IDEA StatiCa RCS – 一维混凝土构件的结构设计

截面承载力校核方法

可采用两种常用方法对一维混凝土构件进行承载能力极限状态校核。第一种方法以相关区域或相关图（单向弯矩情况下）的形式给出截面极限承载力。截面承载力可确定为实际内力与极限状态内力之比。第二种方法是求解截面平衡，即寻找受荷截面的实际受力状态、材料的应力利用情况以及截面薄弱环节。

承载能力极限状态的一般设计假定与计算假定

1. 钢筋和混凝土中的应变 ε 假定与距中性轴的距离成正比（平截面假定）。
2. 钢筋与混凝土之间的协同工作通过无滑移的粘结来保证（钢筋应变 ε 与相邻混凝土纤维的应变相同）。
3. 忽略混凝土的抗拉强度（所有拉应力均由钢筋承担）。
4. 受压区混凝土压应力根据应力-应变图所计算的应变确定。
5. 钢筋应力根据应力-应变图所计算的应变确定。
6. 混凝土受压极限应变限值 ε_cu2（混凝土受压抛物线-矩形应力-应变图）和 ε_cu3 （双线性应力-应变关系），[2]。
7. 当塑性段为水平段时，钢筋受压应变不受限制；当塑性段为斜线段时，应变限值为 ε_ud，[2]。
8. 当至少一种材料的状态超过极限应变时，即认为达到极限状态（若 εu 不受限制，则以受压混凝土为控制条件）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}$$

相关图

第一种方法是通过相关曲面（或相关图）对截面进行校核。以下图中配筋方形截面的相关曲面为例进行说明。相关曲面上的各点定义了所研究截面的承载能力极限状态。相关曲面由点 (N, My, Mz) 绘制而成，这些点通过对截面中已达到某一材料极限应变时的应力进行积分确定。对于三维相关曲面，可由二维相关图推导得出，二维相关图为一条封闭曲线，对应于中性轴不断旋转时的应力状态。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}$$

对于关于 y 轴对称的截面，相关图关于 N-M_y 平面对称。同理，对于关于 z 轴对称的截面，相关图关于 N-M_z 平面对称。单侧配筋截面的相关图呈扁平形状。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}$$

定义承载能力极限状态的各点由应力积分得到。下图显示了承载能力极限状态下的应变分布。

承载能力极限状态下的应变分布（摘自 [2]）。

相关图显示截面在轴力和弯矩作用下的破坏情况。[1]

针对二维图问题（位于相关曲面上的封闭曲线），可以发现应变平面过中性轴和临界点 [y, z, ε]，该点被视为临界点 R。点 [y, z] 定义了截面中某点的位置，ε 为该点在承载能力极限状态下的应变值。对于二维图上的所有点，中性轴倾角保持不变。

当混凝土受压应力为设计控制条件时，点 R 对应最远受压混凝土纤维或限制点 C。但此条件仅适用于截面由单一混凝土材料组成的情况，不适用于混合截面。

当钢筋拉应力为设计控制条件时（承载能力极限状态下一根或多根钢筋的应变超过 ε_ud），必须满足以下条件：对于给定的应变平面，其他任何钢筋的应变均不超过 ε_ud。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}$$

上图表明，相关图可分为两部分：由拉力引起破坏的部分和由压力引起破坏的部分。极限点对应于上述情况，其中也可以看到应变平面的极端倾角。在绘制相关图时，截面的平面应变倾角在此区间内变化，同时寻找点 R（见上文）。基于所确定的应变平面，进行积分以获得承载能力极限状态下的应力。

截面在轴力和弯矩共同作用下的校核

截面在轴力和弯矩共同作用下的校核，在于验证所校核的应力组合 (N_d, M_yd, M_zd) 位于相关曲面内部或其上。可采用不同方法实现。以下示例演示了矩形截面在 N_d = -500 kN、M_yd = 120 kNm、M_zd = 100 kNm 作用下的校核过程。

