A törékeny tönkremenetelt tekintve a nyírási ellenőrzés a vasbeton keresztmetszet egyik fontos ellenőrzése.
Számítási eljárás
A nyírási ellenállás számítása több alapvető részből áll. Először meg kell vizsgálni, hogy az ellenőrzött helyen keletkeznek-e hajlítás miatti repedések vagy sem. Ha igen, az EN 1992-1-1 [2] 6.2.2 (1) cikke szerinti számítást kell alkalmazni. Ellenkező esetben meg kell határozni, hogy vasalatlan betonról vagy gyengén vasalt betonról van-e szó, majd az EN 1992-1-1 12.6.3 cikke szerint kell eljárni.
Vasalt, nem repedt beton esetén (nyírási vasalás nélkül) az EN 1992-1-1 6.2.2 (2) cikke szerint ellenőrzünk. Azon elemeknél, ahol nyírási vasalás szükséges, a 6.2.3 cikk [2] szerint ellenőrzünk.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]
Nyírási vasalás nélküli elemek nyírási ellenállása
Elemek nyírási ellenállása repedt hajlítási zónákban (6.2.2 (1) cikk [2])
A nyírási vasalás nélküli vasbeton elemek nyírási ellenállása hajlítónyomaték hatása esetén:
\[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]
Ezt egyszerű gerendákon végzett, reprezentatív számú kísérlet alapján határozták meg nyíróerő miatti tönkremenetel esetére. Mivel a fenti ellenállás nulla lehet hosszirányú vasalás (rl) nélküli elemeknél, gyengén vasalt elemekre egyenleteket vezettek le. Mivel a fenti ellenállás nulla lehet hosszirányú vasalás (rl) nélküli elemeknél, a gyengén vasalt elemekre az ellenállást az alábbi egyenlettel határozták meg
\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]
A normálerő hatását figyelembe vevő nyírási ellenállást az alábbi egyenlettel határozták meg
\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]
A nyírási ellenállás teljes kifejezése, amely megfelel az EN 1992-1-1 6.2.2 (1) cikkének
\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]
Minimuma
\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]
ahol
CRd,c = 0,18 / γc,
k keresztmetszeti magassági tényező
\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]
ρ1 hosszirányú vasalás vasalási aránya
\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]
fck a beton jellemző nyomószilárdsága hengereken 28 napos korban
k1 = 0,15
σcp = NEd / Ac < 0,2 fcd MPa-ban
bw a keresztmetszet legkisebb szélessége a húzott zónában
d a keresztmetszet hatékony magassága
υmin minimális egyenértékű nyírási szilárdság υmin = 0.035 k3/2 fck1/2
Elemek nyírási ellenállása nem repedt hajlítási zónákban (6.2.2 (2) cikk [2])
A nem repedt hajlítási zónákban lévő elemek nyírási ellenállása a Mohr-körből határozható meg. Az egyenletbe
\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]
Behelyettesítjük σx = σcp és τz = VRd,c S / (I bw) értékeket, és kifejezzük VRd,c-t, így az EN 1992-1-1 6.2.2 (2) cikkében megadott képletnek megfelelő egyenletet kapunk
ahol
I a másodrendű nyomaték,
bw a keresztmetszet szélessége a súlyvonali tengelynél
S a súlyvonali tengely feletti és körüli elsőrendű nyomaték,
fctd a beton méretezési tengelyi húzószilárdsága MPa-ban,
scp a beton nyomófeszültsége a súlyvonali tengelynél a terhelés és/vagy előfeszítés hatására,
al átadási hossz tényező, általában 1,0.
A fentiekkel kapcsolatban meg kell jegyezni, hogy a hajlítási repedések nélküli területeken a VRd ,c ellenállás lényegesen nagyobb lehet, mint a repedt területeken a 6.2.2 (1) cikk [2] szerint. Az alábbi ábra egyértelműen mutatja, hogy bár a nyíróerőt a szélső értékén ellenőrzik (amely nem okoz repedéseket), ez nem feltétlenül garantálja, hogy az átadódik a teljes gerenda hosszán. Ez a beton nyírási ellenállásának számítási módszerének változásából adódik. A biztonságos oldal felé haladva természetesen a nyírási ellenállás a 6.2.2 (1) cikk [2] szerint is figyelembe vehető azokon a helyeken is, ahol repedések nem keletkeznek.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]
A 6.2.2 (2) cikk [2] szerinti VRd, c kifejezésével kapcsolatban meg kell jegyezni, hogy az általános esetben a normál nyomófeszültség zónájában a szélső főhúzófeszültség szálánál kell az ellenőrzést elvégezni, nem pedig a keresztmetszet súlypontjánál. Ennél a pontnál szükséges a keresztmetszeti jellemzők (S és bW) kiszámítása. A maximális főfeszültség s1 meghatározásához az IDEA RCS programban egy vonalat húzunk a súlyponton át az eredő nyíróerők irányában. Ezt a vonalat 20 szakaszra osztjuk. Ezen a vonalon több jellemző pontot jelölünk meg (a keresztmetszeti sokszög pontjai, súlypont, semleges tengely). Ezeken a pontokon belül kiszámítjuk S, bw, σx, τyz és σ1 értékeket. A maximális főhúzófeszültség pontjában számítjuk ki a nyírási ellenállást.
