Grundlagen der Lasteinleitung in einer Verbindung: Gleichgewicht, tragendes Bauteil usw.

Ziel dieses Artikels ist es, anhand von Beispielen die Grundlagen der Verbindungsmodellierung in der Connection-Anwendung zu erläutern. Der Artikel geht nicht im Detail auf einzelne Komponenten des CBFEM-Modells ein (wie Schrauben, Schweißnähte, Kontakte usw.), sondern konzentriert sich auf die Erklärung, wie das 3D-Modell des Knotens gelagert wird, wie es belastet wird und wie Fehler bei der Lastaufbringung vermieden werden können. Nach dem Studium dieses Artikels empfehlen wir, mit einem Folgeartikel fortzufahren, der das Thema der zusätzlichen Randbedingungen im Modell behandelt – den sogenannten Modelltyp des angeschlossenen Bauteils.

• Modelltyp – zusätzliche Randbedingung

1 Berechnungsmodell

Das Berechnungsmodell in Connection hat, wie jedes andere FEM-Modell, Randbedingungen und wird auf eine bestimmte Weise belastet. Wir beschreiben den Aufbau des Berechnungsmodells anhand eines konkreten Beispiels in Connection. Betrachten wir folgendes einfaches ebenes Tragwerk mit einer Verbindung eines horizontalen Trägers an eine Stütze. Der Träger ist mit einer gleichmäßig verteilten Last belastet, und die Momentenverbindung des Trägers an die Stütze ist starr, unter Verwendung einer Stirnplatte. Eine Visualisierung des Knotens ist im folgenden Bild dargestellt.

In der Connection-Anwendung wird das 3D-Berechnungsmodell des angeschlossenen Bauteils mit Schnittgrößen belastet, die in den einzelnen Bauteilen unmittelbar am Verbindungsknoten wirken. Der Mittelpunkt der Verbindung, dargestellt durch einen schwarzen Punkt in der Drahtgitteransicht der Verbindung in der Anwendung, ist somit identisch mit dem Knoten im globalen FEM-Stabmodell. 

Für die Modellierung der Verbindung in der Anwendung können zwei verschiedene Ansätze verwendet werden. 

• Die Verbindungslast ist im Gleichgewicht
• Die Verbindungslast ist nicht im Gleichgewicht

Diese beiden Ansätze unterscheiden sich in den Randbedingungen und in der Art und Weise, wie das Berechnungsmodell belastet wird. Zwei Varianten des Modells werden über die Schaltfläche Lasten im Gleichgewicht im Abschnitt „Last" des oberen Menübands umgeschaltet.

Zunächst werden im Artikel die Randbedingungen und die Belastung des Analysemodells, die der Option Lasten im Gleichgewicht EIN entsprechen, ausführlich erläutert. Mit dieser Option kann die gesamte Verbindung als Ganzes bewertet werden, und alle angeschlossenen Bauteile werden belastet. Dies ist die Standard-Programmeinstellung nach der Erstellung eines neuen Projekts. 

Randbedingungen und die Art der Belastung des Analysemodells mit der Option „Lasten im Gleichgewicht" AUS werden in Abschnitt 3 ausführlich behandelt. Diese Modellierungsvariante eignet sich beispielsweise für den Normnachweis der separaten Verbindungen einzelner Elemente.

In der Connection-Anwendung besteht das Modell der untersuchten Verbindung aus einem durchlaufenden Bauteil (Stütze B1) und einem endenden Bauteil (Träger B2). Die Stütze ist als tragendes Bauteil festgelegt (wird später erläutert). Das Berechnungsmodell ist schematisch im folgenden Bild dargestellt.

