2.5 Tipos de elementos do Método dos Elementos Finitos

O modelo de análise por elementos finitos não linear (inelástico) é criado por vários tipos de elementos finitos utilizados para modelar o betão, a armadura e a aderência entre eles. Os elementos de betão e de armadura são primeiro discretizados independentemente e depois ligados entre si através de restrições multiponto (elementos MPC). Isto permite que a armadura ocupe uma posição arbitrária e relativa em relação ao betão. Se for necessário calcular a verificação do comprimento de ancoragem, são inseridos elementos de mola de aderência e de extremidade de ancoragem entre a armadura e os elementos MPC.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

Betão

O betão é modelado com elementos de casca quadrilaterais e trilaterais, CQUAD4 e CTRIA3. Estes podem ser definidos por quatro ou três nós, respetivamente. Assume-se que nestes elementos existe apenas estado plano de tensão, ou seja, as tensões ou deformações na direção z não são consideradas.

Cada elemento possui quatro ou três pontos de integração, colocados aproximadamente a 1/4 da sua dimensão. Em cada ponto de integração de cada elemento, são calculadas as direções das deformações principais α₁, α₂. Em ambas as direções, as tensões principais σ_c1, σ_c2 e as rigidezes E₁, E₂ são avaliadas de acordo com o diagrama tensão-deformação do betão especificado, conforme a Fig. 2. Deve notar-se que o impacto do efeito de amolecimento à compressão acopla o comportamento da direção principal de compressão ao estado real da outra direção principal.

Armadura

As armaduras são modeladas por elementos 1D de dois nós do tipo "barra" (CROD), que possuem apenas rigidez axial. Estes elementos são ligados a elementos especiais de "aderência", desenvolvidos para modelar o comportamento de deslizamento entre uma barra de armadura e o betão envolvente. Estes elementos de aderência são posteriormente ligados por elementos MPC (restrições multiponto) à malha que representa o betão. Esta abordagem permite a discretização independente da armadura e do betão, sendo a sua interligação assegurada posteriormente.

Elementos de aderência

O comprimento de ancoragem é verificado através da implementação das tensões de corte de aderência entre os elementos de betão (2D) e os elementos de barra de armadura (1D) no modelo de elementos finitos. Para este efeito, foi desenvolvido um tipo de elemento finito de "aderência".

A definição do elemento de aderência é semelhante à de um elemento de casca (CQUAD4). É também definido por 4 nós, mas ao contrário de uma casca, possui apenas rigidez não nula ao corte entre os dois nós superiores e os dois nós inferiores. No modelo, os nós superiores estão ligados aos elementos que representam a armadura e os nós inferiores aos que representam o betão. O comportamento deste elemento é descrito pela tensão de aderência, τ_b, como uma função bilinear do deslizamento entre os nós superiores e inferiores, δ_u, ver Fig. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

O módulo de rigidez elástica da relação aderência-deslizamento, G_b, é definido da seguinte forma:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

onde:

k_g            coeficiente dependente da superfície da barra de armadura (por defeito k_g = 0,2)

E_c            módulo de elasticidade do betão (tomado como E_cm no caso do EN)

Ø             o diâmetro da barra de armadura

Os valores de cálculo (valores majorados) da tensão de corte de aderência última, f_bd, fornecidos nas normas de dimensionamento selecionadas EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, são utilizados para verificar o comprimento de ancoragem. O endurecimento do ramo plástico é calculado por defeito como G_b/10⁵.

Mola de ancoragem

A existência de extremidades de ancoragem nas barras de armadura (ou seja, dobras, ganchos, laços…), que satisfaz as prescrições das normas de dimensionamento, permite a redução do comprimento de ancoragem básico das barras (l_b,net) por um determinado fator β (designado abaixo por 'coeficiente de ancoragem'). O valor de cálculo do comprimento de ancoragem (l_b) é então calculado da seguinte forma:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

A redução pretendida em l_b,net é equivalente à ativação da barra de armadura na sua extremidade a uma percentagem da sua capacidade máxima dada pelo coeficiente de redução de ancoragem, conforme ilustrado na Fig. 15a.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

A redução do comprimento de ancoragem é incluída no modelo de elementos finitos por meio de um elemento de mola na extremidade da barra (Fig. 15), definido pelo modelo constitutivo apresentado na Fig. 15b. A força máxima transmitida por esta mola (F_au) é:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

onde :

β             o coeficiente de ancoragem baseado no tipo de ancoragem,

A_s            a secção transversal da barra de armadura,

f_yd           o valor de cálculo (valor majorado) da tensão de cedência da armadura.