Теоретические основы

IDEA StatiCa Member - Теоретические основы

Steel

Member

Buckling

Статья доступна на других языках:

Введение

Что такое IDEA StatiCa Member? Это программное обеспечение для расчёта одного или нескольких стальных элементов с учётом реальных условий их закрепления и примыкающих элементов.

Типичные примеры систем стальных конструкцийВ настоящее время имеется множество современных программно-вычислительных комплексов (далее – ПВК) для расчёта и проектирования пространственных стальных каркасов – SAP2000, Robot, SCIA Engineer... Они удовлетворяют практически всем требованиям инженеров и проектировщиков стальных конструкций. Однако некоторые вопросы по-прежнему остаются открытыми. Вот основные из них:

Соединения, детали, узлы
Общая и местная устойчивость элементов

IDEA StatiCa фокусируется на более сложных проблемах расчёта стальных конструкций и предлагает следующие продукты для их решения:

IDEA StatiCa Steel Connection для проверки узлов стальных конструкций любой топологии
IDEA StatiCa Steel Member для разрешения сложных вопросов, связанных с устойчивостью элементов

Каждый инженер сегодня, как правило, производит расчёт конструкций в специализированном ПО в пространственной постановке. Затем выполняются следующие проверки отдельных элементов:

Проверка сечений
Проверка устойчивости.

При этом используются вычисленные внутренние усилия и формулы, описанные в нормативных документах.,

Аналогичный подход используется и в Steel Member.

Инженер выполняет расчёт стальной конструкции (пространственной рамы) в специализированном ПВК на основе метода конечных элементов (далее – МКЭ). Затем рассчитываемый(ые) элементы и все соседние элементы, примыкающие к нему, выделяются из схемы и анализируются с помощью компонентного метода конечных элементов (далее – КМКЭ). В общих чертах, подход следующий:

Глобальный расчёт каркаса выполняется пространственной постановке в ПВК на основе МКЭ
Нужные элементы моделируются с помощью КМКЭ
Для примыкающих (соседних) элементов используется упрощённая модель, они также могут быть закреплены на концах
Конструкция узлов прорабатывается с помощью графического интерфейса IDEA Connection
Некоторые монтажные операции могут быть добавлены к рассчитываемым элементам, например, продольные и поперечные рёбра жёсткости, подрезки, отверстия и т.д.
Нагрузки могут быть приложены на концах примыкающих элементов (принцип равновесия аналогичен тому, что используется в модуле Connection)
- Нагрузки прикладываются к рассчитываемому элементу в привычном режиме как внутренние усилия, полученные в результате импорта модели и загружений. Пользователь может выбрать место их приложения, к примеру, по верхнему или нижнему поясу или по центральной линии.
- Примыкающие элементы загружаются обычными усилиями по концам

КМКЭ модель колонны: 1 расчётный элемент с точными условиями закрепления (анкеровка) и 4 примыкающих

КМКЭ модель перфорированной балки, опирающейся на две колонны

Расчётная модель в Steel Member строится на основе КМКЭ. Здесь доступны три типа расчёта:

ФНР - Физически нелинейный расчёт (нелинейный материал)
ЛРУ - Линейный расчёт устойчивости (бифуркация равновесия)
ГФНР - Геометрически и физически нелинейный расчёт с учётом начальных несовершенств

SВ Steel Member инженер может выполнять привычные ему проверки, но на более высоком уровне:

Проверка сечений – достаточно использовать ФНР. Используется 5% ограничение пластической деформации.
Проверка устойчивости – в ходе ЛРУ находятся формы потери устойчивости, тем самым давая понять характер начальных несовершенств для учёта геометрической нелинейности. Используется проверка на 5% пластические деформации или на достижение нагрузкой предельного значения (конец сходимости расчёта)

Аналогичный подход (КМКЭ) используется и в IDEA StatiCa Connection. Более подробно об этом можно узнать здесь:

IDEA StatiCa Connection - Теоретические основы.