Das Berechnungsmodell nach der Methode der finiten Elemente (FEM) der Verbindung besteht aus:

1. Angeschlossene Bauteile – ein Stummel des angeschlossenen Bauteils (Träger, Stütze, Strebe usw.), angrenzend an den Knoten, wird modelliert. Der Querschnitt des Elements wird mit schalenförmigen plastischen finiten Elementen modelliert.
2. Verbindungsteile – Stirnplatten, Knotenbleche, Steifen, Rippen usw. Ebenfalls mit schalenförmigen plastischen Elementen modelliert.
3. CBFEM-Komponenten – Schweißnähte, Schrauben, Kontakte, MPC (Multi-Point Constraint) usw. Diese Teile des Modells stehen nicht im Mittelpunkt dieses Artikels und sind im theoretischen Hintergrund beschrieben.
4. Kondensierte Superelemente – gewährleisten die gleichmäßige Verteilung von Punktlasten in das 3D-Schalenmodell des angeschlossenen Bauteils. Diese Elemente sind für den Benutzer in der Szene nicht sichtbar. Sie werden in diesem Artikel ausführlicher beschrieben.
5. Rückwärtige starre Verbindungen – Jedes Ende des angeschlossenen Elements (genauer gesagt das Ende des kondensierten Superelements, das das Element verlängert) ist über eine rückwärtige starre Verbindung mit einem Hilfsknoten im Mittelpunkt der Verbindung verbunden. Jede starre Verbindung hat ihren eigenen Knoten im Mittelpunkt des Knotens. Randbedingungen des Berechnungsmodells werden auf diese Knoten angewendet, und die Verbindungsbelastung wird als Punktkräfte und Momente in diese Knoten eingeleitet.
6. Lager – Randbedingungen des CBFEM-Modells, die auf den Anfangsknoten der starren Verbindung angewendet werden.

1.1 Lager

Jedes FEM-Berechnungsmodell benötigt Lager, um eine Singularität zu verhindern. Das CBFEM-Modell ist grundsätzlich ein allgemeines räumliches FEM-Modell, was bedeutet, dass es drei Lager gegen Verschiebungen und drei gegen Verdrehungen erfordert. Wie in der Modellabbildung dargestellt, ist in unserem Beispiel ein Punktlager (drei Verschiebungen und drei Verdrehungen) am Anfangsknoten der rückwärtigen starren Verbindung definiert, die das untere Ende der Stütze mit dem Mittelpunkt der Verbindung verbindet. 

Die Entscheidung, welches Bauteil (genauer gesagt seine starre Verbindung) das Lager erhält, wird davon bestimmt, welches angeschlossene Element in der Anwendung als sogenanntes tragendes Bauteil festgelegt ist. Das gelagerte Ende des tragenden Bauteils wird dann durch ein rotes Quadratsymbol in der 3D-Szene visualisiert.

1.2 Belastung

Wie bereits erwähnt, wird das Modell in Connection durch Schnittgrößen in den einzelnen Bauteilen unmittelbar am Verbindungsknoten belastet (Hinweis: In der Vollansicht werden die Belastungskräfte und -momente an den Enden der visualisierten angeschlossenen Elemente angezeigt, was bei der erstmaligen Verwendung der Anwendung irreführend sein kann).

Die Schnittgrößen im betrachteten Tragwerk, berechnet durch das globale FEM-Modell, sind wie folgt.

Die Schnittgrößendiagramme im Detail um die Verbindung herum, zusammen mit den numerischen Werten direkt am Verbindungsknoten, sind:

Diese Kräfte aus dem globalen FEM-Modell, die als Lastimpuls in Connection aufgebracht werden, sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Bei Verwendung der Funktion Last im Gleichgewicht werden Schnittgrößen für alle Bauteile der Verbindung festgelegt. Eine korrekt definierte Last muss dann ein grundlegendes Prinzip erfüllen: Die Kräfte im Verbindungsknoten müssen im Gleichgewicht sein. Die Einhaltung dieser Regel ist für die korrekte Bemessung der Verbindung sehr wichtig. Die Anwendung prüft, ob das Gleichgewicht eingehalten wird, und listet unterhalb der Tabelle, in der die Last definiert wird, auch eine Tabelle der berechneten sogenannten unausgeglichenen Kräfte auf. Wenn die Verbindungslast korrekt definiert ist, sind die unausgeglichenen Kräfte null (oder nahezu null). Die Last unserer Verbindung ist in der folgenden Abbildung dargestellt; die unausgeglichenen Kräfte sind null, sodass die Last korrekt definiert ist. Wir werden die Auswirkung einer falsch definierten Last, wenn unausgeglichene Kräfte im Modell auftreten, und warum diese eine völlig falsche Bemessung der Verbindung verursachen können, später anhand von zwei Beispielen erläutern.

