균열

균열의 형성

휨 또는 인장 응력을 받는 철근 콘크리트 구조물의 특징적인 현상은, 콘크리트의 인장 응력이 콘크리트의 인장 강도를 초과하는 지점에서 균열 파괴가 발생한다는 것입니다. 구조물의 내구성과 미관을 위해, 발생하는 균열이 가능한 한 작게 유지되도록 하는 것이 중요합니다. 균열 폭의 계산 및 각 노출 등급에 허용되는 최대 폭은 EN 1992-1-1, 7.3장에 규정되어 있습니다.

계산의 첫 번째 단계에서는 단면이 균열 상태인지 여부를 판단합니다. 균열 폭 자체는 항상 준영구 또는 빈번 하중 조합(국가 부속서에 따라 다름)으로부터 계산되지만, 균열 형성은 모든 규정된 SLS 조합에 대해 검토되어야 합니다. 따라서 두 가지 경우가 발생할 수 있습니다:

• 어떠한 하중 조합(준영구 M_E,qp, 빈번 M_E,fr, 또는 특성값 M_E,k)에서도 콘크리트 섬유의 최대 인장 응력이 콘크리트의 인장 강도를 초과하지 않는 경우, 단면은 비균열 상태로 간주합니다.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• 어떠한 조합(준영구, 빈번, 또는 특성값)에서 균열이 발생하는 경우, 즉 고려된 하중 조합에서 발생한 휨 모멘트가 임계 모멘트 M_cr보다 큰 경우, 해당 하중 조합에서 단면은 균열 상태이며, 균열 단면의 특성 및 균열 폭을 계산해야 합니다.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   어떤 SLS 하중 조합에서 구한 휨 모멘트. 따라서 M_E,qp, M_E,fr, 또는 M_E,k일 수 있습니다. 

f_ct,ef   .   .  고려 시점에서의 콘크리트 인장 강도. 콘크리트 재령이 28일을 초과하는 경우, f_ctm과 동일한 강도를 적용합니다.

균열 폭 계산

휨 하중을 받는 부재에서 균열 형성은 2가지 현상으로 구분됩니다:

• 균열 형성 단계 (그림 1의 단계 2)
• 안정화된 균열 발전 (그림 1의 단계 3)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

균열 발전 단계

이 단계는 부재의 인장 부분 전체에 걸쳐 균열이 대략 균등하게 분포될 때까지 개별 균열이 점진적으로 나타나는 초기 과정입니다. 인장 스트립의 힘이 임계 인장력 N_r(아래의 임계 인장력 참조)을 초과할 때 첫 번째 균열이 형성되며, 인장 스트립의 힘이 약 1.3N_cr에 해당하는 하중 수준까지 추가 균열이 발전합니다(그림 1의 단계 2).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

발전하는 균열은 1차 균열과 2차 균열의 2가지 유형으로 구분됩니다. 1차 균열은 콘크리트의 유효 인장 강도(f_ct,eff)에 도달할 때 인장 섬유에서 발생합니다. 1차 균열은 최초 균열 패턴을 나타냅니다(그림 2). 이후 1차 균열 사이에 더 짧은 2차 균열이 형성됩니다(그림 3). 약 1.2~1.5 σ_sr에 해당하는 응력(일반적으로 평균값 1.3 σ_sr을 적용하며, 여기서 σ_sr은 콘크리트 인장 구역에서 1차 균열 형성 시 철근의 응력)에서 2차 균열의 발전도 완료됩니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

균열 형성 단계에서의 균열 폭은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

안정화된 균열 단계

인장 구역의 임계력의 약 1.3배를 초과한 후에는 새로운 균열이 형성되지 않으며, 부재 내 균열 수가 안정화되고 추가 하중에 따라 기존 균열의 폭만 증가합니다(그림 1의 단계 3).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

안정화된 발전 단계에서의 균열 폭은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

임계 인장력

계산은 인장 코드 모델(TCM)을 기반으로 합니다. 기본 고려 사항은 유효 단면적 A_s,eff의 철근봉과 이를 둘러싼 유효 인장 콘크리트 단면적 A_c,eff로 구성된 철근 콘크리트 스트립의 극한 내력을 계산하는 것으로, 인장 강도 f_ct,eff가 초과될 때까지 인장 응력에 저항할 수 있습니다(일반적으로 f_ctm을 적용). 철근과 콘크리트 사이의 완전 부착을 가정하면, 첫 번째 균열이 발생하기 전까지 철근과 주변 콘크리트의 변형이 동일하다고 볼 수 있습니다. 그러면 첫 번째 균열 직전 인장 스트립의 최대 힘 N_r을 다음과 같이 결정할 수 있습니다:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

