Cálculo del ancho de fisura y rigidización a tracción

Cálculo del ancho de fisura

Existen dos formas de calcular el ancho de fisura: fisuración estabilizada y no estabilizada. Según la cuantía geométrica de armadura en cada parte de la estructura, se determina qué tipo de modelo de cálculo de fisuración se utilizará (TCM para fisuración estabilizada y POM para el modelo de fisuración no estabilizada).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Cálculo del ancho de fisura: (a) cinemática de fisura considerada; (b) proyección de la cinemática de fisura en las direcciones}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{principales de la barra de armadura; (c) ancho de fisura en la dirección de la barra de armadura para fisuración estabilizada; (d) casos con}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{fisuración local no estabilizada independientemente de la cantidad de armadura; (e) ancho de fisura en la dirección de la barra de armadura}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{para fisuración no estabilizada.}}}$

Mientras que el CSFM proporciona un resultado directo para la mayoría de las verificaciones (p. ej., capacidad del elemento, deformaciones…), los resultados del ancho de fisura se calculan a partir de los resultados de deformación de la armadura proporcionados directamente por el análisis de EF siguiendo la metodología descrita en la Fig. 20. Se considera una cinemática de fisura sin deslizamiento (apertura de fisura pura) (Fig. 20a), lo cual es coherente con las hipótesis principales del modelo. Las direcciones principales de tensiones y deformaciones definen la inclinación de las fisuras (θ_r = θ_s= θ_e). Según la (Fig. 20b), el ancho de fisura (w) se puede proyectar en la dirección de la barra de armadura (w_b), lo que da lugar a:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

donde θ_b es la inclinación de la barra.

Tenga en cuenta que el programa muestra valores de θ_r y θ_b < π/2. Esto significa que la ecuación anterior es válida para los casos en que la armadura y la fisura atraviesan cuadrantes diferentes del sistema de coordenadas cartesianas, como se muestra en la Fig. 20, donde la armadura atraviesa los cuadrantes I y III y la fisura los cuadrantes II y IV. Para los casos en que la armadura y la fisura atraviesan los mismos cuadrantes, la ecuación debe modificarse de la siguiente manera:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

La componente w_b se calcula de manera coherente a partir de los modelos de rigidización a tracción, integrando las deformaciones de la armadura. En las regiones con patrones de fisuración totalmente desarrollados, las deformaciones medias calculadas (e_m) a lo largo de las barras de armadura se integran directamente a lo largo de la separación entre fisuras (s_r), como se indica en la (Fig. 20c). Aunque este enfoque para calcular las direcciones de fisura no corresponde a la posición real de las fisuras, sigue proporcionando valores representativos que dan lugar a resultados de ancho de fisura que se pueden comparar con los valores de ancho de fisura exigidos por la normativa en la posición de la barra de armadura.

Se observan situaciones especiales en las esquinas cóncavas de la estructura calculada. En este caso, la esquina predefine la posición de una única fisura que se comporta de manera no estabilizada antes de que se desarrollen fisuras adyacentes adicionales. Estas fisuras adicionales generalmente se desarrollan después del rango de servicio (Mata-Falcón 2015), lo que justifica calcular el ancho de fisura en dicha región como si fuera no estabilizada (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definición de la región en las esquinas cóncavas en la que el ancho de fisura se calcula como si fuera no estabilizada.}}}$$

Rigidización a tracción

La implementación de la rigidización a tracción distingue entre los casos de patrones de fisuración estabilizados y no estabilizados. En ambos casos, el hormigón se considera totalmente fisurado antes de la carga por defecto.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Modelo de rigidización a tracción: (a) elemento de tirante a tracción para fisuración estabilizada con distribución de cortante de adherencia,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tensiones del acero y del hormigón, y deformaciones del acero entre fisuras, considerando la separación media entre fisuras); (b) hipótesis de arrancamiento}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{para fisuración no estabilizada con distribución de cortante de adherencia y tensiones y deformaciones del acero alrededor de la fisura; (c) comportamiento}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{resultante del tirante a tracción en términos de tensiones de armadura en las fisuras y deformaciones medias para el acero europeo B500B;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detalle de las ramas iniciales de la respuesta del tirante a tracción.}}}$

Fisuración estabilizada

En patrones de fisuración totalmente desarrollados, la rigidización a tracción se introduce utilizando el Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – que ha demostrado proporcionar excelentes predicciones de respuesta a pesar de su simplicidad (Burns 2012). El TCM asume una relación tensión de cortante de adherencia-deslizamiento escalonada, rígida y perfectamente plástica, con τ_b = τ_b0 =2 f_ctm para σ_s ≤ f_y y τ_b =τ_b1 = f_ctm para σ_s > f_y. Tratando cada barra de armadura como un tirante a tracción ­– Fig. 22b y Fig. 22a –, la distribución del cortante de adherencia, las tensiones del acero y del hormigón y, por lo tanto, la distribución de deformaciones entre dos fisuras se pueden determinar para cualquier valor dado de las tensiones (o deformaciones) máximas del acero en las fisuras.

