Scheurwijdteberekening en trekverstijving
Berekening scheurwijdte
Er zijn twee manieren om scheurwijdten te berekenen - gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming. Afhankelijk van de geometrische wapeningsverhouding in elk deel van de constructie wordt besloten welk type scheurberekeningsmodel wordt gebruikt (TCM voor gestabiliseerde scheurvorming en POM voor niet-gestabiliseerde scheurvorming).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)
Terwijl de CSFM een direct resultaat oplevert voor de meeste verificaties (bijv. capaciteit van het element, doorbuigingen...), worden de resultaten voor de scheurwijdte berekend uit de rekresultaten van de wapening die direct uit de FE-analyse komen volgens de methodologie beschreven in Fig. 20. Een scheurkinematica zonder slip (zuivere scheuropening) wordt beschouwd (fig. 20a), wat consistent is met de belangrijkste aannames van het model. De hoofdrichtingen van spanningen en spanningen bepalen de helling van de scheuren (θr = θs=θe). Volgens (fig. 20b) kan de scheurwijdte(w) worden geprojecteerd in de richting van de wapeningsstaaf(wb), wat leidt tot:
\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]
waarbij θb de staafhelling is.
Merk op dat het programma waarden van θr en θb < π/2 weergeeft. Dit betekent dat de vorige vergelijking werkt voor gevallen, waarbij de wapening en de scheur door de verschillende kwadranten van het Cartesisch coördinatenstelsel gaan, zoals getoond in Fig. 20, waarbij de wapening door kwadrant I en III gaat en de scheur door II en IV. Voor gevallen waar de wapening en scheur door dezelfde kwadranten gaan, moet de vergelijking als volgt worden aangepast:
\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]
De component wb wordt consequent berekend op basis van de modellen voor trekverstijving door de wapeningsspanningen te integreren. Voor die gebieden met volledig ontwikkelde scheurpatronen worden de berekende gemiddelde spanningen (em) langs de wapeningsstaven direct geïntegreerd langs de scheurafstand(sr), zoals aangegeven in (Fig. 20c). Hoewel deze aanpak voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert het toch representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die vergeleken kunnen worden met de volgens de code vereiste scheurwijdteresultaten op de positie van de wapeningsstaaf.
Speciale situaties worden waargenomen bij concave hoeken van de berekende constructie. In dit geval bepaalt de hoek de positie van een enkele scheur die zich op een niet-gestabiliseerde manier gedraagt voordat zich aanvullende aangrenzende scheuren ontwikkelen. Deze extra scheuren ontwikkelen zich meestal na het bruikbaarheidsbereik (Mata-Falcón 2015), wat de berekening van de scheurwijdten in zo'n gebied rechtvaardigt alsof ze niet gestabiliseerd zijn (Fig. 21).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]
Spanningsverstijving
De implementatie van spanningverstijving maakt onderscheid tussen gevallen van gestabiliseerde en niet gestabiliseerde scheurpatronen. In beide gevallen wordt het beton standaard beschouwd als volledig gescheurd voor belasting.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)
Gestabiliseerde scheurvorming
In volledig ontwikkelde scheurpatronen wordt trekverstijving geïntroduceerd met behulp van het Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) - Fig. 22a - waarvan is aangetoond dat het ondanks zijn eenvoud uitstekende responsvoorspellingen oplevert (Burns 2012). De TCM gaat uit van een getrapt, stijf-perfect plastisch verband schuifspanning-slip relatie met τb= τb0 =2 fctm voor σs ≤ fy en τb =τb1 = fctm voor σs> fy. Door elke wapeningsstaaf te behandelen als een trekkoord - Fig. 22b en Fig. 22a - kan de verdeling van de schuifspanning, staalspanning en betonspanning en dus de verdeling van de spanning tussen twee scheuren worden bepaald voor elke gegeven waarde van de maximale staalspanning (of rek) bij de scheuren.