Моделирование

Приложение Steel Member работает с многоуровневой моделью конструкции и различными комбинациями нагрузок. Основная задумка состоит в том, чтобы детально исследовать только некоторые выбранные элементы конструкции. Их мы будем называть «рассчитываемыми» или «расчётными».

Помимо рассчитываемых элементов модель включает в себя:

Примыкающие элементы – все элементы, которые каким-либо образом связаны с рассчитываемым(и)
Соединения – КМКЭ модели узлов, относящихся к рассчитываемым и примыкающим элементам
Закрепления концов примыкающих элементов
Нагрузки на рассчитываемые элементы
Нагрузки на примыкающие элементы
Усилия на концах примыкающих элементов

КМКЭ модель элемента связевой системы, подверженной сейсмическому воздействию

Рассчитываемый элемент выделяется из конструкции и исследуется отдельно от неё. Тем не менее, действие остальной части конструкции учитывается посредством других компонентов модели. Все нагрузки и примыкающие элементы должны быть заданы в 3D модели всей конструкции. В местах «подрезки», которые располагаются на концах примыкающих элементов, прикладываются внутренние усилия, как раз как мера воздействия оставшейся части всей конструкции. Таким образом отсеченная часть находится в равновесии. Это зачит, что для аналитической модели с точки зрения теории, не требуется никаких закреплений. КМКЭ модель более точна, чем теоретическая. Однако, это преимущество также приводит к нарушению условий равновесия. Поэтому здесь удобно пользоваться заданием опор на концах примыкающих элементов. Опоры должны быть заданы для того, чтобы отсечённая часть вела себя так же, как будто бы она была в составе всей конструкции. Программа позволяет задать граничные условия, которые удовлетворяют не только математическим требованиям, но и фактической ситуации. За соответствием КМКЭ модели реальной конструкции должен следить именно инженер, выполняющий расчёт. Это требует соответствующих профессиональных навыков и теоретических знаний.

Рассчитываемые (главные) элементы

Рассчитываемый элемент представляет собой элемент, к которому напрямую прикладываются нагрузки. Они могут быть приложены к верхнему или нижнему поясу, осевой линии или к отдельным пластинам на элементе с учётом фактической площади действия этих нагрузок. Рассчитываемые элементы в КМКЭ модели строятся полностью из пластинчатых конечных элементов.

Модель рассчитываемого элемента

Примыкающие (второстепенные) элементы

Примыкающие элементы делятся на корневую (детализированную) и отброшенную (упрощённую) части. Корневая часть моделируется пластинчатыми элементами (КМКЭ модель в чистом виде), а отброшенная часть заменяется стержневыми элементами с 6 степенями свободы. Детально прорабатывается (моделируется пластинчатыми элементами) только та часть примыкающего элемента, которая расположена близко к рассчитываемому. Это значительно ускоряет расчёт. Концы примыкающих элементов закрепляются пользователем с помощью имеющихся опорных связей – трёх для поступательных степеней свободы и трёх – для вращательных (в локальной системе координат примыкающего элемента).

Модель примыкающих элементов

Соединения

Соединения в местах крепления примыкающих элементов к рассчитываемым моделируются должным образом аналогично IDEA StatiCa Connection, поэтому их модель максимально приближена к реальности. Обращаем Ваше внимание на то, что в IDEA Statica Member они не проверяются, так как программа предназначена для оценки критических нагрузок именно на элементы, а не соединения. Надлежащая проверка соединений должна выполняться именно в IDEA StatiCa Connection.

Опорные связи

IIDEA StatiCa Member предоставляет второй уровень численного расчёта выбранного(ых) элемента(ов). Под первым уровнем будем подразумевать расчёт, который выполняется в широко распространённых ПВК на основе МКЭ. Второй уровень как раз оперирует теми усилиями, которые предоставляет расчёт первого уровня. Конструкция, нагруженная таким образом, будет находиться в равновесии.

Уточнение модели (например, учёт эксцентриситетов элементов, их реальных длин и т.д.) и особенно наличие начальных несовершенств в ГФНР приводят к тому, что условия равновесия не выполняются. Поэтому рекомендуется закреплять конструкцию должным образом, руководствуясь инженерной практикой и теоретическими знаниями.

