Torção

Pressupostos de cálculo

O comportamento de uma secção de betão armado sujeita a torção pode ser dividido em duas categorias — antes e depois do momento em que se espera que as fissuras possam ocorrer pela primeira vez. Antes da fissuração, a secção transversal comporta-se como um material elástico. A tensão de torção pode ser expressa pela fórmula   

 $$\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}$$ 

onde W_t é o módulo de secção à torção.

As fissuras no elemento não armado devidas à tensão principal de tração por torção constituem também um estado limite último. O comportamento de uma secção de betão armado sujeita a torção pode ser descrito com base numa secção fechada de parede fina, ver Fig. abaixo. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}$$

Procedimento de cálculo

O processo de verificação normativa de uma secção de betão armado à torção é muito semelhante à verificação ao corte. Em primeiro lugar, verifica-se a resistência do betão. Se a verificação do betão for satisfeita, a armadura pode ser dimensionada utilizando as regras de pormenorização. Caso contrário, é necessário verificar a armadura e a resistência das diagonais comprimidas por cálculo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}$$

Resistência

O fluxo de corte numa parede de uma secção transversal de parede fina sob torção pode ser expresso como:

$${{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

A força de corte numa parede de uma secção transversal de parede fina pode ser expressa como:

$$V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z$$

Onde 

τ          Fluxo de corte na parede,

t_ef         é a espessura efetiva da parede,

z           é o comprimento do lado da parede,

T_Ed       é o momento de torção,

A_k        é a área delimitada pelas linhas médias das paredes de ligação, incluindo as áreas ocas interiores.

O momento de fissuração por torção, que pode ser determinado substituindo f_ctd na expressão anterior. Assim obtemos a expressão para a resistência à torção sem armadura de torção.

$${{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}$$

onde  f_ctd       valor de cálculo da resistência à tração axial do betão

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}$$

A resistência do elemento com armadura de torção é composta pela resistência das diagonais comprimidas de betão, baseada novamente no método da analogia de treliça. A tensão de compressão na diagonal pode ser expressa com o auxílio da força de corte na parede de uma secção transversal de parede fina na superfície da parede em consideração, ou seja:

$${{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }$$

Substituindo σ_c=σ_cwf_cd e T_Ed=T_Rd,max e expressando T_Rd,max obtemos a equação para a resistência das diagonais comprimidas

$${{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}$$

onde  

ν          = 0,6 para f_ck ≤ 60MPa ou  para f_ck > 60MPa

α_cw       coeficiente que tem em conta o estado de tensão de compressão no banzo comprimido

f_cd        valor de cálculo da resistência à compressão do betão

a resistência da armadura de corte sujeita a torção baseia-se novamente na tensão na diagonal comprimida. A força no estribo é igual à tensão na diagonal comprimida na área correspondente à linha de estribos em causa, ou seja:

$${{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~$$

Substituindo  T_Ed=T_Rd,s e expressando T_Rd,s  obtemos a equação:

 $${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta$$ 

Se a quantidade de armadura longitudinal e de corte for conhecida, podemos definir o ângulo θ pela expressão

$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}$$ 

Substituindo em T_Rd,s obtemos

$${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}$$  

Onde

A_sw      área da armadura de corte

s           é o espaçamento radial dos estribos da armadura de corte

f_ywd      é a resistência de cálculo efetiva da armadura de corte

A_sl       área da armadura longitudinal

u_k         é o perímetro exterior da secção transversal

f_ywd      é a resistência de cálculo efetiva da armadura longitudinal

A força na armadura longitudinal pode ser deduzida da força de corte numa parede de uma secção sujeita a um momento de torção puro, que é dada por:

$$V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}$$

Essa força é transformada na direção longitudinal e obtemos:

$${{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }$$

O intervalo permitido de valores para o ângulo θ é semelhante ao da verificação ao corte, ou seja 1 < cot θ < 2,5. A dependência entre as resistências pode ser observada na Fig. abaixo. O diagrama mostra que com o aumento do ângulo θ a resistência T_Rd,max aumenta, a resistência T_Rd.s diminui e a resistência T_Rd,c é constante, uma vez que não se baseia no método da analogia de treliça.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}$$

Cálculo das características da secção transversal para a torção

Para verificar a secção transversal à torção é necessário estabelecer uma denominada secção fechada equivalente de parede fina. Na determinação das dimensões da secção transversal equivalente de parede fina assume-se uma forma retangular. Para a área real de um retângulo tem-se A = b×h e para o perímetro do retângulo u =2 (b +h). Utilizando estas duas equações é possível obter a área e o perímetro alternativos da secção transversal original em forma de retângulo de parede fina. Resolvendo duas equações com duas incógnitas obtemos:

$$b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$$h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}$$

A espessura da parede da secção efetiva pode ser definida a partir do perímetro e da área da secção como:

$$t=\text{A}/\text{u}$$

Em seguida, a área e o perímetro definidos pela linha média da secção efetiva:

$${{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$${{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)$$

O problema com este método ocorre para secções transversais do tipo T com uma laje larga, quando a área total e o perímetro são utilizados para calcular as dimensões (incluindo essa laje). Em versões futuras do programa IDEA RCS, será possível selecionar a parte mais maciça da secção transversal, que será utilizada para verificar a torção.