Ancoragem

Subcódigo: LRFD

Tipo de ligação: Ancoragem

Sistema de unidades: Métrico

Dimensionado de acordo com: ACI 318-14

Investigado: Âncoras sujeitas a tração e corte próximas de uma aresta

Material da chapa: A709, Gr. 50

Parafusos: M12 A325M

Classe do betão: 4000 psi

Geometria

O esquema de âncoras e a secção em T da placa de base–coluna são irrealistas, mas servem como verificação da maioria das funcionalidades no dimensionamento de ancoragens. O desvio do bloco de betão em relação à placa de base é de 200 mm para cima e para a esquerda, 300 mm para a direita e 0 mm para baixo. A altura do bloco de betão é de 600 mm. As âncoras esquerda e direita estão a 50 mm e 100 mm do centro da coluna, respetivamente. Isto serve para obter excentricidade de carga de tração e corte. Todas as chapas são dimensionadas para permanecer em regime elástico.

Carga aplicada

A coluna é carregada por uma força de tração de 10 kN e forças de corte nas direções y e z, –5 kN e 2 kN. Tanto as forças de tração como as de corte atuam com excentricidade devido à posição das âncoras.

Procedimento

As âncoras são dimensionadas de acordo com a ACI 318-14 – Capítulo 17. Assume-se betão simples fendilhado no dimensionamento. Todas as cargas são consideradas estáticas. As âncoras são M12 A325M, moldadas no local com cabeça e placas de anilha circulares com diâmetro de 24 mm. As forças de corte são transferidas através das âncoras. A resistência das chapas e das soldaduras é suficiente e não é verificada aqui.

Nota: A conversão de unidades imperiais para unidades métricas de fórmulas não homogéneas consta no Apêndice B da ACI 318-14. As fórmulas fornecem resultados semelhantes, mas não exatamente iguais. Para evitar diferentes utilizações para unidades imperiais e métricas, preferem-se as unidades imperiais e os coeficientes nas fórmulas não homogéneas são ligeiramente modificados para unidades métricas; por exemplo, na Equação 17.4.4.1, em vez do coeficiente 13, utiliza-se o coeficiente mais preciso 13,2855.

Cálculo manual

A verificação das âncoras é efetuada de acordo com a ACI 318-14 – Capítulo 17. A resistência do aço à tração e ao corte e a resistência ao arranque são fornecidas para âncoras individuais, e a resistência ao arrancamento do betão à tração e ao corte, a resistência ao arrancamento lateral do betão e a resistência ao arrancamento por alavanca do betão são fornecidas para grupos de âncoras. Assume-se que o betão é simples e em condição fendilhada.

Distribuição de forças

A força de tração é transferida por 2 âncoras, uma a 50 mm da origem do vetor de força e a outra a 100 mm. Presume-se que a âncora mais próxima transfere 2/3 da força de tração e a mais afastada 1/3, ou seja, a âncora mais próxima é carregada pela força de tração N_f1 = 6,67 kN e a mais afastada por N_f2 = 3,33 kN. A excentricidade da força do grupo de âncoras é de 25 mm.

A força de corte na direção da aresta mais próxima é transferida por 2 âncoras, uma a 50 mm da origem do vetor de força e a outra a 100 mm. Presume-se que a âncora mais próxima transfere 2/3 da força de corte e a mais afastada 1/3, ou seja, a âncora mais próxima é carregada pela força de corte V_fx1 = 3,33 kN e a mais afastada por V_fx2 = 1,67 kN. A excentricidade da força do grupo de âncoras é de 25 mm. A força de corte na direção paralela à aresta mais próxima, 2 kN, é distribuída igualmente entre as duas âncoras. As somas vetoriais das forças de corte são V_f1 = 3,48 kN, V_f2 = 1,94 kN, e para o grupo de âncoras V_f = 5,39 kN.

