Schrauben und vorgespannte Schraubenverbindungen

Schrauben

In der Methode der finiten Elemente auf Komponentenbasis (CBFEM) wird die Schraube mit ihrem Verhalten auf Zug, Querkraft und Lochleibung als Komponente durch abhängige nichtlineare Federn beschrieben. Die Schraubengarnitur bestehend aus Schraube, Unterlegscheibe und Mutter wird durch eine nichtlineare Feder, starre Körperelemente und Spaltelelemente simuliert.

Schraube auf Zug

Die Schraube auf Zug wird durch eine Feder mit ihrer anfänglichen axialen Steifigkeit, dem Bemessungswiderstand, der Fließinitiierung und der Verformungskapazität beschrieben. Die anfängliche axiale Steifigkeit wird analytisch in der Richtlinie VDI2230 und in Agerskov (1976) hergeleitet.

\[D_{Lb} =\frac{L_s+0.4d_b}{EA_{s}}+ \frac{0.85d_b}{EA_{t}}\]

\[A_{pp}=\frac{0.75D_H(L_w-D_H)}{D_{W1}^2-D_{W2}^2}\]

\[A_{P1}=\frac{\pi}{4}(D_H^2-D_{W1}^2)\]

\[A_{P2}=\frac{1}{2}(D_{W2}^2-D_H^2)\tan^{-1}A_{pp}\]

\[A_P=A_{P1}+A_{P2}\]

\[D_{LW}=\frac{L_W}{EA_P}\]

\[k=\frac{1}{D_{LB}+D_{LW}}\]

wobei:

• \(d_b\) – Schraubendurchmesser
• \(D_H\) – Schraubenkopfdurchmesser
• \(D_{W1}\) – Innendurchmesser der Unterlegscheibe
• \(D_{W2}\) – Außendurchmesser der Unterlegscheibe
• \(L_W\) – Summe der Unterlegscheibenstärken
• \(L_s\) – Klemmlänge der Schraube
• \(A_{s}\) – Bruttoquerschnittsfläche der Schraube
• \(A_{t}\) – Spannungsquerschnitt der Schraube
• \(E\) – Elastizitätsmodul

Das Modell stimmt mit experimentellen Daten überein; siehe Gödrich et al. (2014). Für die Fließinitiierung und die Verformungskapazität wird angenommen, dass plastische Verformungen nur im Gewindebereich des Schraubenschafts auftreten.

Kraft-Verformungs-Diagramm für die Lochleibung der Platte

Das Kraft-Verformungs-Diagramm wird mit folgenden Gleichungen konstruiert:

Plastische Steifigkeit:

\[ k_t = c_1 k \]

Kraft an der Elastizitätsgrenze:

\[ F_{t,el} = \frac{F_{t,Rd}}{c_1 c_2 - c_1 +1} \]

Verformung an der Elastizitätsgrenze:

\[ u_{el} = \frac{ F_{t,el} }{k} \]

Verformung an der Plastizitätsgrenze:

\[ u_{t,Rd} = c_2 u_{el} \]

\[ c_1 = \frac{f_{ub} - f_{yb}}{\frac{1}{4} A E - f_{yb}} \]

\[ c_2 = \frac{AE}{4 f_{yb}} \]

wobei:

• \(F_{t,Rd}\) – Bemessungswiderstand der Schraube auf Zug
• \(f_{yb}\) – Streckgrenze der Schraube
• \(f_{ub}\) – Zugfestigkeit der Schraube
• \(A\) – Bruchdehnung

Schraube auf Querkraft

Vom Schraubenschaft wird nur die Druckkraft auf die Platte im Schraubenloch übertragen. Dies wird durch Interpolationsverbindungen zwischen den Schaftknoten und den Randknoten der Löcher modelliert. Die Verformungssteifigkeit des Schalenelementes, das die Platten modelliert, verteilt die Kräfte zwischen den Schrauben und simuliert die entsprechende Lochleibung der Platte.

Schraubenlöcher werden als Regelbohrungen (Standard) oder als Langlöcher (einstellbar im Platteneditor) berücksichtigt. Schrauben in Regelbohrungen können Querkräfte in alle Richtungen übertragen, Schrauben in Langlöchern sind in einer Richtung ausgeschlossen und können sich in dieser gewählten Richtung frei bewegen.

