引言：
本实验研究呈现了一系列有无斜向钢筋的双桩钢筋混凝土承台（尺寸为 400×400×1000 mm）在集中荷载作用下的试验结果与讨论。试验组采用抗压强度为 25.8 MPa 的混凝土，以及直径分别为 5 mm、10 mm 和 12.5 mm 的钢筋。验证工作在有限元分析软件 ABAQUS（采用三维实体单元）和 IDEA StatiCa 二维 Detail（基于 CSFM（协调应力场法），预设二维平面应力状态）中进行。承台中的主受拉钢筋和混凝土压杆已根据 Blévot 和 Frémy [4] 的实验研究成果进行了设计。本次验证的目标是开展一系列数值模拟，将各方案的承载能力与实际试验结果进行对比，并就压力软化效应对不连续区域（如平面承台）的影响得出结论——在此类区域中，剪切破坏是主要破坏模式，若低估其影响可能导致严重事故。
试验装置
本试验由 Aaron Nzambi、Lana Gomes、Cledinei Amanajás、Francisco Silva 和 Dênilo Oliveira [1] 组成的团队主持，旨在研究钢纤维和斜向抗剪钢筋对承台承载能力的影响。
所有试件均承受通过钢板施加于柱面的集中荷载，采用液压千斤顶通过钢板均匀施加。加载过程中以带刚性加劲肋的钢梁作为支撑。应变计固定于承台底面两桩之间，用于测量和评估最终变形。更多应变计布置于钢筋表面——详细信息可参阅文献 [1]。加载方式为准静态短期加载，以避免速率相关行为（流变效应）的影响。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Test assembly and gauges - installed strain gauges(left), deflectometer position (right)}}}\]
几何尺寸与钢筋布置
按照文献 [1] 中的试件编号，PC01REF 和 PC04IR 两个试件被提交用于验证。两个试件的尺寸完全相同，差异仅在于钢筋布置方式。PC04IR 试件中设置了斜向钢筋，用于约束混凝土中的横向拉应变并加强该区域。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Reinforcement setup and dimensions}}}\]
材料与物理性能
水泥、粗骨料、细骨料和水灰比（w/c）按 1:2.90:2.10:0.55 的比例配制。采用高效减水剂以保持混凝土的稳定工作性。混凝土试件在实验室中成型，并在相对湿度 85% 的条件下养护 28 天。表中列出了 7 天、14 天和 28 天的材料特性试验结果。采用平均值：抗压强度（fc）为 25.8 MPa，抗拉强度（fct）为 1.9 MPa，弹性模量（Ec）为 28.4 GPa。试验中使用的钢筋按 NBR 748015 进行分类，其力学性能通过轴向拉伸试验确定，遵循 NBR ISO 6892-116 [6] 的规定。拉伸试验采用三个试样，试验钢筋直径分别为 5.0 mm、10.0 mm 和 12.5 mm，分别用于箍筋、斜向抗剪钢筋和受弯钢筋。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Material and physical properties}}}\]
IDEA StatiCa 2D Detail - CSFM
CSFM（协调应力场法）是一种基于有限元的连续应力场分析方法，在经典应力场解的基础上引入了运动学考量，即对结构全域的应变状态进行评估。因此，混凝土的有效抗压强度可根据横向应变状态自动计算，其方式与考虑压力软化的压缩场分析（Vecchio and Collins 1986；Kaufmann and Marti 1998）及 EPSF 方法（Fernández Ruiz and Muttoni 2007）类似。此外，CSFM 考虑了拉力刚化效应，为构件提供了更真实的刚度，并涵盖了以往方法未能一致处理的所有设计规范要求（包括正常使用极限状态和变形能力方面）。混凝土受拉部分完全忽略不计，CSFM 采用设计规范为混凝土和钢筋提供的常用单轴本构关系。这些关系在设计阶段即已确定，从而可以采用分项安全系数法。因此，设计人员无需像非线性有限元分析通常所要求的那样提供额外的、往往带有主观性的材料参数，使该方法完全适用于工程实践。
有关该方法的更多信息，请参阅理论背景。
模型建立
模型由四个混凝土块组成，分别代表承台本体、桩和柱。尺寸和厚度根据试验装置确定。该模型为简支支承：左侧支座限制水平和竖向位移，右侧支座仅限制竖向位移。采用带钢承压板的点支座以确保稳定性。承压板厚度人为设置为 80 mm，以保证应力均匀分布。由于结构类似简支梁，承压板高度对结果影响不大。
采用弹性模量人为设置较高的自定义钢材材料对承压板进行模拟。由于结构几何形状和荷载条件，最大压应力出现在柱与桩体交接处的柱底边缘附近。尽管这些压应力超过了混凝土的抗压强度，但由于约束效应，结构并未丧失整体性和承载能力。由于二维模型无法模拟应力三轴性效应，采用抗压强度提高的自定义材料对桩和柱单元进行模拟。由于与试验结果对比，所有材料分项安全系数均设为 1.0。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Reinforcements rendering, analysis model}}}\]
荷载