NuMuMu 方法

为确定截面承载力，假定所有内力分量按比例变化（轴力偏心距保持不变），直至形成相关曲面。内力的变化可理解为沿连接坐标原点 (0,0,0) 与内力点 (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) 的直线移动。该直线与相关曲面的两个交点代表承载能力极限状态下的两组内力。在每个交点处，程序确定极限状态下的三个力：轴力设计承载力 N_Rd 及相应的抗弯承载力设计值 M_Rdy、M_Rdz。

NuMM 方法

为确定截面承载力，假定轴力保持不变（等于作用的设计轴力），弯矩按比例变化，直至形成相关曲面。内力的变化可理解为在水平面内沿连接点 (N_Ed,0,0) 与作用内力点 (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) 的直线移动。该直线与相关曲面的两个交点代表承载能力极限状态下的两组内力。在每个交点处，程序确定极限状态下的三个力：抗弯承载力设计值 M_Rdy、M_Rdz 及（相应的）作用设计轴力 N_Ed。

NMuMu 方法

为确定截面承载力，假定轴力保持不变（等于作用的设计轴力），弯矩按比例变化，直至形成相关曲面。内力的变化可理解为在水平面内沿连接点 (N_Ed,0,0) 与作用内力点 (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) 的直线移动。该直线与相关曲面的两个交点代表承载能力极限状态下的两组内力。在每个交点处，程序确定极限状态下的三个力：抗弯承载力设计值 M_Rdy、M_Rdz, 及（相应的）作用设计轴力 N_Ed。

求解截面响应

另一种截面校核方法是求解截面响应（即由作用内力引起的应变和应力分布）。该方法也称为极限变形法。根据材料应力-应变图中对应的应变，计算每根纤维（平面弯曲情况下为每层）及每根钢筋中的实际应力水平。
截面响应的求解采用文献 [6] 中规定的数值方法。其原理是通过逐步施加未传递力的不平衡分量来对截面进行荷载增量计算。未传递力通过利用应力-应变图对截面上的应力进行积分得到。若在应力-应变图中能根据应变找到对应的应力值（见下图 (a)），则假定线弹性材料时计算所得应力是正确的。在情况 (b) 和 (c) 中，线性计算所得应力达到不合实际的数值，部分 (b) 或全部 (c) 应力无法由材料传递。对未传递应力进行积分可得未传递内力，其合力应叠加到可变荷载的内力中。

应力-应变图中的未传递应力。[4]

未传递内力。[4]

该计算方法需要采用数值方法对截面面积上的应力进行积分，并对截面平衡方程进行非线性分析。当满足收敛准则时，迭代终止。

$$\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}$$

其中

F_e 为截面荷载，

F_i 为截面响应（根据应变平面计算所得内力）。

若 a 为近似值，b 为精确值（真实值），则绝对偏差由下式给出。

$$e = \left| {b - a} \right|$$

相对偏差由下式给出：

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|$$

在大多数程序中，可设置这些收敛准则（默认值为：相对误差 1%，轴力绝对误差 100 N，弯矩绝对误差 100 Nm）。

因此，若输入为 N = 0 kN、My = 100 kNm、Mz = 0 kNm，迭代后积分内力为 N = -0.07 kN、My = 100.5 kNm、Mz = 0.02 kNm，则评估如下。考虑到 N 和 Mz 均等于 0，可采用绝对偏差进行比较：

轴力值 100N > | 70 | N
弯矩 Mz 值 100Nm > | 20 | Nm
弯矩 My 值

$$d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01$$

基于响应的截面校核

在求解截面平衡的情况下，平面应变是已知的。由平面应变可计算截面任意位置的应变，进而利用材料的应力-应变图计算钢筋、截面或其各部分的应力或内力。将计算所得的应力和应变值与所用材料应力-应变图中的极限应变值进行比较。
该方法的优点在于，能够完整呈现截面在作用内力下的应力和应变分布状态。