A 6.2.2 (6) cikk által előírt β csökkentési tényező alkalmazása előtti nyíróerőnek teljesítenie kell az alábbi kiegészítő feltételt
\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]
ahol
\[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\] ahol fck MPa-ban értendő
Vasalás nélküli vagy gyengén vasalt elemek nyírási ellenállása (12.6.3 cikk [2])
Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton nyírási ellenállása az alábbi kifejezésből határozható meg
\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]
Ahol
τcp helyébe behelyettesítjük
\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]
vagy
\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]
A fenti képletben használt részértékek:
\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]
ahol
fcd,pl Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton méretezési nyomószilárdsága,
fctd,pl Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton méretezési tengelyi húzószilárdsága,
fcvd Méretezési nyírási ellenállás beton nyomás alatt.
Nyírási vasalással rendelkező elemek ellenállása (6.2.3 cikk [2])
A nyírási vasalással rendelkező vasbeton elemek ellenállásának számítása a változó szögű átlókkal rendelkező rácsanalógia módszerén alapul. Ennek a módszernek az alapja az erők egyensúlya a nyomott rúd ereje (átló), a nyírási vasalás ereje (kengyel) és a hosszirányú vasalás ereje által meghatározott háromszögben.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]
A nyíróerő hatásának kitett keresztmetszetet θ szögű repedések törik meg, ezért a nyíróerővel azonos szögű betonátló ellenáll a nyíróerőnek. Az átló nyomóereje Ved/sinθ-ként fejezhető ki. Ezt az erőt a nyomott átlóra merőleges betonfelületnek kell átvennie: bwzcosθ. A nyomott átlóban a beton nyomófeszültsége ekkor egyenlő:
\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta \right)\]
Behelyettesítve \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\] és \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] és kifejezve \[{{V}_{Rd,max}}\] értékét, megkapjuk az átló nyírási ellenállásának egyenletét:
\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta \right)\]
A nyomott átló függőleges erőkomponensének egyensúlyához nyírási vasalást alkalmazunk. A függőleges erő nagysága az egy kengyelnek megfelelő betonfelületen ébredő átlós nyomófeszültségen alapul - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. A határkengyel-erő értéke \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\].
Behelyettesítve σc-t, összehasonlítva a vasalás határerejével, módosítások után kapjuk:
\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]
Majd Ved-t VRDs-ként kifejezve megkapjuk a függőleges nyírási vasalással rendelkező keresztmetszet ellenállását:
\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]
A hosszirányú nyíróerőt a hosszirányú vasalás veszi fel, és Vedcotgθ-ként határozható meg. A fenti képletek levezetése megtalálható [4]-ben.
Az IDEA RCS programban csak függőleges nyírási vasalással rendelkező elemek ellenőrzése lehetséges. Általánosan az alábbi egyenletek alkalmazhatók:
\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha \right)\sin \alpha\]
\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta \right)\]
Ahol
Asw a nyírási vasalás keresztmetszeti területe,
s a kengyelek távolsága,
fywd a nyírási vasalás méretezési folyáshatára,
bw a húzott és nyomott övek közötti minimális szélesség. A VRd,max ellenállás számításához a keresztmetszet szélességét a keresztmetszet úgynevezett névleges szélességére kell csökkenteni, amennyiben a keresztmetszetet kábelcsatornák gyengítik
bw,nom=bw-0,5ΣΦ injektált fémcsatornák esetén
bw,nom=bw-1,2ΣΦ nem injektált fémcsatornák esetén
υ = 0,6 ha fck ≤ 60MPa vagy ha fck > 60MPa,
αcw egy tényező, amely figyelembe veszi a nyomott öv feszültségállapotát.
| Terhelés | σcp = 0 | 0 < σcp≤0,25 fcd | 0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd | 0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd |
| αcw tényező | 1,0 | 1+σcp/fcd | 1,25 | 2,5(1 - σcp/fcd) |
1‑1. táblázat Az αcw tényező meghatározása
A θ szög a beton nyomott rúd és a nyíróerőre merőleges gerendatengely közötti szög. A cotθ határértékei az egyes országok Nemzeti Mellékletében találhatók. Az ajánlott határértékeket az alábbi kifejezés adja meg:
\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]
A θ szög nagyságának megválasztása befolyásolhatja az ellenállások értékét. Az ellenállások függése az 1.15. ábrán látható. Az ábra mutatja, hogy a θ szög növekedésével a VRd,max ellenállás növekszik, a VRd,s ellenállás pedig csökken. A VRd,c ellenállás állandó, mivel a rácsanalógia módszerén alapul.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]
Keresztmetszeti jellemzők számítása nyíráshoz
A nyírás számításához fontos meghatározni a nyírási ellenállást befolyásoló keresztmetszeti változókat. Ezek közé tartozik elsősorban a nyírásnak ellenálló keresztmetszeti szélesség bw, a hatékony magasság d és a karhossz z. A szabvány [2] ezeket az értékeket közvetlenül a tényleges hajlítási feszültséggel összefüggésben adja meg. A probléma azonban ezen értékek meghatározása akkor, amikor az eredő hajlítónyomatékok iránya (vagy pontosabban a keresztmetszeti ellenállás eredőjének iránya) lényegesen eltér az eredő nyíróerők irányától. Ebben az esetben az EC2 szabvány nem ad ajánlásokat.
