5.1 Materiaalmodellen (ACI)

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat is geïmplementeerd voor sterkteberekeningen in CSFM is gebaseerd op de parabolisch-plastische spanning-rek curve voor beton, gebaseerd op de parabolische spanning-rek curve van de Portland Cement Association, beschreven in PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8. De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk is in het klassieke ontwerp van gewapend beton.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

De implementatie van CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rekken voor beton onder druk (d.w.z. na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak met ε_c0 met een maximale waarde van 5% beschouwd, terwijl ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 een uiterste rek van minder dan 0,3% aanneemt). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk de vervormingscapaciteit te verifiëren van constructies die bezwijken onder druk. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gebarsten beton (k_c2 gedefinieerd in (Fig. 39)), de toename van de broosheid van beton naarmate de sterkte stijgt in aanmerking wordt genomen door middel van de \(\eta_{fc}\) reductiefactor gedefinieerd in fib Model Code 2010 als volgt:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}\]

\[k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

waarbij:

α₁ de reductiefactor is voor de druksterkte van beton, gedefinieerd in ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Bij gebruik van een parabolisch-rechthoekig spanning-rek diagram is het noodzakelijk de maximale drukspanning met deze factor te reduceren. Dit middelt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig dat de resulterende druksterkte kleiner dan of gelijk is aan de druksterkte berekend met een spanning-rek diagram met een aflopende plastische tak.

Φ_c is de sterkteReductiefactor voor beton. De standaardwaarde is ingesteld conform ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

k_c2 is de reductiefactor als gevolg van de aanwezigheid van dwarsscheuren.

f'_c is de cilinderdruksterkte van beton (in MPa voor de definitie van \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}\]

k_c2 is een reductiefactor gebaseerd op dezelfde aannames als de knooppuntzone-coëfficiënt β_n gegeven in ACI 318-19 Table 23.9.2, met dien verstande dat in CSFM de aanwezigheid van een hoofdtrekspanning loodrecht op de hoofddrukspanning wordt gecontroleerd voor elk eindig element (niet alleen voor knopen van het Staafwerk model).

Beton – Bruikbaarheid

De bruikbaarheidsanalyse bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de sterkte-analyse. De plastische tak van de spanning-rek curve van beton onder druk wordt buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. De compression softening wet wordt niet meegenomen. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en de berekeningssnelheid en verminderen de algemeenheid van de oplossing niet, zolang de resulterende materiaalspanningslimieten bij bruikbaarheid duidelijk onder hun vloeipunten liggen (zoals vereist door ACI). Daarom zijn de vereenvoudigde modellen die worden gebruikt voor bruikbaarheid alleen geldig als aan alle verificatievereisten is voldaan.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Langetermijneffecten

Het langetermijngedrag van de constructie, zoals langetermijndoorbuigingen of berekening van scheurbreedten veroorzaakt door blijvende belastingen, wordt beïnvloed door kruip van beton. ACI 318-19 in paragraaf 24.2.4.1.3 definieert de tijdsafhankelijke factor voor blijvende belastingen – ξ, die het kruipeffect vertegenwoordigt voor een bepaalde duur van de blijvende belasting.

In de Detail applicatie wordt de elasticiteitsmodulus E_c aangepast om het langetermijngedrag van de constructie te bepalen via de factor ξ. De aangepaste elasticiteitsmodulus wordt aangeduid als E_c,eff – zie Figuur 40.

Aannemende dat de vervorming van het element wordt uitgedrukt door rek, kan worden geschreven dat:

\[\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\]

waarbij:

ε₀ een kortetermijnrek is (zonder invloed van kruip) en ε_creep een rek is veroorzaakt door kruip.

Met behulp van de wet van Hooke kan worden geschreven:

\[E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}\]

Door te substitueren voor \(\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\) en \(\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}\) krijgen we:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}\]

De duur van de blijvende belasting voor de bepaling van de factor ξ kan individueel worden ingesteld voor elke langetermijn gebruikscombinatie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}\]

De tijdsafhankelijke doorbuigingen, spanningen en scheurbreedten worden vervolgens berekend met een aangepast materiaalmodel waarbij het effect van drukverbetering automatisch in aanmerking wordt genomen door de aard van de EE-analyse. Het is daarom niet nodig deze verder te vermenigvuldigen met de factor gedefinieerd in 24.2.4.1.1.

Kortetermijneffecten

Voor kortetermijnverificaties wordt een afzonderlijke berekening uitgevoerd waarbij alle belastingen worden berekend zonder de tijdsafhankelijke factor voor blijvende belastingen. Beide berekeningen voor lange- en kortetermijnverificaties zijn weergegeven in Fig. 40.

Wapening

Een volledig elasto-plastisch spanning-rek diagram met een gedefinieerd vloeipunt voor de niet-voorgespannen wapening wordt beschouwd, zie ACI 319-19 CL. 20.2.1. De definitie van dit diagram vereist slechts dat de basiseigenschappen van de wapening bekend zijn – de sterkte en de elasticiteitsmodulus.

Het spanning-rek diagram van de wapening kan ook door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk het tension stiffening effect aan te nemen (het is niet mogelijk de scheurwijdte te berekenen). 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

waarbij:

Φ_s de sterkteReductiefactor is voor wapening. De standaardwaarde is ingesteld conform ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y is de vloeigrens van de wapening

E_s elasticiteitsmodulus van de wapening

10% is geselecteerd als de grensrek waarbij de berekening wordt gestopt. Dit wordt als veilig beschouwd op basis van ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Tension stiffening (Fig. 43)  wordt automatisch in rekening gebracht door de invoer spanning-rek relatie van de onbedekte wapeningsstaf aan te passen om de gemiddelde stijfheid van de in beton ingestorte staven te beschrijven (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]