Die Modellbelastung wird (wie die Modellauflager) auf die Anfangsknoten der rückwärtigen starren Verbindungen aufgebracht, die den Verbindungsmittelpunkt und das Ende des kondensierten Superelements verbinden. Mit anderen Worten: Die Schnittgrößen in den einzelnen Bauteilen (am Verbindungsmittelpunkt), die in der Lasttabelle definiert wurden, werden direkt in das Berechnungsmodell eingesetzt. Die rückwärtigen starren Verbindungen stellen dann sicher, dass das Biegemoment vom Verbindungsmittelpunkt in das Biegemoment am Ende des kondensierten Superelements umgewandelt wird. Verdeutlichen wir die Funktion der rückwärtigen starren Verbindung anhand eines einfachen Stabmodells, bei dem das horizontale Bauteil B2 durch ein vereinfachtes Stabelement anstelle des schalenförmigen 3D-Modells dargestellt wird. Die Schnittgrößen am Bauteil im Mittelpunkt werden aus dem Beispiel entnommen: Vz = -70 kN, My = 60 kN.m. Diese Kraft und dieses Moment werden am Anfang der starren Verbindung angesetzt. Von dort werden sie an das Ende des kondensierten Superelements und dann in das Modell des angeschlossenen Elements B2 übertragen. Wie zu sehen ist, sind die Schnittgrößen im Bauteil B2 an seinem Anfang (Verbindungsmittelpunkt) dann identisch mit den eingegebenen Punktlasten.

Es ist offensichtlich, dass das resultierende räumliche Berechnungsmodell äußerlich statisch bestimmt ist (es werden nur sechs Freiheitsgrade gebunden) und sich das Modell frei verformen kann, ohne Sekundärreaktionen zu erzeugen, die den definierten Kraftfluss verändern würden. Außerdem ist klar, dass die Angabe von Lasten am Anfangsknoten der rückwärtigen starren Verbindung B1/Anfang, wo die Modellauflager definiert sind, nutzlos wäre, da die Kräfte und Momente direkt von den Auflagern aufgenommen würden. Daher wird das Berechnungsmodell mit Kräften in B1/Ende und B2/Ende belastet, was bedeutet, dass nur zwei der drei Bauteile belastet werden, das dritte Bauteil ist gelagert. Wenn die Belastung der Verbindung jedoch korrekt ist, die angegebenen Kräfte und Momente im Gleichgewicht sind, sind die in den Auflagern B1/Anfang berechneten Reaktionen identisch mit der in der Tabelle definierten Belastung. Die Belastung des Berechnungsmodells der Verbindung ist dann wie folgt:

Die Schnittgrößenverteilung am gleich belasteten und gelagerten Träger-Ersatzmodell ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Es werden nur die Kräfte in den zu berechnenden Bauteilen visualisiert; die rückwärtigen starren Verbindungen sind weggelassen. Die Schnittgrößenverteilung aus dem globalen FEM-Modell, die zu Beginn des Artikels vorgestellt wurde, ist ebenfalls durch gestrichelte Linien dargestellt. Wie zu sehen ist, ist der Momentenverlauf aufgrund der fehlenden gleichmäßig verteilten Belastung des Trägers in Connection linear im Vergleich zum ursprünglich parabolischen Verlauf. Er stimmt jedoch am Verbindungspunkt ausreichend mit der parabolischen Kurve aus dem globalen FEM-Modell überein. Ebenso ist die Querkraft im Träger in Connection konstant im Vergleich zum linearen Verlauf aus dem globalen Modell.

Zur Veranschaulichung zeigt die folgende Abbildung die verformte Gestalt nach der Berechnung. Aus der verformten Gestalt ist klar ersichtlich, dass das Modellauflager am unteren Ende der Stütze liegt – über die rückwärtige starre Verbindung. Tatsächlich befindet sich das Auflager im Modell in der Mitte der Verbindung.