Voor sr = sr0, kan zich al dan niet een nieuwe scheur vormen omdat in het midden tussen twee scheuren σc1 = fct. Bijgevolg kan de scheurafstand variëren met een factor twee, d.w.z. sr = λsr0, met l = 0,5...1,0. Uitgaande van een bepaalde waarde voor λ, kan de gemiddelde rek van de koorde (εm) worden uitgedrukt als functie van de maximale wapeningsspanningen (d.w.z. spanningen bij de scheuren, σsr). Voor het geïdealiseerde bilineaire spanning-rekdiagram voor de wapening van kale staven die standaard in de CSFM worden gebruikt, worden de volgende analytische uitdrukkingen verkregen (Marti et al. 1998):
\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]
\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]
\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]
waarin:
Esh de elasticiteitsmodulus Esh =(ft - fy)/(εu - fy /Es) ,
Es de elasticiteitsmodulus van de wapening,
Ø diameter van de wapeningsstaaf,
sr scheurafstand ,
σsr wapeningsspanningen bij de scheuren,
σs werkelijke wapeningsspanningen,
fyvloeigrens van de wapening.
De Idea StatiCa Detail implementatie van de CSFM gaat standaard uit van een gemiddelde scheurafstand bij het uitvoeren van computerondersteunde spanningsveldanalyse. De gemiddelde scheurafstand wordt beschouwd als 2/3 van de maximale scheurafstand (λ = 0,67), wat aanbevelingen volgt die zijn gedaan op basis van buig- en trekproeven (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Opgemerkt moet worden dat berekeningen van scheurwijdten uitgaan van een maximale scheurafstand (λ = 1,0) om conservatieve waarden te verkrijgen.
De toepassing van TCM hangt af van de wapeningsverhouding en daarom is de toewijzing van een geschikt betonoppervlak dat tussen de scheuren in op trek werkt aan elke wapeningsstaaf cruciaal. Er is een automatische numerieke procedure ontwikkeld om de corresponderende effectieve wapeningsverhouding (ρeff = As/Ac,eff) te bepalen voor elke configuratie, inclusief scheve wapening (Fig. 23).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)
Niet-gestabiliseerde scheurvorming
Scheuren die bestaan in gebieden met geometrische wapeningsverhoudingen lager dan ρcr, d.w.z. de minimale wapeningshoeveelheid waarbij de wapening in staat is de scheurbelasting te dragen zonder te bezwijken, worden veroorzaakt door niet-mechanische acties (bijv. krimp) of de progressie van scheuren gecontroleerd door andere wapening. De waarde van deze minimumwapening wordt als volgt verkregen:
\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]
waarbij:
fy rekgrens wapening,
fct betontreksterkte,
n modulaire verhouding, n =Es /Ec.
Voor conventioneel beton en wapeningsstaal bedraagt ρcr ongeveer 0,6%.
Voor beugels met wapeningsverhoudingen kleiner dan ρcr wordt scheurvorming als niet gestabiliseerd beschouwd en wordt trekverstijving geïmplementeerd door middel van het Pull-Out Model (POM) beschreven in Fig. 22b. Dit model analyseert het gedrag van een enkele scheur zonder rekening te houden met mechanische interactie tussen afzonderlijke scheuren, verwaarloost de vervormbaarheid van beton in trek en gaat uit van dezelfde getrapte, stijf-perfect plastische binding schuifspanning-slip relatie die wordt gebruikt door de TCM. Hierdoor kan de verdeling van de wapeningsrek (εs) in de buurt van de scheur voor elke maximale staalspanning bij de scheur (σsr) direct uit evenwicht worden verkregen. Gegeven het feit dat de scheurafstand onbekend is voor een niet volledig ontwikkeld scheurpatroon, wordt de gemiddelde rek (εm) berekend voor elk belastingsniveau over de afstand tussen punten met nul slip wanneer de wapeningsstaaf zijn treksterkte(ft) bij de scheur bereikt(lε,avg in Fig. 22b), wat leidt tot de volgende relaties:
De voorgestelde modellen laten de berekening toe van het gedrag van gebonden wapening, dat uiteindelijk in de analyse wordt beschouwd. Dit gedrag (inclusief trekverstijving) voor het meest voorkomende Europese wapeningsstaal (B500B, metft / fy = 1,08 en εu = 5%) wordt geïllustreerd in Fig. 22c-d.