Verankerung

Teilcode: LRFD

Verbindungstyp: Verankerung

Einheitensystem: Metrisch

Bemessen nach: ACI 318-14

Untersucht: Anker unter Zug- und Querkraftbeanspruchung in Randnähe

Plattenwerkstoff: A709, Gr. 50

Schrauben: M12 A325M

Betongüte: 4000 psi

Geometrie

Die Ankeranordnung und der T-Querschnitt aus Fußplatte und Stütze sind unrealistisch, dienen jedoch der Überprüfung der meisten Funktionen bei der Ankerbemessung. Der Versatz des Betonblocks gegenüber der Fußplatte beträgt 200 mm nach oben und nach links, 300 mm nach rechts und 0 mm nach unten. Die Höhe des Betonblocks beträgt 600 mm. Der linke und der rechte Anker befinden sich 50 mm bzw. 100 mm vom Stützenmittelpunkt entfernt. Dies dient dazu, eine Exzentrizität der Zug- und Querkraft zu erzielen. Alle Platten sind so bemessen, dass sie im elastischen Zustand verbleiben.

Einwirkende Last

Die Stütze wird durch eine Zugkraft von 10 kN sowie Querkräfte in y- und z-Richtung von –5 kN bzw. 2 kN beansprucht. Sowohl die Zug- als auch die Querkräfte wirken mit einer Exzentrizität infolge der Ankerposition.

Vorgehensweise

Die Anker werden gemäß ACI 318-14 – Kapitel 17 bemessen. Für die Bemessung wird gerissener unbewehrter Beton angenommen. Alle Lasten werden als statisch betrachtet. Die Anker sind M12 A325M, einbetonierte Kopfbolzen mit kreisförmigen Unterlegplatten mit einem Durchmesser von 24 mm. Querkräfte werden über die Anker übertragen. Die Tragfähigkeit der Platten und Schweißnähte ist ausreichend und wird hier nicht nachgewiesen.

Hinweis: Die Umrechnung von imperialen Einheiten in metrische Einheiten für nicht-homogene Formeln ist in Anhang B von ACI 318-14 beschrieben. Die Formeln liefern ähnliche, aber nicht exakt gleiche Ergebnisse. Um unterschiedliche Ausnutzungen für imperiale und metrische Einheiten zu vermeiden, werden imperiale Einheiten bevorzugt und die Koeffizienten in nicht-homogenen Formeln für metrische Einheiten geringfügig angepasst, z. B. wird in Gleichung 17.4.4.1 anstelle des Koeffizienten 13 der genauere Koeffizient 13,2855 verwendet.

Handrechnung

Der Normnachweis der Anker erfolgt gemäß ACI 318-14 – Kapitel 17. Die Stahlzugfestigkeit und Stahlquerkrafttragfähigkeit sowie die Ausziehfestigkeit werden für einzelne Anker nachgewiesen; die Betonausbruchfestigkeit unter Zug- und Querkraft, die seitliche Betonausbruchfestigkeit sowie die Betonrückseitenausbruchfestigkeit werden für Ankergruppen nachgewiesen. Es wird angenommen, dass der Beton unbewehrt und gerissen ist.

Kraftverteilung

Die Zugkraft wird über 2 Anker übertragen, wobei einer 50 mm und der andere 100 mm vom Kraftangriffspunkt entfernt ist. Es wird angenommen, dass der nähere Anker 2/3 der Zugkraft und der entferntere 1/3 überträgt, d. h. der nähere Anker wird durch die Zugkraft N_f1 = 6,67 kN und der entferntere durch N_f2 = 3,33 kN beansprucht. Die Kraftexzentrizität der Ankergruppe beträgt 25 mm.

Die Querkraft in Richtung zur nächsten Kante wird über 2 Anker übertragen, wobei einer 50 mm und der andere 100 mm vom Kraftangriffspunkt entfernt ist. Es wird angenommen, dass der nähere Anker 2/3 der Querkraft und der entferntere 1/3 überträgt, d. h. der nähere Anker wird durch die Querkraft V_fx1 = 3,33 kN und der entferntere durch V_fx2 = 1,67 kN beansprucht. Die Kraftexzentrizität der Ankergruppe beträgt 25 mm. Die Querkraft parallel zur nächsten Kante von 2 kN wird gleichmäßig auf beide Anker verteilt. Die vektoriellen Summen der Querkräfte betragen V_f1 = 3,48 kN, V_f2 = 1,94 kN und für die Ankergruppe V_f = 5,39 kN.