2 Achtung bei unausgeglichenen Kräften in der Verbindung

Wir haben gezeigt, wie das FEM-Berechnungsmodell der Verbindung grundsätzlich aussieht, wie es gelagert und wie es belastet wird. Im obigen Beispiel war die angegebene Last im Gleichgewicht. Wir werden nun die Auswirkung auf die Modellbelastung und den Spannungszustand der Verbindung zeigen, wenn die angegebene Last nicht im Gleichgewicht ist. 

2.1 Unausgeglichene Kräfte in der Rahmenverbindung

Wir verwenden dasselbe Beispiel einer starren Rahmenverbindung mit einer Stirnplatte. Die angegebene, absichtlich falsche Verbindungslast ist in der folgenden Abbildung dargestellt. In der Tabelle der unausgeglichenen Kräfte listet das Programm die folgenden berechneten Kräfte auf: Fx = -5 kN und My = 13 kN.m.

Die Verteilung der Schnittgrößen im Modell unter einer solchen Belastung wird erneut anhand einer vereinfachten Stabdarstellung des Verbindungsmodells demonstriert.

Am unteren Ende der Stütze (B1/Anfang, das gelagerte Ende des tragenden Elements) sind die Biegemoment- und Querkraftdiagramme, die sich aus den in die Lasttabelle eingegebenen Kräften ergeben, ebenfalls durch eine gestrichelte Linie dargestellt. Es ist offensichtlich, dass die tatsächlich auf die Stütze wirkenden Biegemomente erheblich von dem abweichen, was bei B1/Anfang in der Tabelle angegeben ist. Diese Unterschiede entsprechen genau den unausgeglichenen Kräften des Moments M_y und der Querkraft V_z. Warum ist das so? Wie bereits erläutert, werden die auf der gelagerten Seite des tragenden Bauteils (B1/Anfang) angegebenen Schnittgrößen tatsächlich nicht auf das Modell aufgebracht. Stattdessen ergeben sich die Schnittgrößen aus der FEM-Modellberechnung als Reaktionen in den Auflagern des Berechnungsmodells. Und diese Reaktionen sind natürlich im Gleichgewicht mit der bei B2 und B1/Ende definierten Last. Die Auswirkung der unausgeglichenen Kräfte in diesem Beispiel besteht also darin, dass das gelagerte tragende Bauteil vollständig anderen (geringeren) Schnittgrößen ausgesetzt ist als denen, die der Benutzer in die Lasttabelle eingegeben hat. Aus diesem Grund ist es notwendig, stets darauf zu achten, dass die unausgeglichenen Kräfte in der Verbindung null oder minimal sind.

Der Vollständigkeit halber sei hinzugefügt, dass in diesem speziellen Fall die Verbindung des horizontalen Trägers selbst (Schrauben, Stirnplatte, Schweißnähte) korrekt bewertet wird, da genau die gleiche Last, die für das Bauteil B2 in der Lasttabelle angegeben ist, auch im Berechnungsmodell auf dieses Bauteil aufgebracht wird.

2.2 Unausgeglichene Kräfte in einem Fachwerkknoten

Dieses Beispiel veranschaulicht einen Fall, bei dem eine falsch angegebene Last mit unausgeglichenen Kräften in einem Knoten zu einer vollständig falschen Bemessung der Bauteilverbindung führt. Wir verwenden den folgenden Fachwerkknoten, bestehend aus einem unteren Zuggurt, einer Zugdiagonale und einer Druckdiagonale. Der untere Zuggurt wird durch einen geschraubten Montagestoss unterbrochen. Der Einfachheit halber arbeiten wir nur mit Normalkräften im Knoten.

Das obige Bild zeigt eine korrekte Angabe ausgeglichener Schnittgrößen. Die resultierenden Normalkräfte in den Fachwerkstäben (wiederum unter Verwendung einer vereinfachten Stabdarstellung des Modells) und die Zugkräfte in den Schrauben des Montagestoßes sind wie folgt. Die Zugkraft in der Schraube, einschließlich der Abhebekraft, beträgt 73 kN.