Обычное опирание может быть задано на концах примыкающих элементов. Все три вращательные и три поступательные степени свободы могут быть исключены при необходимости. Опорные связи задаются в локальной системе координат элемента, к которому относятся.

Опирание примыкающих элементов - прогонов. Перемещение по X и повороты по всем осям запрещены.

Нагрузки

Рассчитываемый элемент (или часть всей конструкции из нескольких элементов) должен испытывать воздействие тех же нагрузок, что и вся конструкция. Собственный вес учитывается автоматически, поэтому в модели задаются все остальные нагрузки в составе загружений:

Линейно-распределённые нагрузки на рассчитываемые и примыкающие элементы
Внутренние усилия в опорных (конечных, крайних) сечениях примыкающих элементов

Распределённые нагрузки

Современные инженеры достаточно хорошо знакомы с распределёнными и сосредоточенными нагрузками, в том числе и в рамках работы с ПВК на основе МКЭ в 3D. Не стоит забывать, что эти нагрузки – лишь идеализированная модель, удобная при работе со стержневыми элементами. В реальности же таких нагрузок не существует. Действительные нагрузки, как правило, всегда распределяются по площади или какой-либо поверхности, или же элементы вовсе воспринимают нагрузки, передаваемые другими элементами через соединения и узлы.

Пользователь может задавать нагрузки на рассчитываемые элементы, но для этого необходима дополнительная информация об этих нагрузках: место приложения – какая полка или стенка будет испытывать воздействие, а также ширину этого воздействия и т.д. Сосредоточенные нагрузки, к примеру, лучше следует задавать как распределённые по небольшой области с известной шириной и длиной.

Линейно-распределённые нагрузки на примыкающие элементы прикладываются в обычном режиме, как в ПВК на основе МКЭ в 3D.

Сосредоточенные нагрузки задаются как линейные, распределённые по области заданной ширины

Усилия на концах

По концам примыкающих элементов задаются внутренние усилия. Они прикладываются как реакции. Здесь реализован тот же подход, что и в модуле IDEA StatiCa Connection.

Internal forces as load actions at the end of related member

Практический пример

Рассмотрим процесс создания КМКЭ модели в Steel Member чуть подробнее.

Пусть нам необходимо выполнить проверку стальной балки на устойчивость по изгибно-крутильной форме. При стандартном подходе вся конструкция рассчитывается в ПВК на основе МКЭ в трёхмерной постановке. Затем балка проверяется отдельно. Граничные условия считаются заданными; в нормативных методиках обычно опирание считается либо шарнирным, либо жёстким. В общем же случае узлы могут быть и полужёсткими. Выбор типа узла является ключевым фактором для оценки устойчивости по изгибно-крутильной форме. Решением этого вопроса занимается именно инженер-проектировщик, выполняющий расчёт. Вычисленные внутренние усилия сравниваются с предельными усилиями, найденными по аналитическим формулам в предположении потери устойчивости по изгибно-крутильной форме.

Приложение IDEA StatiCa Member использует абсолютно те же принципы. Рассчитываемый элемент отделяется от всей конструкции. На граничных условиях внимание не акцентируется, так как соединения элементов моделируются точно. Несмотря на то, что условия закрепления примыкающих элементов и задаются пользователем, их влияние на величину критической нагрузки намного меньше, чем при стандартном подходе.

Пример КМКЭ модели балки, состоящей из узлов, примыкающих элементов и нагрузок. Внутренние усилия прикладываются как реакции к примыкающим элементам. Рассчитываемый элемент АМ1 – главная балка – испытывает воздействие равномерной нагрузки, приложенной к верхнему поясу. Узлы элементов моделируются и проверяются в IDEA StatiCa Connection.

