剪力

对于脆性破坏，剪力校核是钢筋混凝土截面的重要校核之一。

计算流程

剪力承载力的计算由几个基本部分组成。首先应分析被校核位置是否因弯曲而产生裂缝。若有裂缝，则按 EN 1992-1-1 [2] 第 6.2.2 (1) 条进行计算。否则，判断是否为素混凝土或配筋不足的混凝土，然后按 EN 1992-1-1 第 12.6.3 条进行计算。

对于未开裂的钢筋混凝土（无抗剪钢筋），按 EN 1992-1-1 第 6.2.2 (2) 条进行校核。对于需要配置抗剪钢筋的构件，按第 6.2.3 条 [2] 进行校核。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}$$

无抗剪钢筋构件的剪力承载力

弯曲开裂区构件的剪力承载力（第 6.2.2 (1) 条 [2]）

无抗剪钢筋的钢筋混凝土构件在弯矩作用下的剪力承载力由下式给出：

 $${{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d$$

该公式基于对大量简支梁在剪力破坏情况下的试验结果确定。由于上述承载力对于无纵向钢筋（r_l）的构件可能为零，因此针对配筋不足的构件推导了相应公式。由于上述承载力对于无纵向钢筋（r_l）的构件可能为零，对于配筋不足的构件，其承载力由下式确定：

$${{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d$$

考虑法向力影响的剪力承载力由下式确定：

$${{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d$$

与 EN 1992-1-1 第 6.2.2 (1) 条对应的完整剪力承载力表达式为：

$${{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d$$

最小值为：

$${{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d$$

其中  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c，

k          截面高度系数 

$$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0$$

ρ₁      纵向钢筋配筋率

$${{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02$$

f_ck        混凝土 28 天特征抗压圆柱体强度

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  v MPa

b_w        受拉区截面最小宽度

d          截面有效高度

υ_min      最小等效抗剪强度 υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

弯曲未开裂区构件的剪力承载力（第 6.2.2 (2) 条 [2]）

弯曲未开裂区构件的剪力承载力可由莫尔圆确定。将下式

$${{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}$$

代入 σ_x = σ_cp 和 τ_z = V_Rd,c S / (I b_w)，求解 V_Rd,c，得到与 EN 1992-1-1 第 6.2.2 (2) 条公式对应的表达式。

其中  

I           为截面惯性矩，

b_w        为形心轴处截面宽度，

S          为形心轴以上截面对形心轴的面积矩，

f_ctd        混凝土轴心抗拉强度设计值，单位 MPa，

 s_cp       由荷载和/或预应力引起的形心轴处混凝土压应力，

a_l         传递长度系数，通常取 1,0。

与上述内容相关，需要注意的是，在无弯曲裂缝的区域，承载力 V_Rd ,c 可能远高于按第 6.2.2 (1) 条 [2] 计算的开裂区承载力。下图清楚地表明，尽管剪力在其极值处（不产生裂缝）得到校核，但不一定能保证沿整个梁长均能传递。这是由于混凝土剪力承载力计算方法的变化所致。偏于安全，当然也可以在不会产生裂缝的位置按第 6.2.2 (1) 条 [2] 考虑剪力承载力。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}$$

对于按第 6.2.2 (2) 条 [2] 计算的 V_Rd, c ，还需注意，一般情况下应基于法向压应力区混凝土主拉应力最大的纤维处进行校核，而非截面形心处。在该点处需计算截面特性（S 和 b_W）。为确定程序 IDEA RCS 中的最大主应力 s₁，过形心沿合剪力方向作一条直线，将该直线划分为 20 个区段，并在该直线上标注若干特征点（截面多边形顶点、形心、中性轴）。在这些点处计算 S、b_w、σ_x、τ_yz 和 σ₁。在主拉应力最大点处计算剪力承载力。

在施加第 6.2.2 (6) 条要求的折减系数 b 之前，剪力还须满足附加条件：

$${{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}$$

其中 

 $${{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]$$  kde f_ck je v MPa

无钢筋或少筋构件的剪力承载力（第 12.6.3 条 [2]）

素混凝土或少筋混凝土的剪力承载力可由下式确定：

$${{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}$$

其中

τ_cp 代入：

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~$$

或

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~$$

上述公式中各分项值由下式给出：

$${{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}$$

其中  

f_cd,pl     素混凝土或少筋混凝土的抗压强度设计值，

f_ctd,pl    素混凝土或少筋混凝土的轴心抗拉强度设计值，

f_cvd       混凝土受压状态下的抗剪承载力设计值。

有抗剪钢筋构件的承载力（第 6.2.3 条 [2]）

有抗剪钢筋的钢筋混凝土构件承载力计算基于变角桁架类比法。该方法的基础是由压杆力（斜压杆）、抗剪钢筋力（箍筋）和纵向钢筋力所构成的三角形力平衡。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}$$

受剪截面在角度 θ 处产生裂缝，因此与剪力方向相同角度的混凝土斜压杆承受剪力。斜压杆的压力可表示为 V_ed/sinθ。该力须由垂直于压力斜杆的混凝土面积 b_wzcosθ 传递。压力斜杆中的混凝土压应力则等于：

$${{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)$$

代入 $${{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}$$  和 $${{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}$$ ，并求解 $${{V}_{Rd,max}}$$ ，得到斜压杆剪力承载力公式：