Nun analysieren wir denselben Knoten mit unausgeglichener Belastung in der horizontalen Richtung X. Die Belastung des Knotens ist identisch mit dem vorherigen Beispiel, mit Ausnahme einer falsch angegebenen Normalkraft von 240 kN am unteren Zuggurt CH1, die eine unausgeglichene Kraft in X-Richtung von 101,4 kN verursacht.

Die resultierenden Normalkräfte in den Fachwerkstäben nach der Modellberechnung und die Zugkräfte in den Schrauben sind wie folgt.

Die Auswirkung der unausgeglichenen Kräfte in der Verbindung in diesem Beispiel besteht darin, dass das gelagerte tragende Bauteil CH2 vollständig anderen (geringeren) Schnittgrößen ausgesetzt ist als denen, die der Benutzer in die Lasttabelle eingegeben hat. Noch wichtiger ist, dass die Schraubenverbindung ebenfalls für eine deutlich geringere Zugkraft von 98,6 kN als in der Lasttabelle angegeben nachgewiesen wird. Die Zugkraft in der einzelnen Schraube, einschließlich der Abhebekraft, beträgt 37 kN.

3 Berechnungsmodell mit deaktivierter Funktion „Last im Gleichgewicht"

Bis zu diesem Punkt haben wir in der Connection-Anwendung mit aktivierter Funktion „Last im Gleichgewicht" gearbeitet. Nun beschreiben wir die Belastung und die Randbedingungen des Berechnungsmodells mit deaktivierter Funktion „Last im Gleichgewicht".

Wir verwenden erneut die zuvor analysierte horizontale Träger-Stützen-Verbindung mit einer geschraubten Stirnplatte. Das Deaktivieren der Funktion „Last im Gleichgewicht" bedeutet, dass das durchlaufende Element (Stütze B1) an beiden Enden gelagert ist und das Lastgleichgewicht am Träger nicht überprüft wird. Es ist auch nicht möglich, in der Tabelle Lasten für die gelagerten Enden des durchlaufenden Elements (Stütze B1) anzugeben. Das einzige belastete Element ist hier der Träger B2. Das Berechnungsmodell und die Belastung der Verbindung sehen wie folgt aus.

Die Verteilung der Schnittgrößen in einem solchen belasteten und gelagerten Modell nach der Berechnung wird erneut anhand einer vereinfachten Stabdarstellung des Verbindungsmodells demonstriert. Die Querkraft V_z im Träger wird in der Stütze in eine Zugkraft im oberen Teil der Stütze und eine Druckkraft im unteren Teil aufgeteilt. Es ist beispielsweise klar, dass eine logische Verteilung der Normalkräfte in der Stütze – bei der die Querkraft aus dem Träger als Druckkraft in Richtung der Fundamente des Tragwerks erscheinen würde – mit diesem Modell nicht möglich ist. Ebenso entspricht der Biegemomentenverlauf der Stütze dem Auflagersystem des Berechnungsmodells und spiegelt möglicherweise nicht den tatsächlichen Schnittgrößenfluss in der Struktur wider.

Es ist jedoch wichtig, dass die Schnittgrößenverteilungen im angeschlossenen und belasteten Bauteil B2 nicht durch die statisch unbestimmten Randbedingungen des Modells beeinflusst werden und die Bewertung des einzelnen Bauteils B2 und seiner Verbindung (Stirnplatte, Schrauben, Schweißnähte) korrekt bleibt. Der Spannungszustand der Stütze entspricht jedoch nicht mehr dem tatsächlichen Verhalten in der Struktur, insbesondere da keine Lasten auf sie aufgebracht wurden. Dies zeigt, dass das Deaktivieren der Funktion „Last im Gleichgewicht" die separate Bewertung der Verbindungen einzelner Bauteile ermöglicht. Im Gegensatz dazu kann mit aktivierter Funktion „Last im Gleichgewicht" die gesamte Verbindung überprüft werden, wobei die Wechselwirkung globaler Effekte (z. B. Stützenbeanspruchung aus N+M in der Struktur) und lokaler Effekte (z. B. Querbiegung des HEA-Flansches aus der geschraubten Stirnplattenverbindung) berücksichtigt wird.