5.1 Modèles de matériaux (ACI)

Béton - Résistance

Le modèle de béton implémenté pour les calculs de résistance dans le CSFM est basé sur la courbe contrainte-déformation parabolique-plastique du béton, fondée sur la courbe contrainte-déformation parabolique de la Portland Cement Association décrite dans les Notes de la PCA sur les exigences du code de construction ACI 318-99 pour le béton structurel, Figure 6-8. La résistance à la traction est négligée, comme c'est le cas dans la conception classique du béton armé.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

L'implémentation du CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après l'atteinte de la contrainte maximale, elle considère une branche plastique avec ε_c0 à une valeur maximale de 5 %, tandis que l'ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 suppose une déformation ultime inférieure à 0,3 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures dont la rupture se produit en compression. Cependant, la résistance est correctement prédite lorsque, en plus du facteur de béton fissuré (k_c2 défini à la (Fig. 39)), l'augmentation de la fragilité du béton avec l'accroissement de sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction \(\eta_{fc}\) défini dans le fib Model Code 2010 comme suit :

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}\]

\[k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

où :

α₁ est le facteur de réduction de la résistance à la compression du béton défini dans l'ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Lors de l'utilisation d'un diagramme contrainte-déformation parabolique-rectangulaire, il est nécessaire de réduire la contrainte de compression maximale par ce facteur. Cela permet de moyenner la distribution des contraintes dans la zone comprimée de telle sorte que la résistance à la compression résultante soit inférieure ou égale à la résistance à la compression calculée à l'aide d'un diagramme contrainte-déformation avec une branche plastique décroissante.

Φ_c est le facteur de réduction de résistance pour le béton. La valeur par défaut est fixée conformément à l'ACI 318-19 Tableau 24.2.1 (b)(f).

k_c2 est le facteur de réduction dû à la présence de fissuration transversale.

f'_c est la résistance cylindrique du béton (en MPa pour la définition de \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}\]

k_c2 est un facteur de réduction basé sur les mêmes hypothèses que le coefficient de zone nodale β_n donné dans l'ACI 318-19 Tableau 23.9.2, à la différence que dans le CSFM, la présence d'une contrainte principale de traction perpendiculaire à la contrainte principale de compression est vérifiée pour chaque élément fini (et non uniquement pour les nœuds du modèle Bielle et tirant).

Béton – État de service

L'analyse à l'état de service contient certaines simplifications des modèles constitutifs utilisés pour l'analyse de résistance. La branche plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est ignorée, tandis que la branche élastique est linéaire et infinie. La loi d'adoucissement en compression n'est pas prise en compte. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul, et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte des matériaux résultantes à l'état de service sont clairement inférieures à leurs points de plastification (comme l'exige l'ACI). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés pour l'état de service ne sont valables que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Effets à long terme

Le comportement à long terme de la structure, tel que les flèches à long terme ou le calcul des largeurs de fissures causées par des charges permanentes, est influencé par le fluage du béton. L'ACI 318-19 au paragraphe 24.2.4.1.3 définit le facteur dépendant du temps pour les charges permanentes – ξ représentant l'effet de fluage pour une durée de charge permanente spécifiée.

Dans l'application Detail, le module d'élasticité E_c est ajusté pour déterminer le comportement à long terme de la structure par le biais du facteur ξ. Le module d'élasticité ajusté est désigné par E_c,eff – voir Figure 40.

En supposant que la déformation de l'élément est exprimée par la déformation, on peut écrire que :

\[\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\]

où :

ε₀ est la déformation à court terme (sans l'influence du fluage) et ε_creep est la déformation causée par le fluage.

En utilisant la loi de Hooke, on peut écrire :

\[E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}\]

En substituant \(\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\) et \(\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}\), on obtient :

\[E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}\]

La durée de la charge permanente pour la détermination du facteur ξ peut être définie individuellement pour chaque combinaison de service à long terme.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}\]

Les flèches, contraintes et largeurs de fissures dépendantes du temps sont ensuite calculées avec un modèle de matériau modifié où l'effet du raffinement de la compression est pris en compte automatiquement par la nature de l'analyse par éléments finis. Il n'est donc pas nécessaire de les multiplier davantage par le facteur défini au paragraphe 24.2.4.1.1.

Effets à court terme

Pour effectuer les vérifications à court terme, un autre calcul est réalisé dans lequel toutes les charges sont calculées sans le facteur dépendant du temps pour les charges permanentes. Les deux calculs pour les vérifications à long et à court terme sont représentés à la Fig. 40.

Ferraillage

Un diagramme contrainte-déformation élasto-plastique parfait avec un point de plastification défini pour le ferraillage non précontraint est considéré, voir ACI 319-19 CL. 20.2.1. La définition de ce diagramme ne nécessite que la connaissance des propriétés de base du ferraillage – la résistance et le module d'élasticité.

Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut également être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de supposer l'effet de raidissement en traction (il est impossible de calculer la largeur des fissures). 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

où :

Φ_s est le facteur de réduction de résistance pour le ferraillage. La valeur par défaut est fixée conformément à l'ACI 318-19 Tableau 24.2.1.

f_y est la limite d'élasticité du ferraillage

E_s est le module d'élasticité du ferraillage

10 % est sélectionné comme déformation limite à laquelle le calcul est arrêté. Cela est considéré comme sûr sur la base de l'article 7 de l'ASTM A955/A955M-20c.

Le raidissement en traction (Fig. 43)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de la barre d'armature nue afin de capturer la rigidité moyenne des barres enrobées dans le béton (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]