集中荷载作用下连续基础在不同土体刚度影响下的分析

本研究探讨了集中荷载作用下连续基础的结构响应，该基础置于弹性地基上。分析旨在验证梁的抗弯刚度（基础抗弯刚度）与地基刚度（土体模量）之间的相互作用，两者共同决定了基础沿长度方向的变形分布、弯矩及剪力分布。

解析模型采用Winkler型地基上的欧拉-伯努利梁理论，假设无限长梁承受单一集中荷载。该方法可直接比较不同基础与地基刚度比下的变形形态及内力梯度。

以下讨论四种可能的组合：

1. 低梁抗弯刚度 + 低地基刚度 
2. 高梁抗弯刚度 + 低地基刚度（下一篇验证文章）
3. 低梁抗弯刚度 + 高地基刚度 
4. 高梁抗弯刚度 + 高地基刚度（下一篇验证文章）

为进行本次验证，选取低抗弯刚度的连续基础进行数值模型研究。

图1展示了四种基础系统组合。 

01) 多柱连续条形基础（应用案例）

材料模型

材料性能及参数依据EN 1992-1-1 [1]采用。已指定混凝土等级C30/37的设计值属性及相应带硬化的钢筋 B500B（图2）。

02) 材料模型

弹性地基上的无限欧拉-伯努利梁描述了一根长梁（理论上为无限长）在弹性介质（如土体或垫层）连续支承下的受力行为。Winkler 模型假设地基反力与局部挠度成正比，类似于一组独立弹簧床。控制微分方程 EIyw(z)^(4) + kw(z) = q(x) 平衡了抗弯刚度 EI 与地基刚度 k 在荷载 q(x)（此处代表局部集中力）作用下的关系。关键参数为特征长度 L = (EI/k)^1/4，用于描述变形的扩散范围。在集中荷载作用下，挠度沿梁传播时呈指数衰减并略有振荡。该解法可预测挠度、转角、弯矩和剪力，对于设计基础、路面、轨道或搁置在弹性支承上的管道至关重要。

模型建立

03) 弹性地基上的无限梁 

低刚度土（LSS）的求解

低梁抗弯刚度 + 低土体刚度

• 适用于：

  • 较好的能量耗散
  • 冲切破坏风险适中
• 注意事项：

  • 过大变形
  • 对不均匀沉降敏感

04) 线性梁模型：变形、反力、弯矩、剪力 

高梁抗弯刚度 + 低土体刚度

• 适用于：

  • 整体刚度提高。
• 注意事项：

  • 高弯曲应力导致开裂风险。
  • 对不均匀土体的适应性有限。

05) 线性梁模型：变形、反力、弯矩、剪力 

图 06 展示了地基反力模量为 16,000 kN/m³ 的相对低刚度土与不同条形基础高度下的受力行为。

06) 相对低刚度土与不同梁刚度的相互作用（闭合解）

高刚度土（HSS）的求解

低梁抗弯刚度 + 高土体刚度

• 适用于：

  • 向刚性土体的高效应力传递
  • 弯矩需求较低
• 注意事项：

  • 局部剪力较大
  • 冲切破坏风险最为显著

07) 线性梁模型：变形、反力、弯矩、剪力 

高梁抗弯刚度 + 高土体刚度

• 适用于：

  • 系统稳定，挠度极小
  • 线性响应可预测
• 注意事项：

  • 施工成本较高

08) 线性梁模型：变形、反力、弯矩、剪力 

09) 高刚度土与不同梁刚度的相互作用（闭合解）

低/高刚度土下梁的响应

10) 低刚度土与高刚度土在不同梁刚度下的相互作用 

结构工程师在当前模型中最常采用的解决方案是结合适用规范合规性校核的梁模型。各复杂度级别的测试模型设置保持一致，模型包括：截面尺寸为 500 x 500 mm、长度为 1,000 mm 的方形截面柱，单位宽度为 1,000 mm、长度为 6,000 mm 的条形基础。条形基础的高度为可变参数。本次验证中，采用高度为 250 mm。

