扭矩与翘曲

翘曲常数 $I_w$ 不为零的构件，若所受荷载不是两端施加相同扭矩的情况，在受到扭转时会发生翘曲。

IDEA StatiCa Connection 中的构件包含其加工操作，之后默认附加 1.25*h 的壳单元 + 4*h 的凝聚单元；详见构件自动长度文章。因此，构件长度实际上不可忽略，约达到典型钢结构构件跨度的三分之一。

当施加扭转时——无论是直接输入 Mx，还是对非对称截面构件（如槽钢或角钢）施加剪力——均会产生翘曲应力。

扭转引起：

• 圣维南扭转，$T_t$ 
• 翘曲扭转，$T_w$
• 双力矩，$B$

这些进而引起以下应力：

• 圣维南扭转引起的剪应力，$\tau_{t}$
• 翘曲扭转引起的剪应力，$\tau_w$
• 双力矩引起的正应力，$\sigma_w$

各力可通过求解微分方程确定：

$$EI_w\varphi^{IV}-GI_t\varphi^{II}=m$$

其中：

• $E$ – 拉压弹性模量
• $G$ – 剪切弹性模量
• $I_w$ – 翘曲常数
• $I_t$ – 扭转常数
• $\varphi$ – 转角
• $m$ – 扭矩

理想边界条件（如固定端或自由端）下的解析解已知。

IDEA StatiCa Connection 构件中双力矩引起正应力的上限，对应于固定端与施加荷载（扭转）的自由端边界条件。

对于该边界条件：

$$T_t=M \left ( 1-\frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh}K_t} \right )$$

$$T_w = M \frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}$$

$$B=-\frac{ML}{K_t}\frac{{\sinh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}$$

其中：

• $M$ – 施加于构件端部的扭矩（IDEA StatiCa Connection 中设定的 Mx，或剪力 V 乘以剪切中心与重心之间的距离）
• $K_t = L \sqrt{\frac{GI_t}{EI_w}}$
• $L$ – 构件（悬臂）长度

以下是一个刚度极大的节点示例：

柱承受扭矩 $M_x = 30\,\textrm{kNm}$。尽管底板非常厚，但由于柱的翘曲，底板仍会发生轻微变形，从而在锚栓中产生拉力，并在混凝土中产生压应力。这意味着翘曲约束仍不完全。然而，在实际工程中不应期望出现此类理想情况。

利用疲劳分析，可以绘制对接焊缝附近（距焊缝喉部厚度 0.5 倍处）的正应力和剪应力分布：

将应力与解析解进行对比。利用上述公式，各力为：

柱翼缘处的相应应力可按以下公式计算：

$$\tau_t=T_t \frac{t_f}{I_t}$$

$$\tau_w= T_w \frac{S_{\omega,max}}{I_w t_f}$$

$$\sigma_w=B \frac{\omega}{I_w}$$

底板位置处（图中构件纵轴 = 0）翘曲引起的峰值正应力达到 314 MPa，略高于 IDEA StatiCa 的计算结果。这一差异由翘曲约束不完全所致。构件节点处（本例为柱脚）的剪应力可忽略不计。 

扭转和翘曲引起的截面应力分布可在通用截面编辑器中查看：

实际工程案例可能更为复杂。将底板厚度改为 30 mm，并仅使用四根 M36 8.8 级锚栓：

此时底板发生显著变形，混凝土中的应力不可忽略，锚栓中的力实际上非常大，接近 140 kN（与按 EN 1992-4 确定的 $N_{Rd,s} = 370.4\, \textrm{kN}$ 相比）。由于底板变形，翘曲引起的正应力不再像解析解那样呈线性分布。令人略感意外的是，峰值应力 314 MPa 实际上与解析解相吻合。

结论

结构工程师往往忽视扭转效应，尤其是翘曲，或通过采用闭口截面等方式加以规避。需要注意的是，采用一维单元的软件通常具有六个自由度（3 个平动、3 个转动），而要捕捉翘曲效应，则需要第七个自由度。具有七个自由度的一维单元可在 LTBeam 或 Consteel 等软件中使用。即便如此，确定翘曲如何通过节点在构件之间传递仍然困难。尽管如此，翘曲是真实存在的现象，开口截面对其效应极为敏感。 

对开口截面构件施加扭转时须格外谨慎。当此类构件在 IDEA StatiCa Connection 中出现承载力不足时，应引起结构工程师的高度重视。包含翘曲的扭转效应应在构件设计中加以评估，例如使用具有实际构件长度并在正确位置施加荷载的 IDEA StatiCa Member。