5.3 Festigkeitsnachweise in Detail 3D

Die verschiedenen Nachweise gemäß ACI 318-19 werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Nachweise werden für die Betontragfähigkeit, die Bewehrungstragfähigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Festigkeit – Beton

Die Betondruckfestigkeit wird als Verhältnis zwischen der maximalen äquivalenten Hauptspannung f_c,eq (auch σ_c,eq im vorherigen Text) aus der FE-Analyse und dem Grenzwert f'_c,lim bewertet.

Die äquivalente Hauptspannung drückt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen dreiachsigen Spannungszustand aus.

\[f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Der Wert f_c,eq kann daher direkt mit einachsigen Festigkeitsgrenzwerten verglichen werden. Dieser Ausdruck leitet sich aus der Implementierung der Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie ab, wobei konservativ ein innerer Reibungswinkel von φ = 0° angenommen wird.

Festigkeit – Bewehrung

Die Tragfähigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s und dem festgelegten Grenzwert f_y,lim bewertet.

\[f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}\]

Festigkeit – Anker

Anker werden auf Normalspannungen in ähnlicher Weise wie die Bewehrung überprüft, wobei der Grenzwert f_y,lim bestimmt wird. 

Um die Navigation im folgenden Text zu erleichtern, werden wir die Verankerung zunächst in drei Gruppen hinsichtlich des Normnachweises gemäß ACI oder AISC unterteilen.

Gruppe 1

• Verankerungstypen
  • Einbetonierte Platte
  • Fußplatte – Stand-off = direkt 
  • Fußplatte – Stand-off = Mörtelfuge – Mörteldicke kleiner als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
  • Einzelanker mit einer Auskraglänge kleiner als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
• Anker-Normnachweise (ACI / AISC)
  • Zug/Druck
    • Alle Ankertypen auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2  
    • Alle Ankertypen auf Druck – AISC 360-16 Kap. E
  • Querkraft ohne Hebelarm
    • Schraubenwerkstoff – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)
    • Kopfbolzen – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a)
    • Bewehrung – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)
  • Interaktion von Zug und Querkraft – ACI 318-19 Kap. 17.8

Gruppe 2

• Verankerungstypen
  • Fußplatte – Stand-off = Mörtelfuge – Mörteldicke größer als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
• Anker-Normnachweise (ACI / AISC)
  • Zug/Druck
    • Alle Ankertypen auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2  
    • Alle Ankertypen auf Druck – AISC 360-16 Kap. E
  • Querkraft mit Hebelarm
    • Schraubenwerkstoff – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b) + Kap. 17.7.1.2.1.
    • Kopfbolzen – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a) + Kap. 17.7.1.2.1.
    • Bewehrung – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b) + Kap. 17.7.1.2.1.
  • Interaktion von Zug und Querkraft – ACI 318-19 Kap. 17.8

Gruppe 3

• Verankerungstypen
  • Fußplatte – Stand-off = Spalt
  • Einzelanker mit einer Auskraglänge größer als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
• Anker-Normnachweise (ACI / AISC)
  • Zug/Druck (mit Knicken)
    • Alle Ankertypen auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2
    • Alle Ankertypen auf Druck – AISC 360-16 Kap. E3
  • Biegung
    • Für alle Ankertypen – AISC 360-16 Kap. F11
  • Querkraft
    • Für alle Ankertypen – AISC 360-16 Kap. G
  • Interaktion von Normalkraft und Biegung
    • \(\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1\) 

Zugtragfähigkeit des Ankers gemäß ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2

\[\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}\]

wobei:

• ϕ_a,t  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug gemäß ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – Zugspannungsquerschnitt (durch Gewinde reduziert)
• f_uta – angegebene Zugfestigkeit des Ankerstahls, darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit des Ankers gemäß ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a)

Die Stahltragfähigkeit auf Querkraft für Kopfbolzen wird bestimmt als:

\[\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}\]

wobei:
ϕ_a,v – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug gemäß ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
A_se,V – Zugspannungsquerschnitt (durch Gewinde reduziert)
f_uta – angegebene Zugfestigkeit des Ankerstahls, darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit des Ankers gemäß ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)

Die Stahltragfähigkeit auf Querkraft für Anker aus Schraubenwerkstoff und Bewehrung wird bestimmt als:

\[\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}\]

wobei:

• ϕ_a,v  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug gemäß ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – Zugspannungsquerschnitt (durch Gewinde reduziert)
• f_uta – angegebene Zugfestigkeit des Ankerstahls, darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit des Ankers mit Mörtelbett – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2.1

Werden Anker mit aufgemörtelten Unterlagen verwendet (Gruppe 2), ist die gemäß 17.7.1.2 berechnete Bemessungstragfähigkeit mit 0,80 zu multiplizieren.

