Berekening van scheurwijdte en tension stiffening

Berekening van scheurwijdte

Er zijn twee manieren om scheurwijdtes te berekenen - gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming. Aan de hand van de geometrische wapeningsverhouding in elk deel van de constructie wordt bepaald welk type scheurberekeningsmodel wordt gebruikt (TCM voor gestabiliseerde scheurvorming en POM voor het niet-gestabiliseerde scheurvormingsmodel).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Terwijl het CSFM voor de meeste verificaties (bijv. staafcapaciteit, doorbuigingen…) een direct resultaat oplevert, worden de scheurwijdteresultaten berekend op basis van de wapeningsrekresultaten die rechtstreeks door de EEM-analyse worden geleverd, volgens de methodiek beschreven in Fig. 20. Er wordt een scheurkinematica zonder slip (zuivere scheuropening) beschouwd (Fig. 20a), wat consistent is met de belangrijkste aannames van het model. De hoofdrichtingen van spanningen en rekken bepalen de hellingshoek van de scheuren (θ_r = θ_s= θ_e). Volgens (Fig. 20b) kan de scheurwijdte (w) worden geprojecteerd in de richting van de wapeningsstaaf (w_b), wat leidt tot:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

waarbij θ_b de hellingshoek van de staaf is.

Merk op dat het programma waarden van θ_r en θ_b < π/2 weergeeft. Dit betekent dat de voorgaande vergelijking werkt voor gevallen waarin de wapening en de scheur door verschillende kwadranten van het cartesische coördinatensysteem lopen, zoals getoond in Fig. 20, waarbij de wapening door het I. en III. kwadrant loopt en de scheur door het II. en IV. Voor gevallen waarin de wapening en de scheur door dezelfde kwadranten lopen, moet de vergelijking als volgt worden aangepast:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

De component w_b wordt consistent berekend op basis van de tension stiffening-modellen door de wapeningsrekken te integreren. Voor de gebieden met volledig ontwikkelde scheurpatronen worden de berekende gemiddelde rekken (e_m) langs de wapeningsstaven direct geïntegreerd over de scheurafstand (s_r), zoals aangegeven in (Fig. 20c). Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert deze toch representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die vergeleken kunnen worden met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden ter plaatse van de wapeningsstaaf.

Speciale situaties worden waargenomen bij concave hoeken van de berekende constructie. In dit geval bepaalt de hoek vooraf de positie van een enkele scheur die zich op een niet-gestabiliseerde manier gedraagt voordat er aanvullende aangrenzende scheuren ontstaan. Deze aanvullende scheuren ontstaan doorgaans pas na het bruikbaarheidsbereik (Mata-Falcón 2015), wat rechtvaardigt dat de scheurwijdtes in een dergelijk gebied worden berekend alsof ze niet-gestabiliseerd zijn (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tension stiffening

De implementatie van tension stiffening maakt onderscheid tussen gevallen van gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurpatronen. In beide gevallen wordt het beton standaard beschouwd als volledig gescheurd vóór belasting.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Gestabiliseerde scheurvorming

Bij volledig ontwikkelde scheurpatronen wordt tension stiffening geïntroduceerd met behulp van het Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – waarvan is aangetoond dat het, ondanks de eenvoud ervan, uitstekende voorspellingen van het gedrag oplevert (Burns 2012). Het TCM gaat uit van een getrapte, star-perfect plastische relatie tussen de aanhechtingsschuifspanning en de slip, met τ_b = τ_b0 =2 f_ctm voor σ_s ≤ f_y en τ_b =τ_b1 = f_ctm voor σ_s > f_y. Door elke wapeningsstaaf te behandelen als een trekstaaf (tension chord) – Fig. 22b en Fig. 22a – kan de verdeling van de aanhechtingsschuifspanning, de staal- en betonspanningen en dus de rekverdeling tussen twee scheuren worden bepaald voor elke gegeven waarde van de maximale staalspanningen (of rekken) bij de scheuren.