对于脆性破坏，剪力校核是钢筋混凝土截面的重要校核之一。

计算流程

剪力承载力的计算由几个基本部分组成。首先应分析被校核位置是否因弯曲而产生裂缝。若有裂缝，则按 EN 1992-1-1 [2] 第 6.2.2 (1) 条进行计算。否则，判断是否为素混凝土或配筋不足的混凝土，然后按 EN 1992-1-1 第 12.6.3 条进行计算。

对于未开裂的钢筋混凝土（无抗剪钢筋），按 EN 1992-1-1 第 6.2.2 (2) 条进行校核。对于需要配置抗剪钢筋的构件，按第 6.2.3 条 [2] 进行校核。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}$$

无抗剪钢筋构件的剪力承载力

弯曲开裂区构件的剪力承载力（第 6.2.2 (1) 条 [2]）

无抗剪钢筋的钢筋混凝土构件在弯矩作用下的剪力承载力由下式给出：

 $${{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d$$

该公式基于对大量简支梁在剪力破坏情况下的试验结果确定。由于上述承载力对于无纵向钢筋（r_l）的构件可能为零，因此针对配筋不足的构件推导了相应公式。由于上述承载力对于无纵向钢筋（r_l）的构件可能为零，对于配筋不足的构件，其承载力由下式确定：

$${{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d$$

考虑法向力影响的剪力承载力由下式确定：

$${{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d$$

与 EN 1992-1-1 第 6.2.2 (1) 条对应的完整剪力承载力表达式为：

$${{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d$$

最小值为：

$${{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d$$

其中  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c，

k          截面高度系数 

$$k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0$$

ρ₁      纵向钢筋配筋率

$${{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02$$

f_ck        混凝土 28 天特征抗压圆柱体强度

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  v MPa

b_w        受拉区截面最小宽度

d          截面有效高度

υ_min      最小等效抗剪强度 υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

弯曲未开裂区构件的剪力承载力（第 6.2.2 (2) 条 [2]）

弯曲未开裂区构件的剪力承载力可由莫尔圆确定。将下式

$${{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}$$

代入 σ_x = σ_cp 和 τ_z = V_Rd,c S / (I b_w)，求解 V_Rd,c，得到与 EN 1992-1-1 第 6.2.2 (2) 条公式对应的表达式。

其中  

I           为截面惯性矩，

b_w        为形心轴处截面宽度，

S          为形心轴以上截面对形心轴的面积矩，

f_ctd        混凝土轴心抗拉强度设计值，单位 MPa，

 s_cp       由荷载和/或预应力引起的形心轴处混凝土压应力，

a_l         传递长度系数，通常取 1,0。

与上述内容相关，需要注意的是，在无弯曲裂缝的区域，承载力 V_Rd ,c 可能远高于按第 6.2.2 (1) 条 [2] 计算的开裂区承载力。下图清楚地表明，尽管剪力在其极值处（不产生裂缝）得到校核，但不一定能保证沿整个梁长均能传递。这是由于混凝土剪力承载力计算方法的变化所致。偏于安全，当然也可以在不会产生裂缝的位置按第 6.2.2 (1) 条 [2] 考虑剪力承载力。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}$$

对于按第 6.2.2 (2) 条 [2] 计算的 V_Rd, c ，还需注意，一般情况下应基于法向压应力区混凝土主拉应力最大的纤维处进行校核，而非截面形心处。在该点处需计算截面特性（S 和 b_W）。为确定程序 IDEA RCS 中的最大主应力 s₁，过形心沿合剪力方向作一条直线，将该直线划分为 20 个区段，并在该直线上标注若干特征点（截面多边形顶点、形心、中性轴）。在这些点处计算 S、b_w、σ_x、τ_yz 和 σ₁。在主拉应力最大点处计算剪力承载力。