条形基础底面由仅受压弹簧支承，地基刚度分别取低刚度 16,000 kN/m³ 或高刚度 128,000 kN/m³。条形基础左右两端施加对称边界条件约束。 

需要特别指出的是，所有模型均为设计模型。在模拟和规范校核验证中，已对材料分项系数进行了应用。

11) 尺寸与分析模型

线性梁模型 – 低刚度地基（LSS）

对梁模型完成模拟后，可采用标准规范校核。设计钢筋满足 EN 1992-1-1 [1] 规定的最小构造要求，纵向钢筋和箍筋均采用最小配筋率。模拟采用弹性模量 10 GPa，代表所选混凝土材料的割线模量。由于结构具有超静定特性，弹性模量会影响内力的重分布。 

12) 线性梁模型 – 通过承载能力极限状态校核的极限荷载

柱正下方的弯矩在柱轴力为 -245 kN 时达到极限值 60.1 kNm。第二个关键点位于最大剪力区域，剪力 -86.4 kN 与对应弯矩 44.8 kNm 的相互作用形成相关性校核，承载比为 96.6%，仍在可接受范围内。结构最不利位置位于柱正下方，破坏模式为混凝土受压破坏及纵向钢筋受拉破坏。抗剪承载力表明，对本工况而言剪力不起控制作用。

13) 线性梁模型 – 低刚度地基的规范校核

线性梁模型 – 高刚度地基（HSS）

本工况中的高刚度地基为密实砂土，地基反力模量为 128,000 kN/m³，显著改变了结构的受力行为。荷载集中于柱区域正下方，接触区域呈现较高的接触应力梯度和量值。柱的极限承载力为 -540 kN，与低刚度地基相比提高了 2.2 倍。剪力分布更为陡峭，弯矩更为集中，使结构更易发生冲切破坏。

14) 线性梁模型 – 通过承载能力极限状态校核的极限荷载

集中于柱下方的最大弯矩为 60.7 kNm，由截面受弯最大承载能力控制。极端剪力偏移至柱区域附近，达到 -132 kN，对应弯矩为 38.1 kNm。在相关性规范校核中，混凝土压杆的 θ 角已从 21.5° 调整为 23°。欧洲规范允许在 21.5° 至 45° 范围内调整压杆角度。经观察，21.5° 的角度会导致承载能力超限，主要原因在于弯矩的影响。通过利用规范要求所允许的变化范围，采用替代压杆角度成功解决了校核不通过的问题。

关键破坏模式为混凝土受压破坏及纵向钢筋受拉破坏。 

15) 线性梁模型 – 高刚度地基的规范校核

假设与模型建立

非线性求解所采用的理论称为CSFM（协调应力场法），详见理论背景[2]。

模型假设与属性： 

• 材料非线性分析（MNA）
• 平面应力模型。 
• 仅受压线支座（低刚度/高刚度）。
• 对称约束设置在条形基础的左右两侧边缘。
• 在柱顶设置100 mm厚板，以减小集中力荷载作用下的局部应力集中。
• 混凝土C30/37和钢筋B500B的所有材料属性均按EN 1992-1-1 [1]规定的分项系数取设计值。 
• 网格系数为1——最短边上至少划分四个单元。

16) 二维模型及钢筋布置

2D CSFM – 低刚度地基（LSS）

能够覆盖各破坏模式的最大施加力已达到 -1,340 kN。竖向力产生的接触应力为0.59 MPa。接触应力的变化趋势表现出拉力方向的非线性，这归因于对称约束附近左右两侧区域的隆起。破坏模式发生在柱边与基础接触面之间的压碎，同时伴随纵向钢筋的拉断破坏。

17) 最大施加力、接触应力及破坏模式

18) 压力主应力、压力塑性应变及钢筋应力

箍筋应力最大值达到201 MPa，由此可判断该应力水平远低于承载比极限。在此情况下，剪力破坏模式不构成威胁。 

19) 非线性挠度、箍筋应力及纵筋破坏模式详细分析

2D CSFM – 高刚度地基（HSS）

所有控制性破坏机制均能被抵抗的最大荷载为–2,652 kN。相应的竖向反力在基础与地基接触面处产生的接触应力为1.99 MPa。接触应力的发展呈现明显的拉力非线性，这源于基础边缘的隆起。接触丧失主要发生在模型的左右两端。

