Çatlak genişliği hesabı ve Çekme rijitliği

Çatlak genişliği hesabı

Çatlak genişliğini hesaplamanın stabilize ve stabilize olmayan çatlaklama olmak üzere iki yolu vardır. Yapının her bir bölümündeki geometrik donatı oranına göre hangi çatlak hesap modelinin kullanılacağına karar verilir (stabilize çatlaklama için TCM ve stabilize olmayan çatlaklama modeli için POM).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

CSFM çoğu doğrulama için (örneğin eleman kapasitesi, sehimler…) doğrudan bir sonuç verirken, çatlak genişliği sonuçları Şekil 20'de açıklanan metodolojiyi izleyerek FE analizi tarafından doğrudan sağlanan donatı gerinim sonuçlarından hesaplanır. Kaymasız bir çatlak kinematiği (saf çatlak açılması) dikkate alınır (Şekil 20a), bu da modelin temel varsayımlarıyla tutarlıdır. Gerilme ve gerinimlerin asal doğrultuları çatlakların eğimini tanımlar (θ_r = θ_s= θ_e). Şekil 20b'ye göre, çatlak genişliği (w) donatı çubuğu doğrultusuna (w_b) izdüşürülebilir, bu da şuna götürür:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

burada θ_b donatı çubuğu eğimidir.

Lütfen dikkat, program θ_r ve θ_b < π/2 değerlerini gösterir. Bu, önceki denklemin, Şekil 20'de gösterildiği gibi donatının I. ve III. kadranlardan, çatlağın ise II. ve IV. kadranlardan geçtiği, yani donatı ve çatlağın Kartezyen koordinat sisteminin farklı kadranlarından geçtiği durumlar için çalıştığı anlamına gelir. Donatı ve çatlağın aynı kadranlardan geçtiği durumlar için denklem aşağıdaki şekilde değiştirilmelidir:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

w_b bileşeni, donatı gerinimlerinin entegrasyonu yoluyla çekme rijitliği modellerine dayalı olarak tutarlı bir şekilde hesaplanır. Tam gelişmiş çatlak paternlerine sahip bölgeler için, donatı çubukları boyunca hesaplanan ortalama gerinimler (e_m), Şekil 20c'de gösterildiği gibi çatlak aralığı (s_r) boyunca doğrudan entegre edilir. Çatlak doğrultularını hesaplamaya yönelik bu yaklaşım, çatlakların gerçek konumuna karşılık gelmese de, donatı çubuğunun konumunda yönetmelik tarafından gerekli görülen çatlak genişliği değerleriyle karşılaştırılabilecek çatlak genişliği sonuçlarına yol açan temsili değerler sağlamaya devam eder.

Hesaplanan yapının içbükey köşelerinde özel durumlar gözlemlenir. Bu durumda köşe, komşu ek çatlaklar gelişmeden önce stabilize olmayan bir şekilde davranan tek bir çatlağın konumunu önceden tanımlar. Bu ek çatlaklar genellikle kullanılabilirlik aralığından sonra gelişir (Mata-Falcón 2015), bu da böyle bir bölgede çatlak genişliklerinin sanki stabilize olmamış gibi hesaplanmasını haklı çıkarır (Şekil 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Çekme rijitliği

Çekme rijitliğinin uygulanması, stabilize ve stabilize olmayan çatlak paternleri durumları arasında ayrım yapar. Her iki durumda da beton, varsayılan olarak yüklemeden önce tamamen çatlamış kabul edilir.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Stabilize çatlaklama

Tam gelişmiş çatlak paternlerinde, çekme rijitliği Çekme Çubuğu Modeli (TCM) kullanılarak tanıtılır (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Şekil 22a – ve bu modelin basitliğine rağmen mükemmel tepki tahminleri verdiği gösterilmiştir (Burns 2012). TCM, σ_s ≤ f_y için τ_b = τ_b0 =2 f_ctm ve σ_s > f_y için τ_b =τ_b1 = f_ctm ile kademeli, rijit-tam plastik aderans kayma gerilmesi-kayma ilişkisini varsayar. Her donatı çubuğunu bir çekme çubuğu olarak ele alarak – Şekil 22b ve Şekil 22a – aderans kayması, çelik ve beton gerilmelerinin dağılımı ve dolayısıyla iki çatlak arasındaki gerinim dağılımı, çatlaklardaki maksimum çelik gerilmelerinin (veya gerinimlerin) herhangi bir verilen değeri için belirlenebilir.