다음의 치환을 도입하면

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

다음을 얻습니다:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

첫 번째 균열 형성 직후, 전체 힘 N_r은 철근에 의해 전달되며, 따라서 방금 형성된 균열을 통과하는 철근의 응력은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

EC 1992-1-1에 따른 균열 폭 계산

철근 콘크리트 부재의 균열 폭 계산에는 다음 식이 사용됩니다:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   최대 균열 간격

ε_sm  .   .   .   .   인장 강성 효과를 포함한 하중 조합에 의한 철근의 평균 변형률.

ε_cm  .   .   .   .   균열 사이 콘크리트의 평균 변형률

변형률 차이의 계산

균열 사이 철근과 콘크리트의 변형률 차이는 다음 식으로 구할 수 있습니다:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   고려 중인 하중 조합에서 균열 내 철근의 응력

k_t      .   .   .   .   하중 지속 시간에 따른 평균 변형률을 고려하는 경험적 계수. 단기 해석의 경우 0.6의 값을 취할 수 있습니다. 장기 해석의 경우, 복합 단면의 강성이 약 70%로 감소하는 것을 고려하여 값은 0.4이며, 이는 시간에 따른 철근과 콘크리트 사이의 부착 저하율을 포함합니다.

α_e     .   .   .   . 유효 탄성계수 비

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   유효 철근비

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   철근을 둘러싼 인장 콘크리트의 유효 단면적 (아래의 A_c,eff 결정 참조)

A_s,_eff .   .   .   .   A_c,_eff 영역 내에 위치한 부착 철근의 단면적

A_p´    .   .   .   .   A_c,_eff 내의 프리텐션 또는 포스트텐션 텐던의 단면적

ξ₁  .   .   .   .   .   프리스트레싱 강재와 철근의 직경 차이를 고려한 조정된 부착 강도 비:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . 프리스트레싱 강재와 철근의 부착 강도 비 (표 6.2)

ϕ_s   .   .  철근의 최대 철근봉 직경

ϕ_p   .   .  프리스트레싱 강재의 직경 또는 등가 직경

다발 강연선의 경우, A_p는 텐던 내 철근의 단면적입니다

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

φ_wire가 소선 직경인 단일 7선 강연선의 경우

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

φ_wire가 소선 직경인 단일 3선 강연선의 경우

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

균열 방지를 위해 프리스트레싱 철근만 사용하는 경우, 다음을 고려해야 합니다.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

프리스트레스트 부재에서는 특성 하중 조합 및 프리스트레싱력의 특성값 하에서 어떠한 섬유의 인장 응력도 콘크리트의 인장 강도 f_ct,eff를 초과하지 않는 한, 최소 부착 철근량은 요구되지 않습니다. (자세한 내용은 EN 1992-1-1 7.3.2절 참조)

인장 콘크리트의 유효 단면적

계산에서 중요하면서도 가장 복잡한 단계는 철근을 둘러싼 인장 콘크리트의 유효 단면적을 결정하는 것입니다. 유로코드와 모델 코드 모두 철근 콘크리트 부재가 단축 휨 또는 인장을 받는 단순 하중 모드를 고려합니다. 유효 높이의 값은 다음과 같이 결정됩니다:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

일반적으로 h_c,eff = 2,5(h-d) 값이 지배적입니다. 인장 부재의 경우 상한값은 h/2이며, 휨 부재의 경우 (h-x)/3입니다. 그러나 A_c,eff는 식 5(c+ϕ/2)로 결정되는 폭에 의해서도 제한됩니다. 철근 간격이 5(c+ϕ/2)보다 큰 경우, 개별 철근봉에 대해 폭 5(c+ϕ/2)의 인장 콘크리트 유효 단면적을 적용합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

최대 균열 간격

최대 균열 간격 s_r,max를 계산할 때 두 가지 경우가 발생할 수 있습니다:

• 부착 철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2)를 초과하지 않는 경우 - 그림 9a
• 부착 철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2)를 초과하는 경우 - 그림 9b

철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2)를 초과하지 않는 경우의 최대 균열 간격 s_r,max 계산은 다음과 같이 정의됩니다:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   mm 단위의 콘크리트 피복 값. 피복 값은 수평 및 수직 모서리에 대한 단부 철근에 따라 다를 수 있으므로, 고려 중인 철근에서 발견된 최대 피복 값을 적용하는 것이 권장됩니다.