Stahlzugtragfähigkeit des Ankers

Die Stahlzugtragfähigkeit des Ankers wird gemäß ACI 318-14 – 17.4.1 bestimmt als

ϕN_sa = ϕ A_se,Nf_uta = 0,7 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 48,7 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

wobei:

• ϕ = 0,7 – Abminderungsbeiwert für Anker unter Zugbeanspruchung gemäß ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,N = 84 mm² – Spannungsquerschnitt
• f_uta = 827,4 MPa – charakteristische Zugfestigkeit des Ankerstahls; darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 120 ksi

Ausnutzung: N_f1 / ϕN_sa = 6,67 / 48,7 = 13,7 %

Betonausbruchfestigkeit unter Zugbeanspruchung

Die Betonausbruchfestigkeit wird nach dem Concrete Capacity Design (CCD) gemäß ACI 318-14 – Kapitel 17.4.2 bemessen. Die Anker werden als Gruppe behandelt, da sie nahe beieinander liegen; der Abstand s = 150 mm ≤ 3 ⋅ h_ef = 3 ⋅ 100 = 300 mm.

\[ \phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b \]

wobei:

• ϕ = 0,7 – Abminderungsbeiwert für Anker unter Zugbeanspruchung gemäß ACI 318-14 – 17.3.3
• A_Nc = (50 + 150 + 12) ⋅ (150 + 12 + 150 + 12 + 150) = 100 488 mm² – tatsächliche Betonausbruchkegelfläche für eine Ankergruppe, die einen gemeinsamen Betonkegel bildet. Gemäß Abschnitt 17.4.2.8 wird die projizierte Fläche der Bruchfläche durch Projektion der Bruchfläche vom wirksamen Umfang der Unterlegplatte nach außen bestimmt.
• A_Nco = 9 h_ef² = 9 ⋅ 100² = 90 000 mm² – Betonausbruchkegelfläche für einen einzelnen Anker ohne Randeinfluss
• \( \psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 100}}=0.857 \) – Beiwert für exzentrisch auf Zug beanspruchte Ankergruppen
• \( \psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 50}{1.5 \cdot 100}, 1 \right ) = 0.8 \) – Beiwert für den Randabstand
• c_a,min = 50 mm – kleinster Abstand vom Anker zur Kante
• Ψ_c,N = 1 – Beiwert für die Betonbedingungen
• Ψ_cp,N = 1 für einbetonierten Anker
• \( N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 10 \cdot 1 \cdot  \sqrt{27.6} \cdot 100^{1.5} = 52.7 \,\textrm{kN} \)– Grundwert der Betonausbruchfestigkeit eines einzelnen Ankers unter Zugbeanspruchung in gerissenem Beton; h_ef ≤ 280 mm (11 in)
• k_c = 10 für einbetonierte Anker und metrische Einheiten
• h_ef = 100 mm – Einbindetiefe; gemäß Abschnitt 17.4.2.3 in ACI 318-14 wird die wirksame Einbindetiefe h_ef reduziert auf \( h_{ef} = \max \left ( \frac{c_{a,max}}{1.5}, \frac{s}{3} \right ) \)
• wenn Anker weniger als 1,5 h_ef von drei oder mehr Kanten entfernt sind
• s = 150 mm – Abstand zwischen den Ankern
• c_a,max = 350 mm – maximaler Abstand von einem Anker zu einer der drei nahen Kanten
• λ_a = 1 – Beiwert für Leichtbeton
• f'_c = 27,6 MPa – Betondruckfestigkeit

\[ \phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{100488}{90000} \cdot 0.857 \cdot 0.8 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 52.7 = 28.3 \,\textrm{kN} \ge N_f = 10\,\textrm{kN} \]

Ausnutzung: N_f / ϕN_cbg = 10 / 28,3 = 35,4 %

Ausziehfestigkeit unter Zugbeanspruchung

Die Betonausziehfestigkeit eines Ankers ist in ACI 318-14 – 17.4.3 definiert als

ϕN_pn = ϕΨ_c,PN_p = 0,7 ⋅ 1 ⋅ 74,9 = 52,4 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

wobei:

• ϕ = 0,7 – Abminderungsbeiwert für Anker unter Zugbeanspruchung gemäß ACI 318-14 – 17.3.3
• Ψ_c,P = 1 – Beiwert für die Betonbedingungen; Ψ_c,P = 1,0 für gerissenen Beton
• N_P = 8 A_brgf'_c = 8 ⋅ 339,3 ⋅ 27,6 = 74,9 kN – für Kopfbolzenanker – Abschnitt 17.4.3.4
• A_brg = π ⋅ (d_wp² – d_a²) / 4 = π ⋅ (24² – 12²) / 4 = 339,3 mm²– Auflagerfläche des Ankerkopfes
• f'_c = 27,6 MPa – Betondruckfestigkeit

