Due travi con sezione trasversale W10\(\times\)26 sono collegate tra loro tramite un collegamento con piastra d'estremità a momento estesa irrigidita a quattro bulloni. Le piastre d'estremità hanno uno spessore di 1/2'' e sono collegate da 3 file di bulloni. Tutto l'acciaio è di grado A572 Gr. 50 (f_y = 50 ksi, f_u = 65 ksi) e i bulloni sono di grado 3/4'' grado A325 (f_yb =92 ksi, f_ub = 119.7 ksi). Il collegamento è caricato dal momento flettente massimo determinato dalla valutazione manuale utilizzando la Design guide 16 e AISC 360-16. 

Sezione trasversale della trave

Dimensioni del collegamento con piastra d'estremità

Modello trasparente con dimensioni dell'allargatore e carico applicato

Valutazione manuale

La valutazione manuale è eseguita secondo la Design guide 16: Flush and Extended Multiple-Row Moment End-Plate Connections – Capitolo 4: Extended End-Plate Design e AISC 360-16 – Capitolo J. Sono richieste le seguenti verifiche:

• Resistenza dei bulloni a trazione – AISC 360-16 – J3.6
• Snervamento della piastra d'estremità – Design guide 16
• Resistenza delle saldature – AISC 360-16 – J2.4

Si assume che la progettazione delle travi sia verificata altrove.

Resistenza allo snervamento dei bulloni e della piastra d'estremità

Resistenza a trazione dei bulloni

\[A_b = \frac{\pi d_b^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0.75^2}{4} = 0.442 \,\textrm{in}^2 \]

\[P_t = R_n = F_n A_b = 90 \cdot 0.442 = 39.8 \,\textrm{kip}\]

Pretensione del bullone serrato a contatto:

\[T_b = 0.5 \cdot 28 = 14 \,\textrm{kip}\]

Forze di leva

Le forze di leva sono determinate secondo la Design guide 16 – Tabella 4-1:

Fila di bulloni interna:

\[a_i = 3.682 \left ( \frac{t_p}{d_b} \right )^3 - 0.085 = 3.682 \left( \frac{0.5}{0.75} \right)^3 - 0.085 = 1.006 \]

\[w' = b_p / 2 - (d_b + 1/16) = 5.787 / 2 - (0.75 + 1/16) = 2.081 \,\textrm{in} \]

\[F'_i = \frac{t_p^2 F_{py} \left ( 0.85 \frac{b_p}{2} + 0.80 w' \right ) + \frac{\pi d_b^3 F_t}{8}}{4 p_{f,i}} \]

\[F'_i = \frac{0.5^2 \cdot 50 \left ( 0.85 \cdot \frac{5.787}{2} + 0.80 \cdot 2.081 \right ) + \frac{\pi \cdot 0.75^3 \cdot 90}{8}}{4 \cdot 1.759} = 9.446 \]

\[Q_{max,i}= \frac{w' t_p^2}{4 a_i} \sqrt{F_{py}^2 -3 \left( \frac{F'_i}{w' t_p} \right)^2 } \]

\[Q_{max,i}= \frac{2.081 \cdot 0.5^2}{4 \cdot 1.006} \sqrt{50^2 -3 \cdot \left( \frac{9.446}{2.081 \cdot 0.5} \right)^2 }  = 6.137 \,\textrm{kip}\]

Fila di bulloni esterna:

\[a_o = 3.682 \left ( \frac{t_p}{d_b} \right )^3 - 0.085 = 3.682 \left( \frac{0.5}{0.75} \right)^3 - 0.085 = 1.006 \]

\[w' = b_p / 2 - (d_b + 1/16) = 5.787 / 2 - (0.75 + 1/16) = 2.081 \,\textrm{in} \]

\[F'_o = \frac{t_p^2 F_{py} \left ( 0.85 \frac{b_p}{2} + 0.80 w' \right ) + \frac{\pi d_b^3 F_t}{8}}{4 p_{f,o}} \]

\[F'_o = \frac{0.5^2 \cdot 50 \left ( 0.85 \cdot \frac{5.787}{2} + 0.80 \cdot 2.081 \right ) + \frac{\pi \cdot 0.75^3 \cdot 90}{8}}{4 \cdot 2} = 8.308 \]

\[Q_{max,i}= \frac{w' t_p^2}{4 a_o} \sqrt{F_{py}^2 -3 \left( \frac{F'_o}{w' t_p} \right)^2 } \]

\[Q_{max,i}= \frac{2.081 \cdot 0.5^2}{4 \cdot 1.006} \sqrt{50^2 -3 \cdot \left( \frac{8.308}{2.081 \cdot 0.5} \right)^2 }  = 6.212 \,\textrm{kip}\] 

Snervamento della piastra d'estremità

\[s=\frac{1}{2} \sqrt{b_p g} = \frac{1}{2} \sqrt{5.787 \cdot 3.387} = 2.214 \,\textrm{in}\]

La dimensione s è maggiore della dimensione d_e, pertanto si applica il caso 2.