Resistência do aço da âncora à tração

A resistência do aço da âncora à tração é determinada de acordo com a ACI 318-14 – 17.4.1 como

ϕN_sa = ϕ A_se,Nf_uta = 0,7 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 48,7 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

onde:

• ϕ = 0,7 – fator de redução de resistência para âncoras à tração de acordo com a ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,N = 84 mm² – área de tensão de tração
• f_uta = 827,4 MPa – resistência à tração especificada do aço da âncora, não devendo ser superior a 1,9 f_ya nem a 120 ksi

Utilização: N_f1 / ϕN_sa = 6,67 / 48,7 = 13,7 %

Resistência ao arrancamento do betão à tração

A resistência ao arrancamento do betão é dimensionada de acordo com o Concrete Capacity Design (CCD) na ACI 318-14 – Capítulo 17.4.2. As âncoras são tratadas como um grupo porque estão próximas entre si, com espaçamento s = 150 mm ≤ 3 ⋅ h_ef = 3 ⋅ 100 = 300 mm.

\[ \phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b \]

onde:

• ϕ = 0,7 – fator de redução de resistência para âncoras à tração de acordo com a ACI 318-14 – 17.3.3
• A_Nc = (50 + 150 + 12) ⋅ (150 + 12 + 150 + 12 + 150) = 100 488 mm² – área real do cone de arrancamento do betão para um grupo de âncoras que formam um cone de betão comum. De acordo com a Cl. 17.4.2.8, a área projetada da superfície de rotura é obtida projetando a superfície de rotura para fora a partir do perímetro efetivo da placa de anilha.
• A_Nco = 9 h_ef² = 9 ⋅ 100² = 90 000 mm² – área do cone de arrancamento do betão para uma âncora individual não influenciada por arestas
• \( \psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 100}}=0.857 \) – fator de modificação para grupos de âncoras carregados excentricamente à tração
• \( \psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 50}{1.5 \cdot 100}, 1 \right ) = 0.8 \) – fator de modificação para distância à aresta
• c_a,min = 50 mm – menor distância da âncora à aresta
• Ψ_c,N = 1 – fator de modificação para as condições do betão
• Ψ_cp,N = 1 para âncora moldada no local
• \( N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 10 \cdot 1 \cdot  \sqrt{27.6} \cdot 100^{1.5} = 52.7 \,\textrm{kN} \)– resistência básica ao arrancamento do betão de uma âncora individual à tração em betão fendilhado; h_ef ≤ 280 mm (11 in)
• k_c = 10 para âncoras moldadas no local e unidades métricas
• h_ef = 100 mm – profundidade de embebimento; de acordo com o Capítulo 17.4.2.3 da ACI 318-14, a profundidade de embebimento efetiva h_ef é reduzida para \( h_{ef} = \max \left ( \frac{c_{a,max}}{1.5}, \frac{s}{3} \right ) \)
• se as âncoras estiverem localizadas a menos de 1,5 h_ef de três ou mais arestas
• s = 150 mm – espaçamento entre âncoras
• c_a,max = 350 mm – distância máxima de uma âncora a uma das três arestas próximas
• λ_a = 1 – fator de modificação para betão leve
• f'_c = 27,6 MPa – resistência à compressão do betão

\[ \phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{100488}{90000} \cdot 0.857 \cdot 0.8 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 52.7 = 28.3 \,\textrm{kN} \ge N_f = 10\,\textrm{kN} \]

Utilização: N_f / ϕN_cbg = 10 / 28,3 = 35,4 %

Resistência ao arranque à tração

A resistência ao arranque do betão de uma âncora é definida na ACI 318-14 – 17.4.3 como

ϕN_pn = ϕΨ_c,PN_p = 0,7 ⋅ 1 ⋅ 74,9 = 52,4 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

onde:

• ϕ = 0,7 – fator de redução de resistência para âncoras à tração de acordo com a ACI 318-14 – 17.3.3
• Ψ_c,P = 1 – fator de modificação para a condição do betão, Ψ_c,P = 1,0 para betão fendilhado
• N_P = 8 A_brgf'_c = 8 ⋅ 339,3 ⋅ 27,6 = 74,9 kN – para âncora com cabeça – Cl. 17.4.3.4
• A_brg = π ⋅ (d_wp² – d_a²) / 4 = π ⋅ (24² – 12²) / 4 = 339,3 mm²– área de apoio da cabeça do parafuso de ancoragem
• f'_c = 27,6 MPa – resistência à compressão do betão

Utilização: N_f1 / ϕN_pn = 6,67 / 52,4 = 12,7 %

Resistência ao arrancamento lateral do betão

A resistência ao arrancamento lateral do betão de uma âncora com cabeça à tração é definida na ACI 318-14 – 17.4.4 como

\[ \phi N_{sb} = \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} \]

