Der Lastansatz in einem Anschluss: Gleichgewicht und gelagertes Bauteil

1. Berechnungsmodell

Wie jedes FEM-Modell besitzt auch das Berechnungsmodell in Connection Randbedingungen und wird in einer bestimmten Weise belastet. Zur Veranschaulichung wird ein einfacher ebener Rahmen betrachtet, bestehend aus einem horizontalen Träger, der über eine biegesteife Stirnplattenverbindung an eine Stütze angeschlossen ist. Der Träger ist mit einer gleichmäßigen Streckenlast belastet.

Im Programm wird das dreidimensionale Berechnungsmodell der angeschlossenen Bauteile mit den Schnittgrößen belastet, die im globalen Statik-Modell direkt am Verbindungsknoten auftreten. Der Mittelpunkt des Anschlusses (im Drahtmodell als schwarzer Punkt dargestellt) entspricht dem Knoten im globalen Statik-Modell.

Es gibt zwei Ansätze zur Modellierung der Verbindung. Sie unterscheiden sich hinsichtlich der Randbedingungen und dem Lastansatz. Zwischen beiden Varianten kann über die Schaltfläche „Lasten im Gleichgewicht“ im oberen Menüband gewechselt werden.

Zunächst wird die Modellvariante mit aktivierter Option „Lasten im Gleichgewicht“ beschrieben. In dieser Einstellung wird die gesamte Verbindung als Einheit betrachtet, und alle angeschlossenen Bauteile werden belastet. Dies ist die Standardeinstellung bei der Erstellung eines neuen Projekts.

Die Variante mit deaktivierter Gleichgewichtsfunktion wird in Abschnitt 3 erläutert. Sie eignet sich z. B. für die isolierte Berechnung einzelner Verbindungen.

Im Beispiel besteht das Modell aus einem durchlaufenden Bauteil (Stütze B1) und einem angeschlossenen Bauteil (Träger B2). Die Stütze ist als gelagertes Bauteil definiert.

Aufbau des CBFEM-Modells:

1. Angeschlossene Bauteile: Stumpfmodell des Trägers, der Stütze oder eines Diagonalsystems, abgebildet mit Schalenelementen und direkt belastet.
2. Anschluss-Komponenten: Anschlussplatten, Knotenbleche, Steifen, Schweißnähte, Schrauben, Kontakte, MPC (Multi-Point Constraints) – siehe theoretische Grundlagen.
3. Kondensierte Superelemente: Dienen der gleichmäßigen Lastverteilung auf das 3D-Schalenmodell – für den Anwender nicht sichtbar. Sie werden in diesem Artikel ausführlicher beschrieben.
4. Starre Kopplungen: Verbinden die Enden der Superelemente mit dem Knoten im Mittelpunkt des Anschlusses. Die Lasten werden an den Anfangsknoten dieser starren Kopplungen angesetzt.
5. Lager: Randbedingungen, die am Anfang der starren Kopplung des tragenden Bauteils wirken.

1.1 Lagerung

Jedes FEM-Modell benötigt Lager, um Singularitäten zu vermeiden. Das CBFEM-Modell ist ein allgemeines 3D-FEM-Modell und erfordert daher Lagerbedingungen gegen drei Translationen und drei Rotationen.

Im Beispiel ist ein Punktlager (drei Verschiebungen und drei Verdrehungen gehalten) am Anfangsknoten der starren Kopplung zwischen dem unteren Ende der Stütze und dem Mittelpunkt des Anschlusses angeordnet.

Welches Bauteil gelagert wird, hängt davon ab, welches als gelagertes Bauteil definiert ist. Das gelagerte Ende wird im 3D-Modell mit einem roten Quadrat markiert.

1.2 Belastung

Das Modell wird mit den Schnittgrößen des globalen Statik-Modells am Anschlussknoten belastet. In der 3D-Ansicht erscheinen die Lastsymbole an den Enden der dargestellten Bauteile.

Die einzugebenden Schnittgrößen wirken im Modell als Knotenlasten – an den Startpunkten der starren Kopplungen.

Die vom globalen Statik-Modell berechneten Schnittgrößen im besprochenen Rahmen sind wie folgt:

Die Schnittgrößen um den betrachteten Anschluss herum sind:

Die Schnittgrößen aus dem globalen Statik-Modell werden im Anschluss angewendet:

Mit aktivierter Funktion „Lasten im Gleichgewicht“ werden allen verbundenen Bauteilen Schnittgrößen zugewiesen. Die Belastung muss dabei im Gleichgewicht sein. Das Programm überprüft dies und zeigt in einer separaten Tabelle Fehlende Lasten zum Gleichgewicht an. Bei korrekter Lastdefinition sind diese null oder nahezu null.

Das Beispielmodell zeigt:

• Die Belastung erfolgt an den Punkten B1/End und B2/End.
• B1/Begin ist gelagert, eingegebene Kräfte/Momente führen zu keiner Belastung des Anschlusses.
• Die Reaktionen in B1/Begin entsprechen bei korrekter Eingabe exakt der Summe der aufgebrachten Kräfte und Momente von B1/End und B2/End.