В качестве примыкающих элементов выступают колонны. Их нижний конец защемлён жёстко. Для верхнего конца колонны запрещены перемещения по осям Y и Z (поступательные перемещения из плоскости). Это позволяет учесть нагрузки от вышележащих конструкций (отсеченной части) и в данном случае приложить к ним продольную силу и изгибающий момент. Их величины соответствуют внутренним усилиям, полученным при расчёте в ПВК на основе МКЭ в 3D. Других нагрузок, действующих на колонны, нет.

Помимо колонн в качестве примыкающих элементов выступают также второстепенные балки, которые крепятся к колоннам. Они закрепляются обычным образом (характерным для балок), а нагрузка прикладывается к ним по всей длине. На концах балки также запрещён поворот относительно оси Х (кручение).

Конечно же, КМКЭ модель достаточно упрощённая. Тем не менее, такой подход более точно описывает поведение рассчитываемого элемента при изгибе, чем стандартный подход, основанный на аналитических формулах и задании конкретных граничных условий.

Пояснения приводятся на следующих рисунках.

Деформированная схема главной балки при ФНР (физически нелинейном расчёте)

Форма потери устойчивости, полученная в процессе ЛРУ (линейного расчёта устойчивости)

Расчёт

В IDEA StatiCa Member можно выполнять расчёт трёх типов:

ФНР - Физически нелинейный расчёт (нелинейный материал)
ЛРУ - Линейный расчёт устойчивости (бифуркация равновесия)
ГФНР - Геометрически и физически нелинейный расчёт с учётом начальных несовершенств

Первые два могут быть использованы для проверки элементов по нормам, к примеру, по General Method (EN 1993-1-1, Cl 6.3.4), но в большинстве случаев они используются для подготовки к третьему, наиболее точному типу расчёта.

Materially Nonlinear Analysis (MNA)

Физически нелинейный и геометрически линейный статический расчёт подходит для большинства элементов, для которых вопросы устойчивости не являются определяющим фактором. Основным назначением программы IDEA StatiCa Member является решение сложных задач, поэтому данного расчёта иногда бывает недостаточно для проведения комплексного анализа. ФНР необходим для выполнения других расчётов.

Диаграмма работы материала в численных моделях

Линейный расчёт устойчивости (ЛРУ)

В данном расчёте конструкция считается идеализированной, без каких-либо несовершенств материала, для которого принимается упругая модель. В ходе линейного расчёта устойчивости определяется коэффициент α_cr – минимально возможный множитель к расчётным нагрузкам, приводящий к потере устойчивости упругого элемента. Коэффициент находится для состояния, когда нагрузка достигает критического значения по Эйлеру. В реальности, при наличии несовершенств, величина нагрузки может быть существенно меньше, поэтому рекомендуется следующее:

При α_cr > 15 – выполнять ФНР
При α_cr < 15 – выполнять ГФНР

Другим, но не менее важным назначением ЛРУ, является нахождение формы потери устойчивости. Это даёт нам информацию о том, какая часть замоделированной конструкции теряет устойчивость. Пользователь должен проанализировать все формы потери устойчивости и выбрать определяющую форму для задания начальных несовершенств. Как правило, эти формы приводят к синусоидальной деформированной схеме рассчитываемого элемента, похожей на половину волны синусоиды или же к потере устойчивости наиболее гибких элементов (пластин).

Первая и вторая формы потери устойчивости стойки Эйлера

Форма потери устойчивости также даёт нам информацию о том, как будет происходить разрушение элемента при поперечном изгибе относительно второй или первой главной оси, при кручении (характерно для сжатых колонн) и изгибе с кручением (наблюдается в изгибаемых балках), а также при местной потере устойчивости (элементы с гибкими пластинами). Заметьте, в сложных конструкциях формы потери устойчивости могут представлять собой сочетание различных форм сразу нескольких элементов. Кроме того, если моделируется весь каркас, то, как правило, потеря устойчивости будет наблюдаться для всей схемы целиком, а не для отдельной балки или колонны. Об этом тоже следует помнить.

Изгибная, крутильная и изгибно-крутильная формы потери устойчивости

Формы потери устойчивости напрямую используются для задания начальных несовершенств в ГФНР – самом сложном расчёте с точки зрения теоретической базы.