Die Anfangssteifigkeit und der Bemessungswiderstand einer Schraube auf Querkraft werden durch folgende Formeln definiert:

\[k_{el}=\frac{1}{\frac{1}{k_{11}}+\frac{1}{k_{12}}}\]

\[k_{11} = \frac{8d_b^2f_{ub}}{d_{M16}}\]

\[k_{12}=12k_td_bf_{up}\]

\[k_t=\min \left ( 2.5,\, \frac{1.5t_{min}}{d_{M16}} \right ) \]

\[k_{pl}=\frac{k_{el}}{1000}\]

wobei:

• \(d_b\) – Schraubendurchmesser
• \(f_{ub}\) – Zugfestigkeit der Schraube
• \(d_{M16}=16 \textrm{ mm}\) – Durchmesser der Referenzschraube M16
• \(f_{up}\) – Zugfestigkeit der angeschlossenen Platte
• \(t_{min}\) – Mindestdicke der angeschlossenen Platte 

Die Feder, die die Schraube auf Querkraft repräsentiert, weist ein bilineares Kraft-Verformungs-Verhalten auf. Die Fließinitiierung wird erwartet bei:

\[F_{V,el}=0.999 F_{V,Rd}\]

Die Verformungskapazität wird angesetzt als:

\[\delta_{pl}=\delta_{el}\]

wobei:

• \(F_{V,el}\) – elastischer Widerstand der Schraube auf Querkraft
• \(F_{V,Rd}\) – Widerstand der Schraube auf Querkraft
• \(\delta_{el}\) – elastische Verformung der Schraube auf Querkraft

Interaktion zwischen Zug und Querkraft

Die Interaktion von Axialkraft und Querkraft kann direkt im Berechnungsmodell berücksichtigt werden. Die Kraftverteilung spiegelt die Realität besser wider (siehe beigefügtes Diagramm). Schrauben mit hoher Zugkraft nehmen weniger Querkraft auf und umgekehrt.

Beispiel der Interaktion von Axialkraft und Querkraft (EC)

Vorgespannte Schrauben

Vorgespannte Schrauben werden eingesetzt, wenn eine Minimierung der Verformungen erforderlich ist. Das Zugmodell einer Schraube ist dasselbe wie bei Regelschrauben. Die Querkraft wird nicht über Lochleibung, sondern über Reibung zwischen den geklemmten Platten übertragen.

Der Bemessungswert des Gleitwiderstands einer vorgespannten Schraube wird durch eine aufgebrachte Zugkraft beeinflusst.

IDEA StatiCa Connection überprüft den Grenzzustand des Gleitens vorgespannter Schrauben. Tritt ein Gleiteffekt auf, erfüllen die Schrauben den Normnachweis nicht. Dann sollte der Grenzzustand nach dem Gleiten als Regelnachweis der Lochleibung von Schrauben überprüft werden, bei dem die Schraubenlöcher auf Lochleibung und die Schrauben auf Querkraft beansprucht werden.

Der Anwender kann entscheiden, welcher Grenzzustand nachgewiesen wird: entweder der Widerstand gegen maßgebendes Gleiten oder der Zustand nach dem Gleiten auf Querkraft der Schrauben. Beide Nachweise an einer Schraube werden nicht in einer Lösung kombiniert. Es wird angenommen, dass die Schraube nach einem maßgebenden Gleiten ein Regelverhalten aufweist und nach dem Standardverfahren der Lochleibung nachgewiesen werden kann.

Die Momentenbeanspruchung der Verbindung hat einen geringen Einfluss auf die Querkrafttragfähigkeit. Dennoch wird der Reibungsnachweis an jeder Schraube einfach separat gelöst. Dieser Nachweis ist in der FEM-Komponente der Schraube implementiert. Es gibt keine allgemeine Information darüber, ob die äußere Zugbeanspruchung jeder Schraube aus dem Biegemoment oder aus der Zugbeanspruchung der Verbindung stammt.

Spannungsverteilung in einer Regelschraubenverbindung auf Querkraft

Spannungsverteilung in einer gleitfesten Schraubenverbindung auf Querkraft