在施加第 6.2.2 (6) 条要求的折减系数 b 之前，剪力还须满足附加条件：

$${{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}$$

其中 

 $${{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]$$  kde f_ck je v MPa

无钢筋或少筋构件的剪力承载力（第 12.6.3 条 [2]）

素混凝土或少筋混凝土的剪力承载力可由下式确定：

$${{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}$$

其中

τ_cp 代入：

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~$$

或

$${{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~$$

上述公式中各分项值由下式给出：

$${{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}$$

其中  

f_cd,pl     素混凝土或少筋混凝土的抗压强度设计值，

f_ctd,pl    素混凝土或少筋混凝土的轴心抗拉强度设计值，

f_cvd       混凝土受压状态下的抗剪承载力设计值。

有抗剪钢筋构件的承载力（第 6.2.3 条 [2]）

有抗剪钢筋的钢筋混凝土构件承载力计算基于变角桁架类比法。该方法的基础是由压杆力（斜压杆）、抗剪钢筋力（箍筋）和纵向钢筋力所构成的三角形力平衡。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}$$

受剪截面在角度 θ 处产生裂缝，因此与剪力方向相同角度的混凝土斜压杆承受剪力。斜压杆的压力可表示为 V_ed/sinθ。该力须由垂直于压力斜杆的混凝土面积 b_wzcosθ 传递。压力斜杆中的混凝土压应力则等于：

$${{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)$$

代入 $${{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}$$  和 $${{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}$$ ，并求解 $${{V}_{Rd,max}}$$ ，得到斜压杆剪力承载力公式：

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)$$

为平衡压力斜杆中的竖向分力，采用抗剪钢筋。竖向力的大小基于对应单根箍筋的混凝土面积中的斜向压应力 \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]。箍筋极限力由 \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\] 给出。

代入 σ_c，与钢筋极限力比较，经整理后得：

$$\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta$$

将 V_ed 表示为 V_RDs，得到竖向抗剪钢筋截面的承载力：

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta$$

纵向剪力由纵向钢筋传递，可确定为 V_edcotgθ。上述公式的推导可参见 [4]。

使用程序 IDEA RCS 只能校核具有竖向抗剪钢筋的构件。一般情况下可使用以下公式：

$${{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha$$

$${{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)$$

其中  

A_sw      为抗剪钢筋的截面面积，

s           为箍筋间距，

f_ywd      为抗剪钢筋的屈服强度设计值，

b_w        为受拉弦杆与受压弦杆之间的最小宽度。计算承载力 V_Rd,max 时，若截面因预应力管道而削弱，截面宽度须折减为所谓的截面名义宽度：

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ 用于灌浆金属管道

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ 用于非灌浆金属管道           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa 或  pro f_ck > 60MPa，

α_cw       为考虑受压弦杆应力状态的系数。

表 1‑1 系数 α_cw 的确定

角度 θ 为混凝土压杆与垂直于剪力的梁轴之间的夹角。cotθ 的限值可在各国国家附录中查找。推荐限值由下式给出：

$$1~\le ~\cot \theta \le 2,5$$

角度 θ 的取值会影响承载力的大小。承载力之间的关系如图 1.15 所示。图中表明，随着角度 θ 的增大，承载力 V_Rd,max 增大，而承载力 V_Rd,s 减小。承载力 V_Rd,c 为常数，因为它基于桁架类比法确定。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}$$

剪力截面特性计算

计算剪力时，需计算影响剪力承载力的截面变量，主要包括抗剪截面宽度 b_w、有效高度 d 和内力臂 z。规范 [2] 给出了与实际弯曲应力直接相关的这些值。但当合弯矩方向（或更准确地说，截面承载力合力方向）与合剪力方向存在显著差异时，确定这些值较为困难。在此情况下，EC2 规范未提供任何建议。