主要破坏机制为柱边与基础受荷面之间的压碎。与此同时，基础内底层纵向钢筋发生拉断破坏。

20) 最大施加力、接触应力及破坏模式

21) 压力主应力、压力塑性应变及钢筋应力

非线性挠度表明，与LSS工况相比，在较高荷载下位移明显更小。应力主要集中在柱下区域，箍筋承载比较低，约为186 MPa。然而，模型在条形基础底面表现出局部软化的迹象，这是由于钢筋中存在较高的拉力所致。

22) 非线性挠度、箍筋应力及局部压力软化

非线性求解中使用的理论称为3D CSFM（协调应力场法），在理论背景 [3]中有详细介绍。 所有设计计算程序的假设均在其中详细说明。

模型的假设与属性： 

• 材料非线性分析（MNA）
• 三维求解 – 体积单元。
• Mohr-Coulomb塑性理论 - 混凝土行为的内摩擦角为零。
• 仅受压面支撑（低/高刚度）。
• 对称约束设置在条形基础的左右边缘。
• 柱顶设置100 mm厚板，以减小集中力荷载作用下的局部应力集中。
• 考虑粘结模型和拉力刚化。
• 应力三轴性和围压效应。
• 压力软化不在已实现求解方案的范围内。
• 网格系数1 - 推荐的计算设置。

23) 三维模型 + 钢筋布置

3D CSFM – 低刚度地基（LSS）

由于破坏模式涉及柱周围区域纵向钢筋的受拉断裂，模型中确定的最大轴力达到 -980 kN。横向压力由箍筋约束，柱区域内的箍筋在屈服时被利用，并导致由横向拉应力发展引起的水平箍筋肢的附加破坏模式，该破坏模式无法在平面应力求解中捕捉。在柱与基础的交界区域发生过压和混凝土压碎。围压效应局限于该区域，基于钢筋效应和条形基础的刚度。破坏机制包括混凝土压碎、纵向钢筋受拉断裂以及箍筋水平肢受拉。

24) 最大施加力、破坏模式及横向应力分布

25) 最小主应力 Sigma 3，围压效应 – 三轴应力与单轴应力之比

26) 压缩塑性应变及钢筋应力

27) 纵筋和箍筋关键应力的详细检测 

28) 非线性挠度

3D CSFM – 高刚度地基（HSS）

条形基础承受的力达到 -2,116 kN，比LSS工况的承载力高约215%。破坏模式包括混凝土压碎、纵向钢筋受拉断裂以及箍筋水平肢受拉。

29) 最大施加力、破坏模式及横向应力分布

30) 最小主应力 Sigma 3，围压效应 – 三轴应力与单轴应力之比

31) 混凝土压缩塑性应变及钢筋应力

内部封闭箍筋所承受的最大剪应力达到298 MPa，仍在材料定义的弹性范围内。该观察结果表明，冲切破坏并非此特定情况下的主要破坏模式。

32) 纵筋和箍筋关键应力的详细检测 

33) 非线性挠度 

非线性求解中使用的理论称为CDP，详见理论背景 [4]。 该材料模型是ABAQUS混凝土仿真库的一部分。

当模型达到最大承载能力后，随即过渡到塑性状态和后临界状态（如荷载-变形曲线所示），仿真随之终止。本案例未设置预定义停止准则，与CSFM（协调应力场法）相同。

 模型假设与属性： 

• 将各向同性损伤弹性与各向同性拉压塑性相结合，以描述混凝土的非弹性行为。
• 适用于混凝土在低围压条件下承受单调、循环和/或动力荷载的工况。
• 将非关联多硬化塑性与标量（各向同性）损伤弹性相结合，以准确描述断裂过程中发生的不可逆损伤。
• 在独立建模的钢筋完全粘结假设下，采用压力软化和拉力刚化。 
• 节点总数：46,003
• 单元总数：37,892

  • 27,600个线性六面体单元C3D8——完全积分，开启单元删除
  • 10,192个线性线单元T3D2
  • 网格尺寸——混凝土及钢筋处为50 mm
• 仅受压约束层（模拟土体与混凝土条形基础之间的接触）提供接触状态和接触应力信息。
• 厚度10 mm、弹性模量1,000 MPa的薄层，用于模拟土压力结果输出的中间层。