Interaktion von Zug und Querkraft gemäß ACI 318-19 Kap. 17.8

Die Interaktion zwischen Zug und Querkraft darf vernachlässigt werden, wenn (a) oder (b) erfüllt ist.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Wenn N_ua/(ϕN_n) > 0,2 für die maßgebende Zugtragfähigkeit und V_ua/(ϕV_n) > 0,2 für die maßgebende Querkrafttragfähigkeit, muss Gl. (17.8.3) erfüllt sein.

\[\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2\]

Drucktragfähigkeit des Ankers gemäß AISC 360-16 Kap. E3

\[P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}\]

wobei:

• ϕ_a,t  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Druck gemäß AISC 360-16 Kap. E1
  
• (a) Wenn: \(\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad\)  oder     \(\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25\)
  • \(F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y\)
    
• (b) Wenn: \(\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad\)  oder     \(\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25\)
  • \(F_{cr}=0.877F_e\)
    
• A_g​ – Bruttoquerschnittsfläche des Bauteils
• E – Elastizitätsmodul des Stahls
• \(F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}\) – elastische Beulspannung
• F_y – angegebene Mindeststreckgrenze des verwendeten Stahltyps
• \(r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}\) – Trägheitsradius
• \(I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}\) – Flächenträgheitsmoment der Schraube 

Biegetragfähigkeit des Ankers gemäß AISC 360-16 Kap. F11

\[M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y\]

wobei:

• \(Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}\) – plastisches Widerstandsmoment der Schraube
• \(S_x=\dfrac{2I}{d_s}\) – elastisches Widerstandsmoment der Schraube

Querkrafttragfähigkeit des Ankers gemäß AISC 360-16 Kap. G

\[V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y\]

wobei:

• A_V = 0.844As – die Querkraftfläche
• A_s – die durch Gewinde reduzierte Schraubenfläche

Betonquetschen an der Anker-Beton-Kontaktfläche

Die Querkrafttragfähigkeit des Ankers wird auch unter dem Gesichtspunkt des Betonquetschens an der Anker-Beton-Kontaktfläche begrenzt. Die Grenzwerte und die Methode zu ihrer Bestimmung werden im Artikel Querkraftverhalten von Ankern in Stahlbetonstruktur ausführlich beschrieben. Sobald die Kontaktkraft diesen Grenzwert erreicht, wird das Abbruchkriterium ausgelöst und die Analyse beendet, bevor die Tragfähigkeit überschritten wird.​ 

Auszugnachweis für Kopfanker (Unterlegplatten und Kopfbolzen)

Für Kopfanker ist ein zusätzliches Abbruchkriterium implementiert, um das Betonlochleibungsversagen (Quetschen) oberhalb des Ankerkopfes – Auszugversagen – zu überprüfen. Während der Analyse wird die über den Kopf-Beton-Kontakt übertragene Druckkraft überwacht und mit dem Grenzwert gemäß ACI 318-19, Abschnitt 17.6.3.2.2a (Auszugversagen von Kopfbefestigungen) verglichen.

\[N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c\]
​

wobei:

• \( \Phi\) der Abminderungsbeiwert ist – Tabelle 17.5.3(c)
• A_brg die Netto-Auflagerfläche des Kopfes des Bolzens, Ankerbolzens oder des Kopfstabs (ohne Schaftfläche) ist. 
• f'_c die angegebene Druckfestigkeit des Betons ist
• \(\Psi_{c,p}\) der Rissbildungsfaktor für den Auszug gemäß 17.6.3.3 ist und stets mit 1,0 angesetzt wird, d. h. der Wert für gerissenen Beton. Dies ist konsistent mit dem in Detail verwendeten CSFM-Ansatz, bei dem die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt und der Beton als auf Zug gerissen angenommen wird.