A resistência ao arrancamento lateral do betão é multiplicada pelo fator de redução para múltiplas âncoras com cabeça próximas de uma aresta e próximas entre si, de acordo com a Cl. 17.4.4.2:

\[ 1+\frac{s}{6 c_{a1}} = 1+\frac{150}{6 \cdot 50} = 1.5 \le 2 \]

onde:

• ϕ = 0,7 – fator de redução de resistência para âncoras à tração de acordo com a ACI 318-14 – 17.3.3
• c_a1 = 50 mm – distância mais curta do eixo de uma âncora a uma aresta
• c_a2 = 350 mm – distância mais longa, perpendicular a c_a1, do eixo de uma âncora a uma aresta
• A_brg = 339,3 mm² – área de apoio da cabeça do parafuso de ancoragem
• f'_c = 27,6 MPa – resistência à compressão do betão
• h_ef = 100 mm – profundidade de embebimento
• s = 150 mm – espaçamento entre âncoras

\[ \phi N_{sbg} = 1.5 \cdot \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 1.5 \cdot 0.7 \cdot 13 \cdot 50 \cdot \sqrt{339.3} \cdot \sqrt{27.6} = 67.4\,\textrm{kN} \ge N_{f} = 10\,\textrm{kN} \]

Utilização: N_f / ϕN_cbg = 10 / 67,4 = 26,7 %

Resistência do aço ao corte

A resistência do aço ao corte é determinada de acordo com a ACI 318-14 – 17.5.1 como

ϕV_sa = ϕ 0,6 A_se,Vf_uta = 0,65 ⋅ 0,6 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 27,1 kN ≥ V_f1 = 3,48 kN

onde:

• ϕ = 0,65 – fator de redução de resistência para âncoras à tração de acordo com a ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,V = 84 mm² – área de tensão de tração
• f_uta = 827,4 MPa – resistência à tração especificada do aço da âncora, não devendo ser superior a 1,9 f_ya nem a 120 ksi

Utilização: V_f1 / ϕV_sa = 3,48 / 27,1 = 12,7 %

Resistência ao arrancamento do betão ao corte

A resistência ao arrancamento do betão de um grupo de âncoras ao corte é dimensionada de acordo com a ACI 318-14 – 17.5.2.

\[ \phi V_{cbg} = \phi \frac{A_V}{A_{Vo}} \psi_{ec,V} \psi_{ed,V} \psi_{c,V} \psi_{h,V} \psi_{\alpha,V} V_b \]

onde:

• ϕ = 0,65 – fator de redução de resistência para âncoras ao corte de acordo com a ACI 318-14 – 17.3.3
• A_v = (50 ⋅ 1,5) ⋅ (50 ⋅ 1,5 + 150 + 50 ⋅ 1,5) = 22 500 mm² – área projetada de rotura do betão de uma âncora ou grupo de âncoras
• A_vo = 4,5 c_a1² = 4,5 ⋅ 50² = 11 250 mm² – área projetada de rotura do betão de uma âncora quando não limitada por influências de canto, espaçamento ou espessura do elemento
• \( \psi_{ec,V} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_V}{3 c_{a1}}}= \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 50}}=0.75 \) – fator de modificação para grupos de âncoras carregados excentricamente ao corte
• \( \psi_{ed,V} = 0.7 + 0.3 \frac{c_{a2}}{1.5 c_{a1}} = 0.7 + 0.3 \frac{350}{1.5 \cdot 50} = 2.1\le 1.0 \) – fator de modificação para efeito de aresta
• Ψ_c,V = 1 – fator de modificação para as condições do betão; Ψ_c,V = 1,0 para betão fendilhado
• \( $\psi_{h,V} = \sqrt{\frac{1.5 c_{a1}}{h_a}} = \sqrt{\frac{1.5 \cdot 50}{600}} = 0.354 \ge 1 \)– fator de modificação para âncoras localizadas num elemento de betão onde h_a < 1,5 c_a1
• \( \psi_{\alpha ,V} = \sqrt{\frac{1}{(\cos \alpha_V )^2 + (0.5 \sin \alpha_V)^2}}=\sqrt{\frac{1}{(\cos 21.8^\circ )^2 + (0.5 \sin 21.8^\circ)^2}} = 1.056 \)– fator de modificação para âncoras carregadas com um ângulo 90° − α_V em relação à aresta do betão; na ACI 318-14 – 17.5.2.1 apenas constam valores discretos, a equação é retirada do boletim FIB 58 – Design of anchorages in concrete (2011)
• h_a = 600 mm – altura da superfície de rotura no lado do betão