34) 模型 + 钢筋、网格

混凝土损伤塑性的材料模型

该材料模型在受压时，超过20 MPa后表现出软化；在受拉时，抗拉强度取0.2 MPa，近似模拟零抗拉强度。若取精确零值，模型将发散。 

35) 混凝土受压、受拉及钢筋的材料模型

混凝土损伤塑性 - 低刚度土（LSS）（GMNA）

施加于模型的极限荷载为-2,029 kN。观测到的最小（压）应变为-0.04，位于柱与基础的交界处。相反，最大（拉）应变位于基础底面，数值为0.105。过大的压应变被判定为主要破坏机制，其特征为混凝土压碎。

36) 最大施加荷载，最小主应力

37) 最小塑性应变，最大塑性应变

38) 受拉损伤，受压损伤

关于钢筋承载能力，分析在钢筋塑性应变达到6%时终止，对应Von-Mises应力为439 MPa。纵向钢筋、横向水平箍筋及箍筋的剪力肢均处于图表的硬化塑性分支。纵向钢筋与剪切钢筋同时发生破坏。这种相互作用导致复合破坏机制：纵向钢筋发生弯曲，箍筋因横向弯曲而承受拉力，而混凝土中承受剪力的箍筋竖向肢则发生轴向拉断。

39) 钢筋应力

40) 非线性挠度

41) 接触面积与接触应力

混凝土损伤塑性 – 高刚度土（HSS）（GMNA）

施加于模型的极限荷载记录为-4,181 kN。观测到的最小（压）应变为-0.0175，与LSS记录值相比约减少56%。值得注意的是，该应变的位置发生了变化，从柱与基础的交界面转移至基础底面。这一转变主要归因于竖向应力的主导作用，导致峰值应变位置发生偏移。同时，最大（拉）应变出现在基础底面，数值为0.0451。

应变值的减小可归因于土体刚度增大、围压效应以及相对于LSS变形减小。此外，混凝土内的围压应力达到-166 MPa。围压应变突显了混凝土的后临界行为，包括压力软化和混凝土压碎。

42) 最大施加荷载，最小主应力

43) 最小塑性应变，最大塑性应变

44) 受拉损伤，受压损伤

应力集中主要位于柱底区域，导致较高的接触应力3.41 MPa和显著的剪力梯度。这一状况增加了冲切破坏的可能性。纵向钢筋和箍筋在承受塑性行为方面发挥关键作用。局部应力在条形基础上柱底区域附近引发屈服。基础在两个方向弯曲产生的钢筋拉力，与箍筋竖向肢承担的剪力牵引力相结合，共同促成了塑性的显现。主要破坏模式表现为沿钢筋方向的拉伸应力破坏。

45) 钢筋应力

46) 非线性挠度

47) 接触面积与接触应力

通过在相同荷载水平下检验各现象，可以清楚地看出该模型表现出相同的行为。将对 3D CSFM（协调应力场法）与 CDP 模型的最大承载能力进行比较。

低刚度土（LSS）

3D CSFM（协调应力场法）模型的最大承载能力已达到作用于柱上的轴力 -980 kN。该力已被用作比较的基准水平。 

如所观察到的，最小主应力在各输出步骤之间有所变化。这种差异源于压力下应力的非线性演变，该演变取决于材料的本构行为。由于柱与基础之间界面处的三轴效应，主应力水平高于单轴压力下的水平。

在 3D CSFM（协调应力场法）模型中，偏应力保持恒定。偏应力对平均应力水平不敏感，与 Tresca 理论相同。相反，CDP 模型采用 30° 的剪胀角，在压力下产生体积膨胀，并导致偏应力沿应力路径演变，尤其是在较高三轴度下。CDP 中 −94.6 MPa 的峰值压应力对应于与应力路径中尖角相关的局部最大值，反映了三轴度和剪胀性的综合效应。

48) 荷载水平 -980 kN 下的最小主应力

3D CSFM（协调应力场法）与 CDP 在关键位置处的应力差异。 

• CDP 沿柱边侧面约为 -70 MPa
• 3D CSFM（协调应力场法）沿侧面为 -60 MPa

49) CDP 沿边缘的详细过滤应力

钢筋中观察到的应力变化已被量化：受拉钢筋约为 8%，受压钢筋约为 28%。压力下应力降低及 28% 的差异可归因于 CDP 模型中用于压力和剪胀角的混凝土材料模型，以及排除了钢筋与混凝土之间的粘结相互作用（完全粘结）。3D CSFM（协调应力场法）表现出趋于保守结果的倾向，表明受压和受拉的应力水平均较高。