Para s_r = s_r0, es posible que se forme o no una nueva fisura, porque en el centro entre dos fisuras σ_c1 = f_ct. En consecuencia, la separación entre fisuras puede variar en un factor de dos, es decir, s_r = λs_r0, con l = 0.5…1.0. Asumiendo un determinado valor para λ, la deformación media del tirante (ε_m) se puede expresar en función de las tensiones máximas de la armadura (es decir, las tensiones en las fisuras, σ_sr). Para el diagrama tensión-deformación bilineal idealizado de las barras de armadura desnudas considerado por defecto en el CSFM, se obtienen las siguientes expresiones analíticas cerradas (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{para}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{para}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{para}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

donde:
E_sh           el módulo de endurecimiento del acero E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            módulo de elasticidad de la armadura,

Ø            diámetro de la barra de armadura,

s_r                separación entre fisuras,

σ_sr           tensiones de la armadura en las fisuras,

σ_s            tensiones reales de la armadura,

f_y                límite elástico de la armadura.

La implementación de IDEA StatiCa Detail del CSFM considera por defecto la separación media entre fisuras al realizar el análisis de campos de tensión asistido por ordenador. La separación media entre fisuras se considera igual a 2/3 de la separación máxima entre fisuras (λ = 0.67), siguiendo las recomendaciones formuladas sobre la base de ensayos de flexión y tracción (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Cabe señalar que los cálculos del ancho de fisura consideran una separación máxima entre fisuras (λ = 1.0) para obtener valores conservadores.

La aplicación del TCM depende de la cuantía de armadura, por lo que resulta fundamental asignar a cada barra de armadura un área de hormigón efectiva que actúe en tracción entre fisuras. Se ha desarrollado un procedimiento numérico automático para definir la cuantía de armadura efectiva correspondiente (ρ_eff = A_s/A_c,eff) para cualquier configuración, incluida la armadura sesgada (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Área efectiva de hormigón en tracción para fisuración estabilizada: (a) área máxima de hormigón que puede activarse;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) recubrimiento y condición de simetría global; (c) área efectiva resultante.}}}$

Fisuración no estabilizada

Las fisuras existentes en regiones con cuantías geométricas de armadura inferiores a ρ_cr, es decir, la cantidad mínima de armadura para la cual esta es capaz de soportar la carga de fisuración sin plastificar, se generan por acciones no mecánicas (p. ej., retracción) o por la progresión de fisuras controladas por otra armadura. El valor de esta armadura mínima se obtiene de la siguiente manera:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

donde:

f_y              límite elástico de la armadura,

f_ct             resistencia a tracción del hormigón,

n              relación modular, n = E_s / E_c .

Para hormigón convencional y acero de armadura, ρ_cr equivale aproximadamente al 0.6%.

Para estribos con cuantías de armadura inferiores a ρ_cr, la fisuración se considera no estabilizada, y la rigidización a tracción se implementa mediante el Pull-Out Model (POM) descrito en la Fig. 22b. Este modelo analiza el comportamiento de una única fisura considerando que no existe interacción mecánica entre fisuras separadas, despreciando la deformabilidad del hormigón en tracción y asumiendo la misma relación tensión de cortante de adherencia-deslizamiento escalonada, rígida y perfectamente plástica utilizada por el TCM. Esto permite obtener directamente por equilibrio la distribución de deformaciones de la armadura (ε_s) en las proximidades de la fisura para cualquier tensión máxima del acero en la fisura (σ_sr). Dado que la separación entre fisuras es desconocida para un patrón de fisuración no totalmente desarrollado, la deformación media (ε_m) se calcula para cualquier nivel de carga a lo largo de la distancia entre puntos con deslizamiento nulo cuando la barra de armadura alcanza su resistencia a tracción (f_t) en la fisura (l_ε,avg en la Fig. 22b), lo que da lugar a las siguientes relaciones:

Los modelos propuestos permiten calcular el comportamiento de la armadura adherida, que finalmente se considera en el análisis. Este comportamiento (incluyendo la rigidización a tracción) para el acero de armadura europeo más común (B500B, con f_t / f_y = 1.08 y ε_u = 5%) se ilustra en la Fig. 22c-d.