集中力通过弹性模量提高的板施加，以确保应力在柱顶面均匀分布。在非线性分析（NR 分析）中，当满足停止准则时达到最大荷载。因此，模型可能出现超载，导致分析在施加荷载达到 100% 之前停止。该方法是求取临界荷载的最优方式。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Concentrated force on the top plate}}}\]
压力软化
混凝土结构中的压力软化是指由于裂缝或横向拉应变的存在，混凝土的抗压强度和刚度降低的现象，尤其发生在承受复合应力的钢筋混凝土构件中。
什么是压力软化？
压力软化是一种力学退化现象，其特征为：
- 承受压力的混凝土在同时发生受拉开裂或产生剪切变形时，表现出承载能力降低。
- 这一现象在承受压力的开裂混凝土中尤为明显，例如剪力墙、压杆或梁的腹板单元中。
为何会发生这种现象？
混凝土是一种脆性材料。当裂缝形成（由拉力、弯曲或剪力引起）时，材料内部的应力分布发生改变：
- 裂缝使混凝土产生横向膨胀（横向应变）。
- 受压时，开裂混凝土的抵抗荷载效率降低。
- 这导致其表观抗压强度降低——因此称为软化。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Compression softening representation in 2D Detail}}}\]
网格敏感性
网格敏感性分析用于评估数值模拟结果随网格尺寸变化的规律，有助于确定兼顾精度与计算成本的最优网格。网格越细，结果通常越精确，但计算代价也越高。目标是确保结果不依赖于网格尺寸，从而验证模型的数值稳定性和可靠性。
基于上述原则，我们对不同网格尺寸进行了模拟，以确定最优精度对应的网格。针对 PC01REF 和 PC04IR 模型，分别在压力软化开启和关闭两种状态下进行了两组敏感性分析。压力软化效应已硬编码，默认情况下予以考虑。
试验阈值揭示了试件所能承受的最大荷载！值得关注的是，所有模型均以承台本体发生剪切破坏告终，提供了极具价值的参考信息！
PC01REF 压力软化 - 开启
当压力软化激活时，试验阈值与不同网格倍数之间的偏差范围为 0% 至 18%。最佳拟合结果在网格倍数为 0.5 时获得，此时承载能力与试验结果吻合。相比之下，采用默认网格倍数 1 时，数值模型的承载能力略有高估。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mesh sensitivity compression softening on}}}\]
PC01REF 压力软化 - 关闭
当压力软化关闭时，试验阈值与各网格倍数之间的偏差范围为 16% 至 42%。该偏差表明存在显著误差，且偏于不安全侧。这些结论对平面承台的设计具有重要意义。
研究还发现，激活压力软化的模型在强化阶段表现出更好的延性。相反，试验结果显示，由于缺少斜向钢筋，破坏呈脆性特征，这是设计过程中需要重点关注的问题。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Mesh sensitivity compression softening off}}}\]
PC04IR 压力软化 - 开启
当压力软化激活时，试验阈值与各网格倍数之间的偏差范围为 10% 至 18%。由于所有曲线均低于试验阈值，表明存在安全裕度。这些结果对应含斜向抗剪钢筋的模型。与 PC01REF 模型相比，该模型具有更大的安全裕度。压力软化区域内的斜向钢筋提高了模型强度，使 CSFM 模拟结果具有更高的安全裕度。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Mesh sensitivity compression softening on}}}\]
PC04IR 压力软化 - 关闭
当压力软化关闭时，试验阈值与各网格倍数之间的偏差范围为 6% 至 11%。若斜向抗剪钢筋穿过软化区域，则在最终模拟中，几乎所有推荐网格倍数（0.5 和 1）对应的承载能力均低于试验阈值。由此得出结论：采用斜向钢筋时，不考虑压力软化的 CSFM 模型仍处于安全状态，不会发生提前破坏。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Mesh sensitivity compression softening off}}}\]
ABAQUS - 混凝土损伤塑性模型
基本假定
混凝土损伤塑性模型 （以下简称 CDP）基于 Drucker-Prager 塑性准则 [7]。该模型适用于具有内摩擦的材料，如土体或混凝土。抗拉强度远低于抗压强度，应力张量的静水压力部分对塑性面的演化起重要作用。在一般应力状态下，塑性准则的屈服面为旋转锥面。受压和受拉的材料模型均考虑了峰后行为，由所谓的损伤参数控制，其取值范围从 0（无损伤）到 1（混凝土受压或受拉峰后状态下刚度接近零）。损伤参数越大，单元损伤越严重，对刚度的贡献越小。
该模型是一种基于连续介质的塑性损伤混凝土模型，考虑了受拉开裂和受压压碎。模型采用两个硬化变量——受拉和受压等效塑性应变——来控制破坏面。混凝土在达到峰值应力前表现为弹性行为，之后由于受拉微裂缝扩展和受压压碎而发生软化。
材料模型
Thorenfeldt 模型（更准确地说，是 Thorenfeldt–Tomaszewicz–Jensen 模型）[8] 是描述混凝土非线性受压应力-应变行为的广泛应用的经验模型，尤其适用于有限元分析（FEA）中的混凝土损伤模型。本文选用该模型作为混凝土损伤塑性的本构模型。受压单轴本构关系在峰值前遵循 EN 1992-1-1 [5] 中混凝土抛物线-矩形图的变化趋势。受压和受拉的峰后行为均以 Thorenfeldt 模型为基础。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Concrete Damage Model in compression/tension + damage }}}\]