Sobald die Kontaktkraft diesen normativen Grenzwert erreicht, wird das Abbruchkriterium ausgelöst und die Analyse beendet, bevor die Auszugtragfähigkeit überschritten wird.​ 

Verankerung – Verbundspannung

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der durch die FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Verbundfestigkeit f_bu bewertet.

Obwohl die Verbundfestigkeit in ACI 318-19 nicht explizit definiert ist, findet sich die Berechnung der Verankerungslänge in Abschnitt 25.4.2. Da die Verbundfestigkeit jedoch die grundlegende Eingangsgröße zur Bestimmung der Verankerungslänge ist, siehe R25.4.1.1 und ACI Committee 408 1966, kann die Verbundfestigkeit wie folgt berechnet werden:

Es wird angenommen, dass beim Einbetten des Bewehrungsstabs in einen Betonblock bis zur Verankerungslänge l_d oder darüber hinaus das Herausziehen der Bewehrung zum Reißen der Bewehrung und nicht zum Herausziehen aus dem Beton führt. Dies lässt sich mit folgender Formel ausdrücken.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}\]

wobei:

d_b der Durchmesser des Bewehrungsstabs ist, _d die Verankerungslänge ist, f_bu die Verbundfestigkeit ist, f_y die Streckgrenze der Bewehrung ist und A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs ist.

Daraus lässt sich die Formel zur Berechnung der Verbundfestigkeit leicht ableiten:

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

Die Verankerungslänge l_d wird dann gemäß ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 wie folgt bestimmt:

\[l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}\]

wobei:

C = 25 (2,1 für metrisch) für Stäbe Nr. 6 und kleiner sowie profilierte Drähte, C = 20 (1,7 für metrisch) für Stäbe Nr. 7 und größer, λ = 1,0 für Normalbeton, ψ_t, ψ_e, ψ_g werden gemäß ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 bestimmt. 

Es wird nur unbeschichtete oder verzinkte (feuerverzinkte) Bewehrung unterstützt, daher gilt ψ_e = 1,0. ψ_g wird automatisch aus der Bewehrungsgüte bestimmt, und ψ_t wird automatisch aus der Position der Bewehrung im Modell und der Betonierrichtung abgeleitet, die in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt festgelegt werden kann.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Direction of concreting}}}\]

Diese Nachweise werden unter Berücksichtigung der entsprechenden Grenzwerte für die jeweiligen Teile der Struktur durchgeführt (d. h., obwohl eine einheitliche Güte sowohl für Beton- als auch für Bewehrungsmaterial vorliegt, unterscheiden sich die endgültigen Spannung-Dehnung-Diagramme in jedem Teil der Struktur aufgrund der Zugverfestigung und Druckerweichungseffekte).

Verankerung – Gesamtkraft

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Methode der finiten Elemente und kann auf zwei Arten definiert werden.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

wobei A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und f_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

wobei F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond die Verbundkraft ist, die durch Integration der Verbundspannung τ_b über die Länge des Bewehrungsstabs l ermittelt werden kann.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Tragfähigkeit des Stabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

wobei C_s der Umfang des Bewehrungsstabs und l die Länge vom Anfang des Stabs bis zum betrachteten Punkt ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

wobei F_lim,add die Zusatzkraft ist, die aus dem Betrag des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner als F_u sein.

Die verfügbaren Verankerungstypen im CSFM umfassen einen geraden Stab (d. h. keine Abminderung der Verankerungslänge), 90°-Haken, 180°-Haken, vollständigen Verbund und durchgehenden Stab. Alle diese Typen sowie die jeweiligen Verankerungsbeiwerte β sind in Bild 47 für Längsbewehrung dargestellt. Die Werte der verwendeten Verankerungsbeiwerte werden aus dem Vergleich der Gleichung aus Abschnitt ACI 318-19 25.4.3.1 und den Gleichungen aus Abschnitt ACI 318-19 25.4.2.3 abgeleitet. Es ist zu beachten, dass das CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Abminderung der Verankerungslänge, (ii) eine Abminderung von 30 % der Verankerungslänge bei normierter Verankerung und (iii) vollständiger Verbund.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

Der Verankerungsbeiwert für Bügel beträgt stets β = 1,0.

Um ACI zu entsprechen, sollte die Verankerungsfeder in der Berechnung verwendet werden; die Verankerungsfeder wird durch den β-Beiwert modifiziert, sodass der Anwender bei der Definition der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung einen der verfügbaren Verankerungstypen verwenden muss.