50) 相同荷载水平下钢筋中的应力 

变形水平吻合度为 93%。 

51) 相同荷载水平下的总变形

高刚度土（HSS）

3D CSFM（协调应力场法）模型的最大承载能力已达到作用于柱上的荷载力 -2,073 kN。该力已被用作比较的基准水平。 

CDP 模型的最小主应力在峰值处达到 −127 MPa。这一较大的压应力值主要是偏应力水平升高与压力下强剪胀性（高剪胀角）共同作用的结果，驱使应力路径向更大的压主应力方向发展。与 LSS 工况相比，施加荷载增加了约 211%，这解释了 CDP 模型中较高的主压应力。

在 3D CSFM（协调应力场法）的情况下，最小主应力达到约 −60 MPa（≈3 倍单轴抗压强度），即比 CDP 中的压力低得多。如果平均（静水）应力进一步升高，模型之间的应力差异将进一步增大。

52) 荷载水平 -2070 kN 下的最小主应力

沿边缘的过滤应力分布（经改进可视化和适当缩放图例）表明，CDP 模型的最大压应力约为 −70 MPa，而 3D CSFM（协调应力场法）模型约为 −60 MPa。

53) CDP 沿边缘的详细过滤应力

钢筋中观察到的应力变化已被量化：受拉钢筋约为 8%。受拉关键点已在底部纵向钢筋的精确位置处确定。

54) 相同荷载水平下钢筋中的应力

变形水平的吻合度为 85%。  

55) 相同荷载水平下的总变形

本验证研究对弹性地基上无限梁的解析解、标准梁解及按 EN 规范进行的规范校核，以及采用 CSFM（协调应力场法）在二维/三维和 CDP 在三维中进行的复杂非线性模拟，进行了全面的对比分析。研究结果一致表明，在确定承受集中荷载的连续基础的结构行为时，模型与地基刚度之间的相互作用至关重要。

结果概述：

结果表明，CSFM（协调应力场法）在解析方法与常规方法之间，以及高级数值解之间占据独特的位置。标准方法往往给出过于保守的结果，这可归因于对集中荷载作用区域采用了不适当的分析方法——这些区域很可能是不连续区域，梁解的假设不再适用，应以拉压杆方法替代。

相反，塑性模型中观察到的较高承载力，是由于缺乏终止模拟的内部判据（而 CSFM（协调应力场法）方法中已实现此类判据）。影响结果差异的关键因素包括：几何非线性、30 度的剪胀角、混凝土受拉的微小贡献，以及 CDP 中采用的完全粘结假设。 CSFM（协调应力场法）支持材料非线性，考虑钢筋与混凝土之间的粘结，且受拉强度为零。这些效应显然导致比 CDP 更为保守的结果。 

另一个值得注意的方面是，当前模型对地基刚度高度敏感，极小的变形增量即可导致可传递荷载发生显著变化。

总体而言，地基接触应力通常符合标准建议。本试验中，松散砂土的最大设计接触应力为 200 kPa，密实砂土为 500 kPa。模拟计算所得应力范围为 0.59–1.56 MPa（松散砂土）和 1.99–3.41 MPa（密实砂土），超出了标准限值；但这与本研究的目的无关。

CSFM（协调应力场法）在 CDP 等先进数值模型与规范中集成的梁理论模型之间提供了均衡的折中方案。值得注意的是，其优势超越了常规解法。

56) 结果汇总

57) 按 LSS 和 HSS 分类的结果图形表示

关键要点

线性梁模型（EN 1992-1-1 规范校核）

• 较高的地基刚度显著提升了模型的承载力。地基反力系数为 128,000 kN/m³ 时与 16,000 kN/m³ 相比，施加荷载量增大了 2.2 倍。
• 破坏模式发生在混凝土柱正下方的弯曲区域，该处混凝土在与柱的交界面处受压，同时纵向钢筋底层受拉。 