Геометрически и физически нелинейный расчёт с учётом начальных несовершенств (ГФНР)

Геометрически и физически нелинейный расчёт с учётом начальных несовершенств – самый наукоёмкий тип статического расчёта. Все несовершенства (различная толщина пластин, погибь, остаточные напряжения, неоднородность материала, смещения опор и т.д.) рассматриваются как эквивалентные геометрические несовершенства и могут быть заданы при помощи форм потери устойчивсти, вычисленных ранее в ходе ЛРУ. Пользователь задаёт эквивалентное амплитудное значение для нужных форм, которые потом будут учитываться при ГФНР. В следующем разделе приводится более подробное описание этих несовершенств.

Оценка результатов

Большинство нормативных методик оперируют двумя типами предельных состояний – 1 ПС и 2 ПС (по несущей способности и эксплуатационной пригодности).

Предельное состояние по эксплуатационной пригодности (2 ПС)

Нормы ограничивают величину перемещений (прогибов) в элементах. Эта проверка может быть выполнена путём обычного сравнения вычисленного прогиба рассчитываемого элемента с предельным значением.

Предельное состояние по несущей способности (1 ПС)

Предельное состояние по несущей способности возникает при достижении предельного значения главных мембранных деформаций – рекомендуемое предельное значение для них составляет 5 % или же при достижении максимальной нагрузки для элементов, подверженных потере устойчивости. Максимальная нагрузка достигается в тот момент, когда нарушается сходимость итерационного процесса решателя, так как модель загружена силами. Конец сходимости означает невозможность дальнейшего прироста нагрузки, приложенной к модели.

Конец сходимости решения при ГФНР

Несовершенства

Несовершенстсва, как уже говорилось, представляют собой неточности опирания (смещения опор), остаточные напряжения в элементах, различные толщины пластин, погибь элементов и т.д. Все эти различные несовершенства заменяются одним эквивалентным геометрическим несовершенством. Будем различать три типа геометрических несовершенств:

Глобальные несовершенства конструкции
Локальные несовершенства элементов
Локальные несовершенства гибких пластин элементов

Информацию по каждому из них можно найти в EN 1993-1-1 и EN 1993-1-5.

Глобальные несовершенства

Глобальные несовершенства конструкции описываются в EN 1993-1-1, Cl. 5.3.2 (3). Считается, что конструкция отклоняется так, как показано на рисунке ниже.

Эквивалентное геометрическое несовершенство – горизонтальное отклонение схемы (из EN 1993-1-1 - Figure 5.2)

Угол, характеризующий несовершенство, равен:

\[ \phi = \phi_0 α_h α_m \]

где:

ϕ₀ = 1/200 – относительная величина несовершенства
\( 2/3 \le α_h = \frac{2}{\sqrt{h}} \le 1.0 \) – понижающий коэффициент, зависящий от высоты h применительно к колоннам
h – высота конструкции в метрах
\( \alpha_m = \sqrt{0.5 \left ( 1+\frac{1}{m} \right )} \) – понижающий коэффициент, зависящий от числа колонн в ряду
m – число колонн в ряду, включая только те колонны, которые испытывают вертикальную нагрузку N_Ed не менее 50% от среднего значения по колоннам в рассматриваемой вертикальной плоскости.

Глобальные несовершенства следует учитывать при расчёте всей модели для вычисления корректных значений нагрузки. Эти несовершенства не нужно учитывать в КМКЭ модели в IDEA StatiCa Member, к примеру, если анализируется работа одиночной балки.

Локальные несовершенства в элементах

Локальные несовершенства элементов описаны в EN 1993-1-1, Cl. 5.3.2 (3). Они учитываются в виде относительной погиби элемента - e₀/L, где e₀ – амплитуда, L – теоретическая длина элемента (расстояние между узлами).