钢筋采用带各向同性硬化的双线性材料模型。不同直径钢筋的材料性能各不相同。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Bilinear diagram with hardening for reinforcement }}}\]
有限元单元类型
混凝土有限元模型采用 C3D8 六面体单元，具有线性基函数和单个积分点。钢筋采用 T3D2 单元，仅传递轴向效应。钢筋与混凝土单元之间的相互作用通过 ABAQUS 内置约束实现，称为"嵌入特征"。
嵌入单元技术用于指定某一单元或一组单元嵌入"宿主"单元中，可用于模拟钢筋。ABAQUS 搜索嵌入单元节点与宿主单元之间的几何关系。若嵌入单元的某节点位于宿主单元内，则该节点的平动自由度被消除，成为"嵌入节点"。嵌入节点的平动自由度被约束为宿主单元对应自由度的插值结果。
运动学耦合方程用于施加边界条件和荷载。详细说明见下文。
模型描述
柱、承台本体和桩均由刚性钢板覆盖，以确保荷载施加处（柱顶面）和边界条件施加处（桩底面）的应力均匀分布。荷载通过运动学耦合约束传递至刚性单元，变形荷载施加于参考点（RP1）。参考点 RP2 和 RP3 用于施加边界条件（BC）。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Model description ABAQUS }}}\]
荷载与边界条件
如上所述，采用变形荷载以达到峰后应力状态。荷载幅值在整体坐标系 Y 方向为 -3 mm。RP2 的边界条件限制所有平动自由度和一个转动自由度。RP3 约束两个平动自由度，形成空间稳定的简支铰接体系。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad Loads and boundary conditions }}}\]
网格
根据网格敏感性研究，设置了 25 mm 和 50 mm 两种网格尺寸。网格同时施加于混凝土和钢筋，弯折半径区域除外（该区域进行了局部加密）。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Mesh }}}\]
ABAQUS 网格敏感性
网格敏感性分析用于评估有限元分析中模拟结果随网格细化的变化规律，通过判断进一步细化网格对结果的影响是否显著，在精度与计算效率之间取得平衡。当前 50 mm 和 25 mm 网格的计算结果表明，粗网格对试验阈值的高估约为 3%，而 25 mm 细网格结果偏于安全侧，承载能力预测值较低。因此，选用 25 mm 网格进行后续分析与验证。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Mesh sensitivity for the model PC01-REF }}}\]
结果
本节将介绍解析计算、基于 CSFM（协调应力场法）和 CDP 模型的数值求解以及试验测试的输出结果。
试验结果
试验验证采用 PC01REF 模型，该试件承受的最大传递力为 978 kN。观察到的破坏模式为剪切破坏，特征为两条主裂缝从承台本体底面起裂。第一条裂缝为弯曲裂缝，随后在桩边缘处触发剪切裂缝。
第二个模型 PC04IR 设置了斜向钢筋，提高了承载能力。该模型中，主裂缝在承台本体范围内呈分散分布，表明该模型具有更合理的钢筋布置和更高的配筋率。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Bearing capacity and crack propagation from the testing setup }}}\]
拉压杆 - 解析解
本研究采用拉压杆模型（STM）对承台进行设计，该方法是刚性承台设计中最广泛应用的计算模型，设计依据为 Blévot 和 Frémy [4] 的试验研究成果。该模型通过受拉杆和受压杆在节点处相互连接，在承台内部构建空间桁架，如图 17 所示。计算确保受拉区（拉杆）钢筋因配筋冗余而不会达到屈服应力。根据钢筋的计算与设计，拉压杆模型的破坏将发生在混凝土中。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Strut and Tie }}}\]
IDEA StatiCa 2D Detail 计算结果
所有模型的极限荷载汇总于下表。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad CSFM/Experiment utilization }}}\]
所有情况下，计算均因混凝土压杆顶部节点发生混凝土破坏而终止。以下各节将对各模型进行详细分析。
考虑压力软化的 PC01REF 模型
该模型的极限荷载为 978 kN。
柱和桩中的压应力可忽略不计——这些单元采用了抗压强度提高的材料以考虑三轴应力效应。承台内部压杆清晰可见。柱底部存在主应力集中，最大值位于角部节点。桩顶区域的应力分布较为均匀。
非线性计算因混凝土压杆顶部节点发生混凝土破坏而终止，与拉压杆计算的预期结果吻合良好。钢筋中的最大应力出现在 Ø5 mm 水平箍筋处。主受拉钢筋中的应力约为 342 MPa，同样与预期结果吻合良好，远低于钢筋屈服强度。