二维 CSFM（协调应力场法）解

• 该模型准确预测了与梁解相同的破坏模式。此外，与梁解相比，LSS 和 HSS 的承载力均得到显著提升。这一结论表明，与采用二维 CSFM（协调应力场法）的材料非线性解相比，梁理论明显偏于保守。
• 集中荷载区域被识别为不连续区域，因此在本情况下，由于方法过于保守，梁理论不适用于此解。

三维 CSFM（协调应力场法）解

• 能够捕捉约束效应、三轴应力效应及横向钢筋的参与——这些均无法在二维中实现。
• 破坏模式与二维平面应力解一致。由于横向方向的行为，出现了额外的破坏模式——箍筋加载至屈服点，但此加载仅限于水平底部分支。
• 证实了即使在较高地基刚度下，只要配置了足够的钢筋，冲切剪力不一定是控制破坏模式。

三维 CDP 解

• 提供完整的混凝土体积行为，包括压力软化、拉力刚化和渐进损伤。
• 几何非线性效应是承载力较高的主要原因，也是各模型之间差异的主要来源。

研究的工程启示

• 钢筋布置取决于地基刚度。即使配筋量较大的基础，也可能因地基引起的应力集中而过早破坏。
• 线性梁模型适用于初步设计，但在发生压力软化、隆起或约束效应时，不足以捕捉真实行为。
• 非线性模型能够提供对破坏机制的重要认识，尤其是在接近承载极限设计或验证关键细节时。
• 三维效应不可忽视。横向钢筋和约束效应对强度、延性和荷载重分布有显著影响。
• 冲切剪力并非自动控制破坏。许多基础因纵向钢筋的弯曲与受拉共同作用而达到破坏——即使在较高地基刚度下亦然。

对 IDEA StatiCa 用户的建议

 二维 CSFM（协调应力场法）解

• 提供清晰且具有物理意义的破坏模式。
• 适用于对简单条形基础或墙-基础方案进行快速而准确的验证。
• 由于计算成本低，非常适合比较不同地基刚度方案。

三维 CSFM（协调应力场法）解

• 在表现三轴应力、约束效应、横向钢筋作用和局部压碎方面具有很强的能力。
• 使工程师能够理解柱-基础节点等复杂细节的真实空间行为。
• 对各方向箍筋和钢筋肢的贡献提供切实的评估。

三维 CDP 解

• 提供材料软化、损伤演化和破坏机制最为全面的表征。
• 适用于研究、高级验证和事故分析。
• 能够捕捉渐进破坏和荷载重分布，提供规范公式无法获得的认识。

实践的最终建议

以下是本人基于实际研究的个人观察与建议。

• 在早期尺寸确定和规范校核验证阶段，使用线性梁模型。
• 当隆起、非线性受拉行为或土-结构相互作用效应至关重要时，使用二维 CSFM（协调应力场法）。
• 在评估复杂应力场、约束效应或横向钢筋影响时，使用三维 CSFM（协调应力场法）。
• 在对极限状态进行全面验证时，尤其是预期存在材料退化或类冲切机制时，使用三维 CDP。
• 始终将地基刚度与结构刚度并行评估，本研究证实这是一个决定性参数。
• 对于安全关键构件，优先采用非线性分析以补充规范校核。

参考文献

[1] EN 1992-1-1:2004+A1:2014 – Eurocode 2：混凝土结构设计——第 1-1 部分：一般规则及建筑规则。
欧洲标准化委员会（CEN），布鲁塞尔，2014

[2] IDEA StatiCa，"IDEA StatiCa Detail 理论背景——混凝土不连续区域的结构设计，" IDEA StatiCa 支持中心。[在线]。可访问：https://www.ideastatica.com/support-center/theoretical-background-for-idea-statica-detail 

[3] IDEA StatiCa，"IDEA StatiCa Detail——混凝土三维不连续区域的结构设计，"IDEA StatiCa 支持中心。[在线]。可访问：https://www.ideastatica.com/support-center/idea-statica-detail-structural-design-of-concrete-3d-discontinuities

[4] Dassault Systèmes，"ABAQUS 6.6 版文档——理论手册，"[在线]。可访问：https://classes.engineering.wustl.edu/2009/spring/mase5513/abaqus/docs/v6.6/books/usb/default.htm?startat=pt05ch18s05abm36.html