Die Belastung des Verbindungsberechnungsmodells ist dann wie folgt:

Starre Kopplung – Veranschaulichung

Ein vereinfachtes Modell des Trägers (B2) zeigt die Funktionsweise:

• Vz = –70 kN,
• My = 60 kNm.

Diese Schnittgrößen werden an den Startknoten der starren Kopplung angesetzt und wirken über das Superelement auf das Schalenmodell von B2.

Die Schnittgrößen des CBFEM-Modells sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Die eingangs dargestellten Schnittgrößenverteilungen aus dem globalen Statik-Modell sind ebenfalls durch gestrichelte Linien dargestellt. Wie man sieht, ist der Momentenverlauf des Trägers in Connection linear. Dieser entspricht in ausreichendem Maße der parabolischen Kurve aus dem globalen Modell. In ähnlicher Weise ist die Querkraft im Träger in Connection konstant und im globalen Modell linear.

Zur Veranschaulichung zeigt die folgende Abbildung die Verformung. Es ist deutlich erkennbar, dass die Lagerung des Modells am unteren Ende der Stütze über die starre Kopplung erfolgt. Somit befindet sich die Lagerung in der Mitte des Anschlusses.

Das resultierende CBFEM-Modell ist äußerlich statisch bestimmt (nur sechs Freiheitsgrade werden beansprucht) und kann sich ohne unerwünschte Zusatzreaktionen verformen.

2 Folgen unausgeglichener Kräfte im Anschluss

Im ersten Beispiel waren die Lasten im Gleichgewicht. Nun wird untersucht, was passiert, wenn dies nicht der Fall ist.

2.1 Rahmenanschluss

Wird die Verbindung falsch belastet, so zeigt sich, dass die tatsächlich in der Stütze wirkenden Schnittgrößen stark von den in der Lasttabelle eingegebenen Werten abweichen. Ursache ist, dass die Lasten am gelagerten Ende des tragenden Bauteils nicht auf das Modell übertragen werden, sondern sich aus den Reaktionen des CBFEM-Modells ergeben (hier Fx = -5 kN, My = -13 kNm).

Die reale Verteilung der Schnittgrößen unter einer solchen Belastung wird anhand eines Stab-Ersatzmodells des Anschlusses gezeigt (Bild unten). Die gestrichelten Verläufe zeigen die ursprünglich zugewiesenen Schnittgrößen.

Folge:

Das tragende Bauteil wird in der Berechnung mit völlig anderen Schnittgrößen beansprucht, als vom Benutzer vorgesehen.

2.2 Fachwerkanschluss

Ein Fachwerkknoten aus unterem Zuggurt, Zugdiagonale und Druckdiagonale wird betrachtet. Der untere Gurt ist durch eine Schraubenverbindung unterbrochen.

Fall 1: Ausgeglichene Lasten – Schraubenkraft inkl. Abstützkräfte: 73 kN (obere und untere Abbildung).

Fall 2: Unausgeglichene Lasten (hier CH1 mit 240 kN) – unbalancierte Horizontalkraft 101,4 kN (untere Abbildung).

Die resultierenden Normalkräfte in den Fachwerkstäben nach der Modellberechnung und die Zugkräfte in den Schrauben sind wie folgt:

Folge:

Der Anschluss wird falsch nachgewiesen, weil die Belastung (Schraubenkraft nur 37 kN) wesentlich geringer ist als die tatsächliche Beanspruchung (73 kN).

3 Berechnungsmodell mit deaktivierter Gleichgewichtsfunktion

Bis zu diesem Punkt haben wir mit aktivierter Funktion „Lasten im Gleichgewicht“ gearbeitet.

Bei deaktivierter Funktion „Lasten im Gleichgewicht“ gilt:

• Das durchlaufende Bauteil (hier Stütze B1) ist beidseitig gelagert.
• Lasten können nur auf das angeschlossene Bauteil (hier Träger B2) angesetzt werden.
• Eine Überprüfung auf Gleichgewicht entfällt.

Das Berechnungsmodell und die Belastung der Verbindung sehen wie folgt aus.

Die Schnittgrößen im durchlaufenden Bauteil entsprechen nicht dem realen Lastfluss. Dennoch kann die Verbindung des belasteten Bauteils korrekt nachgewiesen werden, hier die Stirnplatte mit Schrauben und Schweißnähten.

Diese Einstellung eignet sich für isolierte Bemessungen einzelner Verbindungen, nicht jedoch für eine vollständige Berücksichtigung der Interaktion zwischen globalen und lokalen Effekten des gesamten Modells.

Das obige Bild zeigt, dass die Schnittgrößenverteilung im Träger B2 nicht durch die statisch unbestimmten Randbedingungen des Modells beeinflusst werden.

4 Fazit

• Aktivierte Funktion „Lasten im Gleichgewicht“ → geeignet für den gesamten Anschluss, bei dem die Interaktion zwischen den Bauteilen berücksichtigt werden soll.
• Deaktivierte Funktion „Lasten im Gleichgewicht“ → geeignet für Detailnachweise einzelner Verbindungen.