压力软化系数沿整个压杆分布，极值位于承台底部。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad a) concrete utilization, b) compression softening, c) directions of main stresses, d) stress in reinforcement, e) total deformation }}}\]
不考虑压力软化的 PC01REF 模型
该模型的极限荷载为 1134 kN，比考虑压力软化的模型高约 16%。应力分布规律相似，但数值显著偏大。主受拉钢筋中的拉应力约为 390 MPa，破坏同样由混凝土劣化引起。
当压力软化关闭时，系数 \( k_{c2} \) 明显等于 1.0。此时模型表现出明显偏软的行为，最大总变形超过预期值的两倍。不考虑压力软化导致对试验阈值的高估，使模型处于不安全侧，这对于结构工程应用而言是不可接受的。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad a) concrete utilization, b) compression softening, c) directions of main stresses, d) stress in reinforcement, e) total deformation }}}\]
考虑压力软化的 PC04IR 模型
该模型的极限荷载为 1120 kN，比不设斜向抗剪钢筋的模型高约 15%。值得注意的是，斜向钢筋虽未达到其承载比上限，但在拓宽压杆宽度、将柱底压力分散至更大范围方面发挥了重要作用。
下图展示了附加斜向钢筋对压力软化系数的影响。增设钢筋后，模型达到了更大的总变形，差值约为 1 mm。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad a) concrete utilization, b) compression softening, c) directions of main stresses, d) stress in reinforcement, e) total deformation }}}\]
不考虑压力软化的 PC04IR 模型
该模型的极限荷载为 1217 kN，比开启压力软化的模型高约 9%。可以观察到，压力软化的影响低于无附加钢筋时的情况（无附加钢筋时为 16%）。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad a) concrete utilization, b) compression softening, c) directions of main stresses, d) stress in reinforcement, e) total deformation }}}\]
ABAQUS 计算结果
两种试验工况的承载能力对比结果表明，CDP 模拟与试验结果的吻合度在 83% 至 96% 之间。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Bearing capacity of experiment/numerical model }}}\]
PC01REF 模型
结果来自材料和几何双重非线性分析。最小主应力 Sigma 3 在柱与承台本体交接处达到极值。柱中的约束效应使应力可增至 -50 MPa。变形结果表明柱被压入承台本体，与桩共同形成高剪力流区域。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad Minimum principal stress, Total deformation}}}\]
模型包含受拉材料本构关系及拉力软化效应，通过损伤参数表征。该参数取值范围为 [0, 1]，其中 1 表示受拉刚度完全丧失，对应单元退出模拟。如图 17 所示，试验中观察到裂缝的区域出现了极端损伤。此外，水平箍筋中的钢筋应力尤为突出，该区域为主拉力集中区。数值解验证了图 17 中的解析计算结果，并证明破坏模式不发生在钢筋上。底部七根受拉钢筋的最大应力不超过 380 MPa。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Tension softening, Stress on reinforcement bars}}}\]
破坏模式由过大剪力引起，导致最大剪力流区域发生压力软化和损伤。该破坏模式与实际试验结果一致。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27\qquad Compression softening and failure mode indication}}}\]
PC04IR 模型
带斜向钢筋的 PC04IR 模型与前述模型具有相同的最小主应力。由于荷载幅值大于 PC01IR 模型，应力云图显示承台本体中的应力水平更高。柱顶观测到的总变形为 3 mm，该最大变形由柱逐步压入承台本体所致。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Minimum principal stress, Total deformation}}}\]