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)$$

为平衡压力斜杆中的竖向分力，采用抗剪钢筋。竖向力的大小基于对应单根箍筋的混凝土面积中的斜向压应力 \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]。箍筋极限力由 \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\] 给出。

代入 σ_c，与钢筋极限力比较，经整理后得：

$$\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta$$

将 V_ed 表示为 V_RDs，得到竖向抗剪钢筋截面的承载力：

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta$$

纵向剪力由纵向钢筋传递，可确定为 V_edcotgθ。上述公式的推导可参见 [4]。

使用程序 IDEA RCS 只能校核具有竖向抗剪钢筋的构件。一般情况下可使用以下公式：

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha$$

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)$$

其中  

A_sw      为抗剪钢筋的截面面积，

s           为箍筋间距，

f_ywd      为抗剪钢筋的屈服强度设计值，

b_w        为受拉弦杆与受压弦杆之间的最小宽度。计算承载力 V_Rd,max 时，若截面因预应力管道而削弱，截面宽度须折减为所谓的截面名义宽度：

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ 用于灌浆金属管道

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ 用于非灌浆金属管道           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa 或  pro f_ck > 60MPa，

α_cw       为考虑受压弦杆应力状态的系数。

表 1‑1 系数 α_cw 的确定

角度 θ 为混凝土压杆与垂直于剪力的梁轴之间的夹角。cotθ 的限值可在各国国家附录中查找。推荐限值由下式给出：

$$1~\le ~\cot \theta \le 2,5$$

角度 θ 的取值会影响承载力的大小。承载力之间的关系如图 1.15 所示。图中表明，随着角度 θ 的增大，承载力 V_Rd,max 增大，而承载力 V_Rd,s 减小。承载力 V_Rd,c 为常数，因为它基于桁架类比法确定。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}$$

剪力截面特性计算

计算剪力时，需计算影响剪力承载力的截面变量，主要包括抗剪截面宽度 b_w、有效高度 d 和内力臂 z。规范 [2] 给出了与实际弯曲应力直接相关的这些值。但当合弯矩方向（或更准确地说，截面承载力合力方向）与合剪力方向存在显著差异时，确定这些值较为困难。在此情况下，EC2 规范未提供任何建议。

抗剪截面宽度 b_w

IDEA RCS 程序计算垂直于合剪力方向的抗剪截面宽度。根据欧洲规范的相应条款，该宽度计算如下：
-  对于第 6.2.2 (a) 条和第 6.2.3 (1) 条，为垂直于合剪力方向上，混凝土受压合力与受拉钢筋之间的截面最小宽度；
-  对于第 6.2.2 (2) 条，为校核点处垂直于合剪力方向的截面宽度。

截面有效高度

有效高度通常定义为最大受压混凝土纤维到钢筋重心的距离。由于其与弯曲直接相关，该距离以垂直投影到平面应变重力线的方式给出。

该定义可进一步明确：以受拉钢筋合力位置代替受拉钢筋重心位置。在 IDEA RCS 程序开发过程中，解决了以下问题：当弯曲荷载平面与合剪力方向不一致时，如何定义截面有效高度。因此，有效高度定义为最大受压混凝土纤维到受拉钢筋合力（基于弯曲应力）在合剪力方向上的距离，见图 1.17。

当无法确定受压纤维或受拉钢筋合力时，将出现特殊情况。在此情况下，建议采用 0.9h（合剪力方向截面高度的 90%）。该值可由用户在 IDEA RCS 程序的规范变量设置中定义。

内力臂

内力臂在第 6.2.3 (3) 条 [2] 中定义为"受拉弦杆与受压弦杆之间的距离"。规范未规定当弯矩作用平面与合剪力方向不同时的处理方法。因此，与有效高度的情况类似，内力臂定义为合剪力方向上的距离。此处同样可能遇到类似的特殊情况，例如整个截面均受压等。在此情况下，取 0.9d（有效截面高度的 90%）。该值可由用户在 IDEA RCS 程序的规范变量设置中设定。

弯曲平面倾角与合剪力之间的关系在图 1.18 和图 1.19 中清晰可见。随着倾角的增大，有效高度、内力臂及相关承载力均减小。极限状态为 90°。在此倾角下，内力臂无法计算，因此内力臂等于零。在此情况下，采用规范变量设置中指定的值，由此在图表末端出现跳跃。本研究表明，建议的最大倾角约为 20°。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}$$

作为 RCS 软件测试的一部分，开展了一项关于剪力承载力随法向力变化的依赖性研究。承载力 V_Rd,max 仅受系数 α_cw 影响，见图 1.20。图 1.21 显示承载力 V_Rds 为常数。对于承载力 V_Rdc，法向力增大会导致其减小。图 1.21 中的蓝色曲线为忽略裂缝影响时的承载力 V_Rdc，按第 6.2.2 (1) 条 [2] 公式计算。压力与拉力过渡处的跳跃由受拉钢筋的贡献引起。红色曲线按第 6.2.2 (2) 条 [2] 公式计算。第一条裂缝出现后，依赖性曲线与第 6.2.2 (1) 条 [2] 的结果相同。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}$$