ϕ     .   .   .   .   부착 철근의 직경. 철근 직경이 다른 경우, EN 1992-1-1 식 7.12에 따라 등가 직경을 계산해야 합니다.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . 부착 철근의 부착 특성을 고려하는 계수

• k₁ = 0,8 고부착 철근봉의 경우
• k₁ = 1,6 유효 평활 표면을 가진 철근봉의 경우 (예: 프리스트레싱 텐던)

k₂ .   .   .   . 변형률 분포를 고려하는 계수

• k₂ = 1,0 휨의 경우
• k₂ = 0,5 순수 인장의 경우

편심 인장 또는 국부 영역의 경우, 다음 관계식으로 계산할 수 있는 k₂의 중간값을 사용해야 합니다:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  균열 근처 영역에서 콘크리트와 철근 사이의 부착이 파괴된 길이를 나타내는 계수. 기본 EC 권장값 k₃ = 3,4는 국가 부속서에 의해 수정될 수 있습니다. 

k₄      .   .   .   .   콘크리트의 부착 강도와 인장 강도 사이의 관계를 나타내는 계수. 기본 EC 권장값 k4 = 0.425는 국가 부속서에 의해 조정될 수 있습니다.

철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2)를 초과하는 경우의 최대 균열 간격 s_r,max 계산은 다음과 같이 정의됩니다:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

다음 식에 따른 최대 균열 간격 값

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

은 항상 다음 식으로 결정된 값보다 커야 합니다

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

그렇지 않은 경우, 위의 식에서 구한 더 큰 간격을 적용하는 것이 권장됩니다. 콘크리트/철근의 변형률 식은 철근의 축 간격이 큰 경우에도 수정되지 않습니다. 균열 폭이 제어되는 영역에서 개별 철근의 축 간격은 5(c+ϕ/2)를 초과하지 않아야 합니다.

RCS에 구현된 균열 폭 계산

유효 단면적 A_c,eff 결정

균열 저항 종방향 철근으로 고려할 수 있는 철근을 결정하는 것이 간단하지 않으므로, A_c,eff는 다음의 반복 과정을 통해 결정됩니다.

• 인장력을 받는 모든 철근 중에서 인장력 중심 C_g,s,1을 결정합니다. 철근의 유효 깊이 d는 C_g,s와 합성 휨 모멘트 방향으로 계산된 최대 압축 콘크리트 섬유 사이의 거리입니다. 동시에 중립축의 위치와 균열 단면에 대한 압축 영역의 높이 x를 결정합니다. 이를 통해 유효 높이 h_c,eff를 결정할 수 있습니다:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• A_c,eff,1 외부에 위치한 모든 철근을 제외함으로써, 새로운 철근 중심 C_g,s,2와 새로운 철근 유효 깊이 d를 결정하고, 유효 높이 h_c,eff는 변경된 입력값으로 이전 단계와 동일한 방법으로 결정됩니다.

다시 한번, 고려 중인 모든 인장 철근이 A_c,eff,2 내에 위치하는지 확인합니다. 이 조건이 충족되면 반복을 종료할 수 있으며, h_c,eff,2, A_c,eff,2 및 A_s,eff,2의 값이 IDEA StatiCa RCS의 결과값으로 표시됩니다.

균열 폭 계산의 가능한 경우

일반적으로 균열 폭 계산 시 세 가지 경우가 발생할 수 있습니다:

• 인장 철근이 A_c,eff 영역 내에 위치하고, 개별 철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2) 미만인 경우. 이때 계산에 다음 정의를 사용합니다:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• 인장 철근이 A_c,eff 내에 위치하고, 개별 철근의 축 간격이 5(c+ϕ/2)를 초과하는 경우. 이때 계산에 다음 정의를 사용합니다:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• 인장 철근이 A_c,eff 내에 위치하지 않는 경우 (예를 들어 두꺼운 피복으로 인해 발생할 수 있음). 

이 경우 균열 폭을 계산하는 것이 불가능합니다. 따라서 유효 높이 h_c,eff의 계산은 다음과 같이 수정됩니다:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

동시에 다음의 부적합 사항이 표시됩니다:

깊이 h_c,eff의 철근 또는 프리스트레싱 텐던을 둘러싼 인장 콘크리트의 유효 단면적으로, h_c,eff는 2.5(h – d) 또는 h/2 중 작은 값입니다. (h – x)/3을 값으로 고려할 때, 철근이 인장 콘크리트의 유효 영역 밖에 위치하므로 7.3.4절에 따른 균열 폭 계산이 불가능합니다.