水平箍筋中 530 MPa 的最大应力表明塑性已开始发展。然而，需要注意的是，直径为 12.5 mm 和 10 mm 的主受拉钢筋尚未达到屈服平台。可以观察到，斜向钢筋通过显著增强拉力软化效应和整体承载能力，对该区域起到了加强作用。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad Tension softening, Stress on reinforcement bars}}}\]
由于边界条件的影响，压力软化呈非对称分布。临界区域位于水平固定边界条件一侧。另一侧由于水平位移引起的应力释放，软化程度较低。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Compression softening and failure mode indication}}}\]
结论
本研究对试验结果、基于拉压杆模型（STM）的解析计算以及采用 IDEA StatiCa 和 ABAQUS 进行的数值模拟进行了全面对比，以评估钢筋混凝土平面承台的结构行为。
试验方面，PC01REF 试件在 978 kN 荷载下发生剪切破坏。相比之下，PC04IR 模型中斜向钢筋的设置将承载能力提高至 1370 kN，同时促进了更均匀的裂缝分布。STM 预测了相近的破坏机制，从而验证了钢筋的有效性，且混凝土压杆未发生屈服或破坏。
CSFM（协调应力场法）分析表明，对于抗剪钢筋配筋率较低的 PC01REF 试件，关闭压力软化导致极限荷载增加 16%。考虑斜向钢筋的 PC04IR 模型结果显示，关闭压力软化后承载能力比试验结果低约 11%。由此得出结论：在压力软化效应显著的区域，合理的抗剪钢筋配置和加强措施可有效减轻该现象的影响。
反之，一旦激活压力软化，PC01REF 模型与试验数据完全吻合，而 PC04IR 模型承载能力降低 18%，这强调了结构工程师在设计时保持保守取值的必要性。
此外，ABAQUS 模拟对 PC04IR 和 PC01REF 模型的试验结果吻合度为 83% 至 96%，清晰揭示了与拉力软化相关的破坏区域，并确认了高剪力流区域的位置。PC04IR 模型表现出更优的应力分布和更强的变形能力。
荷载-变形曲线 - PC01REF
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad Graph PC01 REF}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Graph PC04 IR}}}\]
综上所述，斜向钢筋显著提高了承载能力和应力分布均匀性。压力软化对于准确预测破坏至关重要，所有模型均一致表明混凝土破坏是主导破坏模式。
参考文献
[1] Pile caps with inclined shear reinforcement and steel fibers, Aaron Nzambi, Lana Gomes, Cledinei Amanajás, Francisco Silva, Denio Oliveira, Scientific reports, 2022, https://www.nature.com/articles/s41598-022-14416-2
[2] IDEA StatiCa. (n.d.). Theoretical background for IDEA StatiCa Detail. 检索日期：2024年5月30日，来源： https://www.ideastatica.com/support-center/theoretical-background-for-idea-statica-detail
[3] EN 1992-1-1 Eurocode 2：混凝土结构设计——第一部分：一般规则及建筑规则。欧洲标准化委员会，2002年。
[4] Analysis of nodal stresses in Blévot and Frémy tests, R.G. Delalibera, J.C.G. Silva, J.S. Giongo, A.A.S. Silva, Holos ISSN 1807-1600, 2023
[5] 欧洲标准化委员会（CEN）。 EN 1992-1-1:2004：Eurocode 2 – 混凝土结构设计 – 第1-1部分：一般规则及建筑规则。2004年12月。 https://www.phd.eng.br/wp-content/uploads/2015/12/en.1992.1.1.2004.pdf.
[6] ABNT NBR 7480. 规范：混凝土结构钢筋用钢（ABNT，2007年）（葡萄牙语）。
[7] ABAQUS, Inc. ABAQUS User Subroutines Reference Manual, Version 6.6. 圣路易斯华盛顿大学，2006年。 https://classes.engineering.wustl.edu/2009/spring/mase5513/abaqus/docs/v6.6/books/usb/default.htm?startat=pt05ch18s05abm36.html.
[8] Massone, L. M.; et al. Shear-Flexure Interaction for Structural Walls, 2006. ResearchGate. https://www.researchgate.net/publication/284079633_Shear-flexure_interaction_for_structural_walls （检索日期：2006年1月1日）。