Analiza geometrycznie i materiałowo nieliniowa z uwzględnieniem imperfekcji (GMNIA) belek zginanych

1. Cel

Celem tego artykułu jest weryfikacja modułu GMNIA (analiza geometrycznie i materiałowo nieliniowa z uwzględnieniem imperfekcji) w aplikacji IDEA Member. Wynikowe nośności z IDEA Member są porównywane z rozwiązaniem analitycznym według EN 1993-1-1 [1] dla belek zginanych.

2. Opis modelu

Do weryfikacji modułu GMNIA przeanalizowano łącznie 18 indywidualnych przypadków. Wszystkie mają ten sam przekrój IPE 240 oraz tę samą klasę stali S 235. Zbadano trzy różne warunki obciążenia (A – momenty na końcach, B – siła w środku, C – obciążenie ciągłe). Zweryfikowano sześć wartości smukłości względnej w zakresie od 0,6 do 1,6.

Rys. 1: Różne przypadki obciążenia użyte do weryfikacji

3. Imperfekcje początkowe

Do obliczenia imperfekcji początkowej belki zginanej zastosowano cztery podejścia. Oznaczono je jako A, B, C i D. Podejścia A, B i C wykorzystują imperfekcję początkową dla wyboczenia względem osi słabej pomnożoną przez współczynnik k = 0,5; zgodnie z EN 1993-1-1 Klauzula 5.3.4 (3) [1]. Imperfekcja początkowa według podejścia D jest wyznaczana bezpośrednio dla zwichrzenia.

Podejście A – zgodnie z EN 1993-1-1:2005, Tablica 5.1:

Tab. 1: Wartość obliczeniowa początkowej imperfekcji łukowej e₀/L dla elementów

Podejście B – zgodnie z prEN 1993-1-1:2020, druga wersja robocza [2], Klauzula 5.3.3.1:

$$\frac{e_0}{L}=\frac{α}{ε} \beta$$

gdzie:

• e₀ – imperfekcja początkowa
• α – współczynnik imperfekcji zależny od odpowiedniej krzywej wyboczeniowej według EN 1993-1-1, Tablica 6.1 [1]
• $\varepsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}}$
• f_y – granica plastyczności słupa [MPa]
• β – referencyjna względna imperfekcja łukowa według Tab. 2
• L – długość elementu

Tab. 2: Referencyjna względna imperfekcja łukowa

Podejście C – metoda EUGLI (Equivalent Unique Global and Local Initial Imperfection) zgodnie z EN 1993-1-1:2005, Klauzula 5.3.2 (11) [1]:

$$e_0=\alpha (\bar \lambda - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

gdzie

• e₀ – imperfekcja początkowa
• α – współczynnik imperfekcji zależny od odpowiedniej krzywej wyboczeniowej według EN 1993-1-1, Tablica 6.1 [1]
• $\bar \lambda$  – smukłość względna elementu
• N_Rk – charakterystyczna nośność przekroju na siłę normalną
• M_Rk – charakterystyczna nośność przekroju na moment

Podejście D – zgodnie z [3]:

$$e_0=\alpha_{LT} (\bar \lambda_{LT} - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

gdzie

• e₀ – imperfekcja początkowa
• α_LT – współczynnik imperfekcji z Tab. 3
• $\bar \lambda_{LT}$ – smukłość względna elementu
• N_Rk – charakterystyczna nośność przekroju na siłę normalną
• M_Rk – charakterystyczna nośność przekroju na moment

Tab. 3: Współczynniki imperfekcji do obliczenia e₀

Wynikowe wartości imperfekcji początkowej są zestawione w tabeli poniżej. Należy zauważyć, że dla tego przekroju i klasy stali podejścia A i B dają te same wartości.

Tab. 4: Wynikowe wartości imperfekcji początkowej

4. Rozwiązanie analityczne

Do obliczenia nośności belki na zwichrzenie zastosowano następujące podejście zgodnie z EN 1993-1-1, Klauzule 6.3.2.1 i 6.3.2.2 [1]:

$$\bar \lambda_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl,y} f_y}{M_{cr}}}$$

$$\phi_{LT} = 0.5 \left [1 + \alpha_{LT} \left (\bar \lambda_{LT} - 0.2 \right ) + \bar \lambda_{LT} ^2 \right]$$

$$\chi_{LT} = \frac{1}{\phi_{LT} + \sqrt{\phi_{LT}^2 - \bar \lambda_{LT} ^2}}$$

$$M_{b,Rd} = \frac{\chi_{LT} W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M1}}$$

5. Wyniki

Nośności graniczne (dla imperfekcji początkowych A = B, C i D) z IDEA Member są porównywane z wartościami analitycznymi dla przekroju walcowanego (EN) oraz dla jego reprezentacji bez promieni środnik-pas (Ew). Na koniec przedstawiono wyniki z oprogramowania ANSYS (A) [4], wykorzystujące imperfekcje początkowe oparte na podejściu C.

Tab. 5: Wynikowe wartości nośności na moment

Wykres 1: Wynikowe wartości nośności na moment

Wykres 2: Porównanie wynikowych nośności na moment

Wyniki GMNIA są bezpieczne (konserwatywne) w porównaniu z rozwiązaniem według Eurokodu. Częściowo wynika to z modelowania przekroju w IDEA Member, przy czym wpływ ten wynosi 5–10 %, co widać na niebieskich słupkach na powyższym wykresie.

Porównując dwa pomarańczowe słupki (Member i ANSYS), widoczna jest dobra zgodność z rozwiązaniem numerycznym w ANSYS.

Wybór imperfekcji początkowej odgrywa istotną rolę w uzyskanej nośności. Przy zastosowaniu imperfekcji początkowych A lub B, wynikowe nośności na moment są o 10–30 % niższe w porównaniu z Eurokodem. Metody C i D dają jedynie nieznacznie bezpieczne wyniki (< 10 %) w porównaniu z analitycznym rozwiązaniem według Eurokodu dla rzeczywistego przekroju walcowanego. Są one jednak bardzo bliskie oczekiwanej wartości obliczonej analitycznie dla przekroju bez promieni środnik-pas.

Rys. 2: Kształt odkształcony przy nośności granicznej oraz odkształcenie plastyczne modelu B_4

6. Literatura i odniesienia

[1] EN 1993-1-1: Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych – Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków, CEN, 2005.

[2] prEN 1993-1-1: Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych – Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków, druga wersja robocza, CEN, 2017.

[3] Snijder, H. H., van der Aa, R. P., Hofmeyer, H., & van Hove, B. W. E. M. (2018). Lateral torsional buckling design imperfections for use in non-linear FEA. Steel Construction: Design and Research, 11(1), 49-56.

[4] Aa, R.P. van der: Numerical assessment of the design imperfections for steel beam lateral torsional buckling, Master thesis, report 2015.96, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Dept. of the Built Environment, Structural Design, The Netherlands, 2015.