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{l_e}{d_a} \right )^{0.2} \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5}, 3.7 \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5} \right ) \]

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{96}{12} \right )^{0.2} \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 5.666 \, \textrm{kN}, 3.7 \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 6.993 \, \textrm{kN} \right ) = 5.666 \, \textrm{kN} \]

• l_e = h_ef = 100 mm ≤ 8 d_a = 8 ⋅ 12 = 96 mm – comprimento resistente da âncora ao corte
• d_a = 12 mm – diâmetro da âncora
• f'_c = 27,6 MPa – resistência à compressão do betão
• c_a1 = 50 mm – distância à aresta na direção da carga, c_a2 ≥ 1,5 c_a1 e h_a ≥ 1,5 c_a1
• c_a2 = 350 mm – distância à aresta na direção perpendicular à carga

\[ \phi V_{cbg} = 0.65 \cdot \frac{22500}{11250} \cdot 0.75 \cdot  1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.056 \cdot 5.666 = 5.835 \, \textrm{kN} \ge V_f = 5.39 \, \textrm{kN} \]

Utilização: V_f / ϕV_cbg = 5,39 / 5,835 = 92,3 %

Resistência ao arrancamento por alavanca do betão ao corte

A resistência ao arrancamento por alavanca do betão é dimensionada de acordo com a ACI 318-14 – 17.5.3. Assume-se que todas as âncoras estão sujeitas a tração e que não existe excentricidade para a resistência ao arrancamento do betão.

ϕV_cp = ϕk_cpN_cp = 0,65 ⋅ 2 ⋅ 47,1 = 61,2 kN ≥ V_f = 5,39 kN

onde:

• ϕ = 0,65 – fator de redução de resistência para âncoras ao corte de acordo com a ACI 318-14 – 17.3.3
• k_cp = 2,0 para h_ef ≥ 50 mm
• N_cp = N_cb = 47,1 kN (resistência ao arrancamento do betão – todas as âncoras são assumidas à tração) no caso de âncoras moldadas no local

Utilização: V_f / ϕV_cp = 5,39 / 61,2 = 5,7 %

Interação de forças de tração e corte

A interação de forças de tração e corte é avaliada de acordo com a ACI 318-14 – R17.6.

\[ \left ( \frac{N_{ua}}{N_n} \right )^{\zeta} + \left ( \frac{V_{ua}}{V_n} \right )^{\zeta} = \left ( 0.354 \right )^{5/3} + \left ( 0.923 \right )^{5/3}= 1.062 \le 1.0 \]

onde:

• N_ua e V_ua – forças de cálculo que atuam numa âncora
• N_n e V_n – as menores resistências de cálculo determinadas a partir de todos os modos de rotura aplicáveis
• ς = 5 / 3

A resistência da ancoragem não é suficiente para transferir forças combinadas de tração e corte.

Verificação no IDEA StatiCa Connection

Adicionalmente, são apresentados os resultados das soldaduras e do bloco de betão à compressão. O carregamento destes componentes é negligenciável e, consequentemente, também a sua utilização.

Comparação

A distribuição de forças no IDEA StatiCa Connection é ligeiramente diferente da avaliação manual. A coluna e a placa de base deformam-se e a placa de base está em contacto com o bloco de betão. A tensão de apoio aumenta as forças nas âncoras. Assim, os fatores que têm em conta a excentricidade da força são ligeiramente diferentes. A resistência ao arrancamento lateral do betão é verificada no IDEA StatiCa Connection para cada âncora individualmente, mas no cálculo manual pode ser verificada como grupo para obter uma resistência ligeiramente superior. Por estas razões, algumas resistências individuais à carga são ligeiramente diferentes, mas apenas por alguns pontos percentuais. A utilização final – interação de forças de tração e corte – é praticamente idêntica: 106,2 % na avaliação manual e 107,7 % no IDEA StatiCa.