Форма потери устойчивости согласно Табл. 6.1	Упругий расчёт	Пластический расчёт
	e₀/L	e₀/L
a0	1/350	1/300
a	1/300	1/250
b	1/250	1/200
c	1/200	1/150
d	1/150	1/100

Расчётные значения начальной погиби элементов (из EN 1993-1-1 – Table 5.1)

Так как в Steel Member используется пластический расчёт, то следует опираться именно на правый столбец таблицы. Амплитудное значение e₀следует выбирать в соответствии таблицей выше, преимущественно для сжатых элементов, в котором ожидается потеря устойчивости по изгибной, крутильной и изгибно-крутильной форме. Если элемент испытывает в основном изгиб, и основная форма для него – изгибно-крутильная, то амплитуда e₀может быть уменьшена за счёт коэффициента k = 0,5 согласно EN 1993-1-1, Cl. 5.3.4 (3).

Рассмотрим два примера:

Пример 1: Колонна

Колонна длиной 4 м нагружена продольной силой и коэффициент устойчивости α_cr = 1,4 для первой главной оси и α_cr = 1,5 для второй главной оси. Для остальных форм коэффициенты значительно выше. Тут следует рассмотреть два случая:

Устойчивость относительно первой главной оси: Согласно таблице 6.2 выбирается форма “a”, соответствующая амплитуде e₀/L = 1/250 для пластического расчёта. Поэтому для ГФНР принимается величина амплитуды, равная 4000/250 = 16 мм, которая задаётся для первой формы. Затем по результатам ГФНР оценивается напряжённо-деформированное состояние конструкции.
Устойчивость относительно второй главной оси: Согласно таблице 6.2 выбирается форма “b”, соответствующая амплитуде e₀/L = 1/200 для пластического расчёта. Поэтому для ГФНР принимается величина амплитуды, равная 4000/200 = 20 мм, которая задаётся для второй формы. Затем по результатам ГФНР оценивается напряжённо-деформированное состояние конструкции.

За предельную нагрузку будет приниматься наименьшая из полученных. В качестве альтернативного варианта можно учесть сразу две формы потери устойчивости в рамках одного расчёта. При этом результат будет более консервативным, а расчёт займёт меньше времени.

Пример 2: Балка

Балка пролётом 6 м в осях (расстояние между узлами) загружена поперечной нагрузкой. В ходе ЛРУ было выяснено, что первая форма потери устойчивости – изгибно-крутильная с α_cr = 1,9. По остальным формам коэффициенты существенно выше. Согласно таблице 6.4 выбирается форма “a”, соответствующая амплитуде e₀/L = 1/250. Так как оценивается изгибно-крутильная форма, то может быть использован понижающий коэффициент k = 0,5. Для первой формы потери устойчивости в ГФНР задаётся амплитудное значение 0,5 х 6000 / 250 = 12 мм, после чего оценивается напряжённо-деформированное состояние конструкции.

Локальные несовершенства в гибких пластинах

Для элементов 4 класса следует учитывать локальные несовершенства пластин. Амплитудное значение несовершенства для панели должно приниматься равным a/200, где a – панель наименьшей длины согласно EN 1993-1-5, Cl. C.5.

Местная потеря устойчивости гибких пластин (стенки балки)

Хотя ГФНР может использоваться для назначения гибкости элементов, на сегодняшний день не было проведено достаточно верификационных и валидационных тестов, подтверждающих безопасность этого подхода. Поэтому рекомендуется пока воздержаться от использования IDEA StatiCa Member для гибких и тонкостенных элементов (4 класс конструкций.

Влияние несовершенств на численный расчёт гибких пластин

Задание несовершенств в IDEA StatiCa Member

IDEA Member позволяет задать несовершенства для каждой из полученных форм в виде абсолютной величины амплитуды. Обычно первой формы потери устойчивости с максимальной амплитудой по Табл. 5.1 из EN 1993-1-1 бывает достаточно. Для элементов с сечением 4 класса следует выбирать больше форм и использовать комбинацию как минимум первых двух. Для моделей с несколькими рассчитываемыми элементами также следует учитывать несколько форм.

Выберите язык