Meccanismo di snervamento della piastra d'estremità (Design guide 16)

\[Y = \frac{b_p}{2} \left[ h_1 \left( \frac{1}{p_{f,i}} + \frac{1}{s} \right) + h_o \left( \frac{1}{p_{f,o}} + \frac{1}{2s} \right) \right] + \frac{2}{g} [h_1 (p_{f,i}+s) + h_o (d_e + p_{f,o})]\]

\[Y = \frac{5.787}{2} \left[ 8.115 \left( \frac{1}{1.759} + \frac{1}{2.214} \right) + 12.315 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 2.214} \right) \right] + \frac{2}{3.387} [8.115 (1.759+2.214) + 12.315 (1.5 + 2)] = 94.310 \,\textrm{in}\]

\[\frac{M_n}{\Omega} = \frac{M_{pl}}{\Omega} = \frac{F_{py} t_p^2 Y}{\Omega} = \frac{50 0.5^2 \cdot 94.310}{1.67} = 705.911\,\textrm{kip-in}\]

Rottura dei bulloni con effetto di leva

\[\frac{M_n}{\Omega} =\frac{1342.4}{2} = 671.198 \,\textrm{kip}\]

Rottura dei bulloni senza effetto di leva

\[\frac{M_n}{\Omega} =\frac{2P_t(d_o+d_1)}{\Omega}\frac{2\cdot 39.8 \cdot (12.095+7.895)}{2} = 795.602 \,\textrm{kip}\]

Il modo di rottura determinante è quello con la resistenza minore, ovvero la rottura dei bulloni con effetto di leva, \(\frac{M_n}{\Omega}=671.198 \,\textrm{kip}\).

Resistenza delle saldature

Nella valutazione manuale, si assume che la saldatura efficace che trasferisce il momento flettente sia una croce composta dalla saldatura dell'irrigidimento alla prolunga della piastra d'estremità (l = 3.5 in, w = 1/4''), dalla saldatura dell'ala alla piastra d'estremità (l = 5.787 in, w = 1/4'') e dalla saldatura della parte efficace stimata dell'anima alla piastra d'estremità (l = 3.5 in, w= 1/4''). Il baricentro di tale croce si trova convenientemente in corrispondenza dell'ala della trave, quindi il braccio della leva è 9.874 in. La croce di saldatura deve trasferire la forza M_u/9.874= 671/9.874 = 68 kip.

\[A_{we} = 1/4 \cdot 2\cdot (3.5+5.787+3.5) / \sqrt(2)=4.52\,\textrm{in}^2 \]

\[F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 40^\circ) = 53 \,\textrm{ksi} \]

\[R_n/\Omega = F_{nw} A_{we} / \Omega = 53 \cdot 4.52 / 2= 119.78 \,\textrm{kip}\]

La resistenza delle saldature è sufficiente.

La resistenza delle saldature compresse non è verificata qui, poiché si prevede che i carichi siano trasferiti per contatto diretto.

Verifica normativa in IDEA StatiCa

In IDEA StatiCa Connection, tutte le forze di leva e le linee di snervamento sono determinate automaticamente tramite analisi agli elementi finiti. Le forze nei bulloni sono mostrate includendo le forze di leva. Il punto di rotazione è anch'esso calcolato automaticamente e non richiede stime preliminari. Tutte le saldature sono verificate e non si assume alcun trasferimento di forza per contatto. La soluzione alternativa consiste nell'impostare il contatto o la saldatura di testa al posto della saldatura d'angolo.

Tensione di Von Mises

Deformazione plastica, carico applicato e forze nei bulloni su un modello deformato (scala 10\(\times\))

Dettaglio della deformazione della piastra d'estremità (scala 20\(\times\))

Verifica delle tensioni e delle deformazioni nelle piastre

Verifica dei bulloni

Verifica delle saldature

La rigidezza può essere facilmente valutata anche in IDEA StatiCa Connection. Questo collegamento è prossimo al confine tra rigido e semi-rigido. Il confine dipende dalla lunghezza della trave collegata.

Rigidezza del giunto

Confronto

IDEA StatiCa Connection fornisce gli stessi risultati della valutazione manuale. I bulloni sono sfruttati al 99,7%, le piastre d'estremità stanno snervando, la deformazione plastica è dell'1,8%, il che significa che il modo di rottura per snervamento della piastra d'estremità è prossimo. La forma deformata coincide con la deformazione ipotizzata nella Design Guide 16. Lo sfruttamento al 100% si raggiunge al momento flettente di 673 kip-in (differenza dello 0,3%).

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