A nyírásnak ellenálló keresztmetszeti szélesség bw
Az IDEA RCS program a nyírásnak ellenálló keresztmetszeti szélességet a nyíróerők eredőjére merőleges irányban számítja. Az Eurocode vonatkozó cikkétől függően ez a szélesség a következőképpen számítódik:
- A nyomott beton eredője és a húzott vasalás közötti legkisebb keresztmetszeti szélesség a nyíróerők eredőjére merőleges irányban a 6.2.2 (a) és 6.2.3 (1) cikk esetén
- A keresztmetszeti szélesség a nyíróerők eredőjére merőleges irányban az ellenőrzött pontban a 6.2.2 (2) cikk szerint
A keresztmetszet hatékony magassága
A hatékony magasságot általában a legjobban nyomott betonszál és a vasalás súlypontja közötti távolságként definiálják. Mivel ez közvetlenül kapcsolódik a hajlításhoz, a távolságot a síkalakváltozás gravitációs vonalára vett merőleges vetületként adják meg.
Ez a definíció pontosítható úgy, hogy a húzott vasalás súlypontja helyett a vasalás erőeredőjének helyzetét alkalmazzák. Az IDEA RCS program fejlesztése során megoldandó probléma volt: hogyan definiálják a keresztmetszet hatékony magasságát, amelynél a hajlítási terhek síkja nem egyezik meg az eredő nyíróerők irányával. Ezért a hatékony magasságot a legjobban nyomott betonszál és a húzott vasalásban ébredő erők eredője közötti távolságként definiálják (hajlítási feszültség alapján), az eredő nyíróerők irányában, lásd az 1.17. ábrát.
Kivételes esetek fordulhatnak elő, ha nem tudjuk meghatározni a nyomott szálat vagy a húzott vasalás eredőjét. Ebben az esetben a 0,9 h érték (a keresztmetszet magasságának 90%-a az eredő nyíróerők irányában) alkalmazását javasoljuk. Ezt az értéket a felhasználó az IDEA RCS programban a szabványi változók beállításával adhatja meg.
A belső erők karja
A belső erők karja a 6.2.3 (3) [2] cikkben szerepel, és „a húzott és nyomott övek közötti távolságként" van definiálva. A szabvány nem határozza meg, hogyan kell eljárni, ha a hajlítónyomaték hatásának síkja eltér az eredő nyíróerők irányától. Ezért, a hatékony magasság esetéhez hasonlóan, a távolságot az eredő nyíróerők irányában definiáljuk. Itt is hasonló kivételes esetekkel találkozhatunk, például ha a teljes keresztmetszet nyomás alatt van stb. Ebben az esetben a 0,9 d értéket (a hatékony keresztmetszeti magasság 90%-át) vesszük figyelembe. Ezt az értéket a felhasználó az IDEA RCS programban a szabványi változók beállításával adhatja meg.
A hajlítási sík dőlése és a nyíróerő eredője közötti összefüggés jól látható az 1.18. ésaz 1.19. ábrán. A dőlés növekedésével a hatékony magasság, a karok és a kapcsolódó ellenállások értékei csökkennek. A határállapot 90°. Ennél a dőlésnél a belső erők karja nem számítható ki, következésképpen a kar értéke nulla. Ebben az esetben a szabványi változók beállításában megadott értéket vesszük figyelembe. Emiatt ugrás keletkezik a diagram végén. Ez a tanulmány igazolja, hogy az ajánlott maximális dőlés körülbelül 20°.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]
Az RCS alkalmazás tesztelésének részeként tanulmányt készítettek a nyírási ellenállás normálerőtől való függéséről. A VRd,max ellenállást csak az αcw tényező befolyásolja, lásd az 1.20. ábrát. Az 1.21. ábra a VRds ellenállás állandó értékét mutatja. A VRdc ellenállás esetén a csökkenést a normálerő növekedése okozza. Az 1.21. ábra kék görbéje a VRdc ellenállást mutatja a repedések hatásának elhanyagolásával, amelyet a 6.2.2 (1) [2] szakasz képletével számítottak. A nyomás és húzás közötti átmenetben tapasztalható ugrást a hozzájáruló húzott vasalás okozza. A piros görbe a 6.2.2 (2) [2] szakasz képletével számított értékeket mutatja. Az első repedés megjelenése után a függési görbe megegyezik a 6.2.2 (1) [2] szerintivel.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]