtt teljesen berepedtnek tekintendő.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Stabilizált repedésképződés

Teljesen kialakult repedésmintáknál a húzási merevítő hatást a Tension Chord Model (TCM) segítségével vesszük figyelembe (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – 22a. ábra –, amely egyszerűsége ellenére kiváló válaszpredikciókat eredményez (Burns 2012). A TCM egy lépcsőzött, rugalmas-tökéletesen képlékeny kötőfeszültség-csúszás összefüggést tételez fel, τ_b = τ_b0 =2 f_ctm értékkel σ_s ≤ f_y esetén, és τ_b =τ_b1 = f_ctm értékkel σ_s > f_y esetén. Minden vasbetétet húzott rúdként (tension chord) kezelve – 22b. és 22a. ábra –, a kötőfeszültség, az acél és a beton feszültségeinek eloszlása, és így a két repedés közötti alakváltozás-eloszlás meghatározható a repedéseknél fellépő maximális acélfeszültségek (vagy alakváltozások) tetszőleges értékéhez.

s_r = s_r0 esetén egy új repedés kialakulhat vagy nem, mivel a két repedés közötti középpontban σ_c1 = f_ct. Következésképpen a repedésköz akár kétszeres tényezővel is változhat, azaz s_r = λs_r0, ahol l = 0,5…1,0. Feltételezve egy adott λ értéket, a húzott rúd átlagos alakváltozása (ε_m) a vasalás maximális feszültségeinek (azaz a repedéseknél mért σ_sr feszültségeknek) függvényeként fejezhető ki. A CSFM-ben alapértelmezés szerint figyelembe vett idealizált bilineáris feszültség-alakváltozás diagramra a következő zárt alakú analitikai kifejezéseket kapjuk (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

ahol:
E_sh           az acél keményedési modulusa E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            a vasalás rugalmassági modulusa,

Ø            a vasbetét átmérője,

s_r                repedésköz,

σ_sr           a vasalás feszültségei a repedéseknél,

σ_s            a vasalás tényleges feszültségei,

f_y                a vasalás folyáshatára.

Az Idea StatiCa Detail CSFM-implementációja alapértelmezés szerint az átlagos repedésközt veszi figyelembe a számítógéppel támogatott feszültségmező-analízis elvégzésekor. Az átlagos repedésköz a maximális repedésköz 2/3-ának tekintendő (λ = 0,67), ami hajlítási és húzási vizsgálatok alapján tett ajánlásokat követi (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Meg kell jegyezni, hogy a repedéstágasság számításai a maximális repedésközt (λ = 1,0) veszik figyelembe, hogy konzervatív értékeket kapjunk.

A TCM alkalmazása a vasalási aránytól függ, ezért kulcsfontosságú, hogy minden vasbetéthez a megfelelő, a repedések közötti húzott állapotban lévő betonterületet rendeljük hozzá. Egy automatikus numerikus eljárást fejlesztettek ki a megfelelő effektív vasalási arány (ρ_eff = A_s/A_c,eff) bármely elrendezés esetén, beleértve a ferde vasalást is (23. ábra).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Nem stabilizált repedésképződés

A ρ_cr-nél kisebb geometriai vasalási arányú tartományokban – azaz annál a minimális vasalási mennyiségnél, amely mellett a vasalás képes a repedésteher felvételére folyás nélkül – kialakuló repedések nem mechanikai hatások (pl. zsugorodás) vagy más vasalás által vezérelt repedések terjedése révén jönnek létre. Ennek a minimális vasalásnak az értéke a következőképpen adódik:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

ahol:

f_y              a vasalás folyáshatára,

f_ct             a beton húzószilárdsága,

n              rugalmassági modulusok aránya, n = E_s / E_c .

Hagyományos beton és betonvasalás esetén a ρ_cr értéke körülbelül 0,6%.

Azoknál a kengyeleknél, amelyeknek vasalási aránya ρ_cr alatt van, a repedésképződés nem stabilizáltnak tekintendő, és a húzási merevítő hatás megvalósítása a Pull-Out Model (POM) segítségével történik, amelyet a 22b. ábra mutat be. Ez a modell egyetlen repedés viselkedését vizsgálja, feltételezve, hogy az egyes repedések között nincs mechanikai kölcsönhatás, elhanyagolva a beton húzási alakváltozó képességét, és azonos lépcsőzött, rugalmas-tökéletesen képlékeny kötőfeszültség-csúszás összefüggést alkalmazva, mint a TCM esetében. Ez lehetővé teszi, hogy a repedés közelében a vasalás alakváltozás-eloszlása (ε_s) bármely, a repedésnél fellépő maximális acélfeszültséghez (σ_sr) közvetlenül az egyensúlyból meghatározható legyen. Mivel a repedésköz nem ismert egy még nem teljesen kialakult repedésminta esetén, az átlagos alakváltozást (ε_m) bármely terhelési szinthez azon a távolságon számítjuk, amely a nulla csúszású pontok között van, amikor a vasbetét eléri a húzószilárdságát (f_t) a repedésnél (l_ε,avg a 22b. ábrán), amiből a következő összefüggések adódnak:

A javasolt modellek lehetővé teszik a végleges analízisben figyelembe vett kötött vasalás viselkedésének kiszámítását. Ezt a viselkedést (a húzási merevítő hatást is beleértve) a leggyakoribb európai betonvasalás típusra (B500B, f_t / f_y = 1,08 és ε_u = 5% értékekkel) a 22c-d. ábra szemlélteti.