Ausnutzung: N_f1 / ϕN_pn = 6,67 / 52,4 = 12,7 %

Seitliche Betonausbruchfestigkeit

Die seitliche Betonausbruchfestigkeit eines Kopfbolzenankers unter Zugbeanspruchung ist in ACI 318-14 – 17.4.4 definiert als

\[ \phi N_{sb} = \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} \]

Die seitliche Betonausbruchfestigkeit wird gemäß Abschnitt 17.4.4.2 mit einem Abminderungsbeiwert für mehrere Kopfbolzenanker in Randnähe und geringem gegenseitigem Abstand multipliziert:

\[ 1+\frac{s}{6 c_{a1}} = 1+\frac{150}{6 \cdot 50} = 1.5 \le 2 \]

wobei:

• ϕ = 0,7 – Abminderungsbeiwert für Anker unter Zugbeanspruchung gemäß ACI 318-14 – 17.3.3
• c_a1 = 50 mm – kürzerer Abstand von der Ankermittelachse zur Kante
• c_a2 = 350 mm – längerer Abstand, senkrecht zu c_a1, von der Ankermittelachse zur Kante
• A_brg = 339,3 mm² – Auflagerfläche des Ankerkopfes
• f'_c = 27,6 MPa – Betondruckfestigkeit
• h_ef = 100 mm – Einbindetiefe
• s = 150 mm – Abstand zwischen den Ankern

\[ \phi N_{sbg} = 1.5 \cdot \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 1.5 \cdot 0.7 \cdot 13 \cdot 50 \cdot \sqrt{339.3} \cdot \sqrt{27.6} = 67.4\,\textrm{kN} \ge N_{f} = 10\,\textrm{kN} \]

Ausnutzung: N_f / ϕN_cbg = 10 / 67,4 = 26,7 %

Stahlquerkrafttragfähigkeit

Die Stahlquerkrafttragfähigkeit wird gemäß ACI 318-14 – 17.5.1 bestimmt als

ϕV_sa = ϕ 0,6 A_se,Vf_uta = 0,65 ⋅ 0,6 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 27,1 kN ≥ V_f1 = 3,48 kN

wobei:

• ϕ = 0,65 – Abminderungsbeiwert für Anker unter Zugbeanspruchung gemäß ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,V = 84 mm² – Spannungsquerschnitt
• f_uta = 827,4 MPa – charakteristische Zugfestigkeit des Ankerstahls; darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 120 ksi

Ausnutzung: V_f1 / ϕV_sa = 3,48 / 27,1 = 12,7 %

Betonausbruchfestigkeit unter Querkraftbeanspruchung

Die Betonausbruchfestigkeit einer Ankergruppe unter Querkraftbeanspruchung wird gemäß ACI 318-14 – 17.5.2 bemessen.

\[ \phi V_{cbg} = \phi \frac{A_V}{A_{Vo}} \psi_{ec,V} \psi_{ed,V} \psi_{c,V} \psi_{h,V} \psi_{\alpha,V} V_b \]

wobei:

• ϕ = 0,65 – Abminderungsbeiwert für Anker unter Querkraftbeanspruchung gemäß ACI 318-14 – 17.3.3
• A_v = (50 ⋅ 1,5) ⋅ (50 ⋅ 1,5 + 150 + 50 ⋅ 1,5) = 22 500 mm² – projizierte Betonbruchfläche eines Ankers oder einer Ankergruppe
• A_vo = 4,5 c_a1² = 4,5 ⋅ 50² = 11 250 mm² – projizierte Betonbruchfläche eines einzelnen Ankers ohne Einfluss von Ecken, Abständen oder Bauteildicke
• \( \psi_{ec,V} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_V}{3 c_{a1}}}= \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 50}}=0.75 \) – Beiwert für exzentrisch auf Querkraft beanspruchte Ankergruppen
• \( \psi_{ed,V} = 0.7 + 0.3 \frac{c_{a2}}{1.5 c_{a1}} = 0.7 + 0.3 \frac{350}{1.5 \cdot 50} = 2.1\le 1.0 \) – Beiwert für den Randeinfluss
• Ψ_c,V = 1 – Beiwert für die Betonbedingungen; Ψ_c,V = 1,0 für gerissenen Beton
• \( $\psi_{h,V} = \sqrt{\frac{1.5 c_{a1}}{h_a}} = \sqrt{\frac{1.5 \cdot 50}{600}} = 0.354 \ge 1 \)– Beiwert für Anker in einem Betonbauteil, bei dem h_a < 1,5 c_a1
• \( \psi_{\alpha ,V} = \sqrt{\frac{1}{(\cos \alpha_V )^2 + (0.5 \sin \alpha_V)^2}}=\sqrt{\frac{1}{(\cos 21.8^\circ )^2 + (0.5 \sin 21.8^\circ)^2}} = 1.056 \)– Beiwert für Anker, die unter einem Winkel von 90° − α_V zur Betonkante beansprucht werden; in ACI 318-14 – 17.5.2.1 sind nur diskrete Werte angegeben; die Gleichung ist dem FIB Bulletin 58 – Design of anchorages in concrete (2011) entnommen
• h_a = 600 mm – Höhe der Bruchfläche auf der Betonseite