Voor s_r = s_r0 kan er al dan niet een nieuwe scheur ontstaan, omdat in het midden tussen twee scheuren σ_c1 = f_ct. Bijgevolg kan de scheurafstand variëren met een factor twee, d.w.z. s_r = λs_r0, met l = 0,5…1,0. Uitgaande van een bepaalde waarde voor λ kan de gemiddelde rek van de trekstaaf (ε_m) worden uitgedrukt als functie van de maximale wapeningsspanningen (d.w.z. de spanningen bij de scheuren, σ_sr). Voor het geïdealiseerde bilineaire spanning-rekdiagram van de blanke wapeningsstaven dat standaard in het CSFM wordt beschouwd, worden de volgende gesloten analytische uitdrukkingen verkregen (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

waarbij:
E_sh           de verhardingsmodulus van het staal E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            elasticiteitsmodulus van de wapening,

Ø            diameter van de wapeningsstaaf,

s_r                scheurafstand,

σ_sr           wapeningsspanningen bij de scheuren,

σ_s            werkelijke wapeningsspanningen,

f_y                vloeigrens van de wapening.

De implementatie van het CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt standaard rekening met de gemiddelde scheurafstand bij het uitvoeren van de computerondersteunde spanningsveldanalyse. De gemiddelde scheurafstand wordt beschouwd als 2/3 van de maximale scheurafstand (λ = 0,67), wat overeenkomt met aanbevelingen die zijn gedaan op basis van buig- en trekproeven (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Er dient te worden opgemerkt dat bij de berekening van scheurwijdtes wordt uitgegaan van een maximale scheurafstand (λ = 1,0) om conservatieve waarden te verkrijgen.

De toepassing van het TCM is afhankelijk van de wapeningsverhouding, en daarom is de toewijzing van een geschikt betonoppervlak dat in trek werkt tussen de scheuren aan elke wapeningsstaaf van cruciaal belang. Er is een automatische numerieke procedure ontwikkeld om de bijbehorende effectieve wapeningsverhouding (ρ_eff = A_s/A_c,eff) voor elke configuratie, inclusief scheve wapening (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Niet-gestabiliseerde scheurvorming

Scheuren die aanwezig zijn in gebieden met geometrische wapeningsverhoudingen lager dan ρ_cr, d.w.z. de minimale hoeveelheid wapening waarbij de wapening de scheurbelasting kan dragen zonder te vloeien, ontstaan door niet-mechanische invloeden (bijv. krimp) of door de voortzetting van scheuren die door andere wapening worden beheerst. De waarde van deze minimale wapening wordt als volgt bepaald:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

waarbij:

f_y              vloeigrens van de wapening,

f_ct             treksterkte van het beton,

n              verhoudingsgetal (modular ratio), n = E_s / E_c .

Voor conventioneel beton en wapeningsstaal bedraagt ρ_cr ongeveer 0,6%.

Voor beugels met wapeningsverhoudingen onder ρ_cr wordt de scheurvorming beschouwd als niet-gestabiliseerd en wordt tension stiffening geïmplementeerd door middel van het Pull-Out Model (POM), beschreven in Fig. 22b. Dit model analyseert het gedrag van een enkele scheur zonder mechanische interactie tussen afzonderlijke scheuren, waarbij de vervormbaarheid van het beton in trek wordt verwaarloosd en dezelfde getrapte, star-perfect plastische relatie tussen aanhechtingsschuifspanning en slip wordt aangenomen als bij het TCM. Hierdoor kan de wapeningsrekverdeling (ε_s) in de omgeving van de scheur rechtstreeks uit evenwicht worden bepaald voor elke maximale staalspanning bij de scheur (σ_sr). Aangezien de scheurafstand onbekend is voor een niet volledig ontwikkeld scheurpatroon, wordt de gemiddelde rek (ε_m) voor elk belastingsniveau berekend over de afstand tussen punten met nulslip wanneer de wapeningsstaaf zijn treksterkte (f_t) bereikt bij de scheur (l_ε,avg in Fig. 22b), wat leidt tot de volgende relaties:

De voorgestelde modellen maken het mogelijk het gedrag van verankerde wapening te berekenen, wat uiteindelijk in de analyse wordt meegenomen. Dit gedrag (inclusief tension stiffening) voor het meest voorkomende Europese wapeningsstaal (B500B, met f_t / f_y = 1,08 en ε_u = 5%) wordt geïllustreerd in Fig. 22c-d.