Geometrisch und materiell nichtlineare Analyse mit Imperfektionen (GMNIA) von Trägern unter Biegung

1. Zielsetzung

Ziel dieses Artikels ist die Verifizierung des GMNIA-Moduls (geometrisch und materiell nichtlineare Analyse mit Imperfektionen) der Anwendung IDEA Member. Die resultierenden Tragfähigkeiten aus IDEA Member werden mit der analytischen Lösung nach EN 1993-1-1 [1] für Träger unter Biegung verglichen.

2. Modellbeschreibung

Insgesamt wurden 18 Einzelfälle analysiert, um das GMNIA-Modul zu verifizieren. Alle verwenden denselben Querschnitt IPE 240 und dieselbe Stahlgüte S 235. Es wurden drei verschiedene Belastungsbedingungen untersucht (A – Endmomente, B – Kraft in der Mitte, C – kontinuierliche Last). Sechs relative Schlankheitswerte wurden verifiziert, die von 0,6 bis 1,6 reichen.

Abb. 1: Verschiedene für die Verifizierung verwendete Lastfälle

3. Anfangsimperfektionen

Es wurden vier Ansätze verwendet, um die Anfangsimperfektion eines Trägers unter Biegung zu berechnen. Diese werden mit A, B, C und D bezeichnet. Die Ansätze A, B und C verwenden die Anfangsimperfektion für das Knicken um die schwache Achse, multipliziert mit einem Faktor k = 0,5; wie in EN 1993-1-1, Abschnitt 5.3.4 (3) [1] festgelegt. Die Anfangsimperfektion nach Ansatz D wird direkt für das Biegedrillknicken bestimmt.

Ansatz A – nach EN 1993-1-1:2005, Tabelle 5.1:

Tab. 1: Bemessungswert der anfänglichen Stichhöhen-Imperfektion e₀/L für Bauteile

Ansatz B – nach prEN 1993-1-1:2020, zweiter Entwurf [2], Abschnitt 5.3.3.1:

$$\frac{e_0}{L}=\frac{α}{ε} \beta$$

wobei:

• e₀ – Anfangsimperfektion
• α – Imperfektionsbeiwert in Abhängigkeit von der maßgebenden Knicklinie nach EN 1993-1-1, Tabelle 6.1 [1]
• $\varepsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}}$
• f_y – Streckgrenze der Stütze [MPa]
• β – bezogene Referenz-Stichhöhenimperfektion nach Tabelle 2
• L – Bauteillänge

Tab. 2: Bezogene Referenz-Stichhöhenimperfektion

Ansatz C – EUGLI-Methode (Equivalent Unique Global and Local Initial Imperfection) nach EN 1993-1-1:2005, Abschnitt 5.3.2 (11) [1]:

$$e_0=\alpha (\bar \lambda - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

wobei

• e₀ – Anfangsimperfektion
• α – Imperfektionsbeiwert in Abhängigkeit von der maßgebenden Knicklinie nach EN 1993-1-1, Tabelle 6.1 [1]
• $\bar \lambda$  – relative Schlankheit des Bauteils
• N_Rk – charakteristische Normalkraftbeanspruchbarkeit eines Querschnitts
• M_Rk – charakteristische Momentenbeanspruchbarkeit eines Querschnitts

Ansatz D – nach [3]:

$$e_0=\alpha_{LT} (\bar \lambda_{LT} - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

wobei

• e₀ – Anfangsimperfektion
• α_LT – Imperfektionsbeiwert aus Tabelle 3
• $\bar \lambda_{LT}$ – relative Schlankheit des Bauteils
• N_Rk – charakteristische Normalkraftbeanspruchbarkeit eines Querschnitts
• M_Rk – charakteristische Momentenbeanspruchbarkeit eines Querschnitts

Tab. 3: Imperfektionsbeiwerte zur Berechnung von e₀

Die resultierenden Werte der Anfangsimperfektion sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Zu beachten ist, dass für diesen Querschnitt und diese Stahlgüte die Ansätze A und B dieselben Werte ergeben.

Tab. 4: Resultierende Werte der Anfangsimperfektion

4. Analytische Lösung

Der folgende Ansatz nach EN 1993-1-1, Abschnitte 6.3.2.1 und 6.3.2.2 [1] wird verwendet, um die Biegedrillknicktragfähigkeit des Trägers zu berechnen:

$$\bar \lambda_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl,y} f_y}{M_{cr}}}$$

$$\phi_{LT} = 0.5 \left [1 + \alpha_{LT} \left (\bar \lambda_{LT} - 0.2 \right ) + \bar \lambda_{LT} ^2 \right]$$

$$\chi_{LT} = \frac{1}{\phi_{LT} + \sqrt{\phi_{LT}^2 - \bar \lambda_{LT} ^2}}$$

$$M_{b,Rd} = \frac{\chi_{LT} W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M1}}$$

5. Ergebnisse

Die Grenztragfähigkeiten (für Anfangsimperfektionen A = B, C und D) aus IDEA Member werden mit analytischen Werten für einen gewalzten Querschnitt (EN) sowie für dessen Darstellung ohne die Steg-Flansch-Ausrundungsradien (Ew) verglichen. Abschließend werden Ergebnisse aus der Software ANSYS (A) [4] dargestellt, wobei die Anfangsimperfektionen auf Basis von Ansatz C verwendet wurden.

Tab. 5: Resultierende Momententragfähigkeitswerte

Diagramm 1: Resultierende Momententragfähigkeitswerte

Diagramm 2: Vergleich der resultierenden Momententragfähigkeiten

Die Ergebnisse der GMNIA sind im Vergleich zur Eurocode-Lösung konservativ. Dies wird teilweise durch die Querschnittsmodellierung in IDEA Member verursacht; dieser Einfluss liegt zwischen 5–10 %, wie an den blauen Säulenwerten im obigen Diagramm zu erkennen ist.

Vergleicht man die beiden orangefarbenen Säulen (Member und ANSYS), zeigt sich eine gute Übereinstimmung mit einer numerischen Lösung in ANSYS.

Die Wahl der Anfangsimperfektion spielt eine wesentliche Rolle für die resultierende Tragfähigkeit. Bei Verwendung der Anfangsimperfektionen A oder B liegen die resultierenden Momententragfähigkeiten 10–30 % unter denen des Eurocodes. Die Methoden C und D sind im Vergleich zur analytischen Eurocode-Lösung für einen realen gewalzten Querschnitt nur leicht konservativ (< 10 %). Sie liegen jedoch sehr nahe am erwarteten Wert, der analytisch für einen Querschnitt ohne Steg-Flansch-Ausrundungsradien berechnet wurde.

Abb. 2: Verformte Form bei der Grenztragfähigkeit und plastisches Dehnung des Modells B_4

6. Literatur und Referenzen

[1] EN 1993-1-1: Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, CEN, 2005.

[2] prEN 1993-1-1: Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, zweiter Entwurf, CEN, 2017.

[3] Snijder, H. H., van der Aa, R. P., Hofmeyer, H., & van Hove, B. W. E. M. (2018). Lateral torsional buckling design imperfections for use in non-linear FEA. Steel Construction: Design and Research, 11(1), 49-56.

[4] Aa, R.P. van der: Numerical assessment of the design imperfections for steel beam lateral torsional buckling, Master thesis, report 2015.96, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Dept. of the Built Environment, Structural Design, The Netherlands, 2015.