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{l_e}{d_a} \right )^{0.2} \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5}, 3.7 \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5} \right ) \]

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{96}{12} \right )^{0.2} \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 5.666 \, \textrm{kN}, 3.7 \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 6.993 \, \textrm{kN} \right ) = 5.666 \, \textrm{kN} \]

• l_e = h_ef = 100 mm ≤ 8 d_a = 8 ⋅ 12 = 96 mm – lastübertragende Länge des Ankers unter Querkraftbeanspruchung
• d_a = 12 mm – Ankerdurchmesser
• f'_c = 27,6 MPa – Betondruckfestigkeit
• c_a1 = 50 mm – Randabstand in Lastrichtung; c_a2 ≥ 1,5 c_a1 und h_a ≥ 1,5 c_a1
• c_a2 = 350 mm – Randabstand senkrecht zur Lastrichtung

\[ \phi V_{cbg} = 0.65 \cdot \frac{22500}{11250} \cdot 0.75 \cdot  1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.056 \cdot 5.666 = 5.835 \, \textrm{kN} \ge V_f = 5.39 \, \textrm{kN} \]

Ausnutzung: V_f / ϕV_cbg = 5,39 / 5,835 = 92,3 %

Betonrückseitenausbruchfestigkeit unter Querkraftbeanspruchung

Die Betonrückseitenausbruchfestigkeit wird gemäß ACI 318-14 – 17.5.3 bemessen. Es wird angenommen, dass alle Anker auf Zug beansprucht werden und keine Exzentrizität für die Betonausbruchfestigkeit vorliegt.

ϕV_cp = ϕk_cpN_cp = 0,65 ⋅ 2 ⋅ 47,1 = 61,2 kN ≥ V_f = 5,39 kN

wobei:

• ϕ = 0,65 – Abminderungsbeiwert für Anker unter Querkraftbeanspruchung gemäß ACI 318-14 – 17.3.3
• k_cp = 2,0 für h_ef ≥ 50 mm
• N_cp = N_cb = 47,1 kN (Betonausbruchfestigkeit – alle Anker werden als zugbeansprucht angenommen) bei einbetonierten Ankern

Ausnutzung: V_f / ϕV_cp = 5,39 / 61,2 = 5,7 %

Interaktion von Zug- und Querkräften

Die Interaktion von Zug- und Querkräften wird gemäß ACI 318-14 – R17.6 nachgewiesen.

\[ \left ( \frac{N_{ua}}{N_n} \right )^{\zeta} + \left ( \frac{V_{ua}}{V_n} \right )^{\zeta} = \left ( 0.354 \right )^{5/3} + \left ( 0.923 \right )^{5/3}= 1.062 \le 1.0 \]

wobei:

• N_ua und V_ua – Bemessungskräfte, die auf einen Anker wirken
• N_n und V_n – die niedrigsten Bemessungstragfähigkeiten, die aus allen maßgebenden Versagensmoden bestimmt werden
• ς = 5 / 3

Die Tragfähigkeit der Verankerung ist nicht ausreichend, um kombinierte Zug- und Querkräfte zu übertragen.

Normnachweis in IDEA StatiCa Connection

Darüber hinaus werden die Ergebnisse der Schweißnähte und des Betonblocks unter Druckbeanspruchung dargestellt. Die Beanspruchung dieser Komponenten ist vernachlässigbar und damit auch deren Ausnutzung.

Vergleich

Die Kraftverteilung in IDEA StatiCa Connection weicht geringfügig von der Handrechnung ab. Die Stütze und die Fußplatte verformen sich, und die Fußplatte steht in Kontakt mit dem Betonblock. Die Auflagerspannung erhöht die Kräfte in den Ankern. Daher unterscheiden sich die Beiwerte zur Berücksichtigung der Kraftexzentrizität leicht. Die seitliche Betonausbruchfestigkeit wird in IDEA StatiCa Connection für jeden Anker einzeln nachgewiesen, während sie in der Handrechnung als Gruppe nachgewiesen werden kann, um eine etwas höhere Tragfähigkeit zu erzielen. Aus diesen Gründen weichen einige Einzeltragfähigkeiten geringfügig voneinander ab, jedoch nur um wenige Prozent. Die abschließende Ausnutzung – Interaktion von Zug- und Querkräften – ist nahezu identisch: 106,2 % in der Handrechnung und 107,7 % in IDEA StatiCa.