s_r = s_r0 için, iki çatlak arasındaki merkezde σ_c1 = f_ct olduğundan yeni bir çatlak oluşabilir veya oluşmayabilir. Sonuç olarak, çatlak aralığı iki kat kadar değişebilir, yani s_r = λs_r0, l = 0.5…1.0 ile. λ için belirli bir değer varsayıldığında, çubuğun ortalama gerinimi (ε_m) maksimum donatı gerilmelerinin (yani çatlaklardaki gerilmeler, σ_sr) bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir. CSFM'de varsayılan olarak dikkate alınan çıplak donatı çubukları için idealize edilmiş bilineer gerilme-gerinim diyagramı için, aşağıdaki kapalı formda analitik ifadeler elde edilir (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

burada:
E_sh           çelik sertleşme modülü E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            donatının elastisite modülü,

Ø            donatı çubuğu çapı,

s_r                çatlak aralığı,

σ_sr           çatlaklardaki donatı gerilmeleri,

σ_s            gerçek donatı gerilmeleri,

f_y                donatının akma dayanımı.

Idea StatiCa Detail'in CSFM uygulaması, bilgisayar destekli gerilme alanı analizi gerçekleştirirken varsayılan olarak ortalama çatlak aralığını dikkate alır. Ortalama çatlak aralığının maksimum çatlak aralığının 2/3'ü olduğu kabul edilir (λ = 0.67), bu da eğilme ve çekme testlerine dayalı yapılan önerileri takip eder (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Çatlak genişliği hesaplamalarının, muhafazakar değerler elde etmek amacıyla maksimum çatlak aralığını (λ = 1.0) dikkate aldığı unutulmamalıdır.

TCM'nin uygulanması donatı oranına bağlıdır ve bu nedenle her bir donatı çubuğuna, çatlaklar arasında çekmede etkin olan uygun bir beton alanının atanması çok önemlidir. İlgili etkin donatı oranını (ρ_eff = A_s/A_c,eff) herhangi bir konfigürasyon için, eğik donatı dahil (Şekil 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Stabilize olmayan çatlaklama

Geometrik donatı oranları ρ_cr'dan düşük bölgelerde mevcut çatlaklar, yani donatının akmadan çatlama yükünü taşıyabileceği minimum donatı miktarı, ya mekanik olmayan etkiler (örneğin rötre) tarafından ya da diğer donatı tarafından kontrol edilen çatlakların ilerlemesiyle oluşturulur. Bu minimum donatı değeri aşağıdaki şekilde elde edilir:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

burada:

f_y              donatının akma dayanımı,

f_ct             betonun çekme dayanımı,

n              modüler oran, n = E_s / E_c .

Konvansiyonel beton ve donatı çeliği için, ρ_cr yaklaşık %0,6'ya denk gelir.

Donatı oranları ρ_cr'ın altında olan etriyeler için, çatlaklama stabilize olmamış kabul edilir ve çekme rijitliği, Şekil 22b'de açıklanan Sıyrılma Modeli (POM) aracılığıyla uygulanır. Bu model, ayrı çatlaklar arasında mekanik etkileşim olmadığını varsayarak, betonun çekmedeki deforme olabilirliğini ihmal ederek ve TCM tarafından kullanılan aynı kademeli, rijit-tam plastik aderans kayma gerilmesi-kayma ilişkisini varsayarak tek bir çatlağın davranışını analiz eder. Bu, çatlaktaki herhangi bir maksimum çelik gerilmesi (σ_sr) için çatlak civarındaki donatı gerinim dağılımının (ε_s) doğrudan denge denkleminden elde edilmesine olanak tanır. Tam gelişmemiş bir çatlak paterni için çatlak aralığının bilinmemesi göz önüne alındığında, ortalama gerinim (ε_m), donatı çubuğu çatlakta çekme dayanımına (f_t) ulaştığında sıfır kayma noktaları arasındaki mesafe üzerinde herhangi bir yük seviyesi için hesaplanır (Şekil 22b'de l_ε,avg), bu da aşağıdaki ilişkilere götürür:

Önerilen modeller, analizde nihayetinde dikkate alınan aderanslı donatının davranışının hesaplanmasına olanak tanır. En yaygın Avrupa donatı çeliği (B500B, f_t / f_y = 1,08 ve ε_u = %5 ile) için bu davranış (çekme rijitliği dahil) Şekil 22c-d'de gösterilmiştir.