抗剪截面宽度 b_w

IDEA RCS 程序计算垂直于合剪力方向的抗剪截面宽度。根据欧洲规范的相应条款，该宽度计算如下：
-  对于第 6.2.2 (a) 条和第 6.2.3 (1) 条，为垂直于合剪力方向上，混凝土受压合力与受拉钢筋之间的截面最小宽度；
-  对于第 6.2.2 (2) 条，为校核点处垂直于合剪力方向的截面宽度。

截面有效高度

有效高度通常定义为最大受压混凝土纤维到钢筋重心的距离。由于其与弯曲直接相关，该距离以垂直投影到平面应变重力线的方式给出。

该定义可进一步明确：以受拉钢筋合力位置代替受拉钢筋重心位置。在 IDEA RCS 程序开发过程中，解决了以下问题：当弯曲荷载平面与合剪力方向不一致时，如何定义截面有效高度。因此，有效高度定义为最大受压混凝土纤维到受拉钢筋合力（基于弯曲应力）在合剪力方向上的距离，见图 1.17。

当无法确定受压纤维或受拉钢筋合力时，将出现特殊情况。在此情况下，建议采用 0.9h（合剪力方向截面高度的 90%）。该值可由用户在 IDEA RCS 程序的规范变量设置中定义。

内力臂

内力臂在第 6.2.3 (3) 条 [2] 中定义为"受拉弦杆与受压弦杆之间的距离"。规范未规定当弯矩作用平面与合剪力方向不同时的处理方法。因此，与有效高度的情况类似，内力臂定义为合剪力方向上的距离。此处同样可能遇到类似的特殊情况，例如整个截面均受压等。在此情况下，取 0.9d（有效截面高度的 90%）。该值可由用户在 IDEA RCS 程序的规范变量设置中设定。

弯曲平面倾角与合剪力之间的关系在图 1.18 和图 1.19 中清晰可见。随着倾角的增大，有效高度、内力臂及相关承载力均减小。极限状态为 90°。在此倾角下，内力臂无法计算，因此内力臂等于零。在此情况下，采用规范变量设置中指定的值，由此在图表末端出现跳跃。本研究表明，建议的最大倾角约为 20°。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}$$

作为 RCS 软件测试的一部分，开展了一项关于剪力承载力随法向力变化的依赖性研究。承载力 V_Rd,max 仅受系数 α_cw 影响，见图 1.20。图 1.21 显示承载力 V_Rds 为常数。对于承载力 V_Rdc，法向力增大会导致其减小。图 1.21 中的蓝色曲线为忽略裂缝影响时的承载力 V_Rdc，按第 6.2.2 (1) 条 [2] 公式计算。压力与拉力过渡处的跳跃由受拉钢筋的贡献引起。红色曲线按第 6.2.2 (2) 条 [2] 公式计算。第一条裂缝出现后，依赖性曲线与第 6.2.2 (1) 条 [2] 的结果相同。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}$$

计算假设

受扭钢筋混凝土截面的受力行为可分为两个阶段——开裂前和开裂后。开裂前，截面表现为弹性材料。扭转应力可由以下公式表达：  

 $$\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}$$ 

其中 W_t 为截面抗扭模量。

无钢筋构件因主拉扭转应力引起的裂缝也属于承载能力极限状态。受扭钢筋混凝土截面的受力行为可基于薄壁闭合截面进行描述，见下图。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}$$

计算流程

钢筋混凝土抗扭规范校核的流程与抗剪校核非常相似。首先，校核混凝土抗力。若混凝土校核满足要求，则可按构造规则设计钢筋。否则，需通过计算验证钢筋及受压斜杆的抗力。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}$$

抗力

薄壁截面壁板在扭转作用下的剪力流可表示为：

$${{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

薄壁截面壁板中的剪力可表示为：

$$V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z$$

其中 

τ          壁板中的剪力流，

t_ef         为有效壁厚，

z           为壁板的边长，

T_Ed       为扭矩，

A_k        为由连接壁板中心线围成的面积，包括内部空心区域。

抗扭开裂弯矩可通过将 f_ctd 代入上述表达式确定，从而得到无抗扭钢筋时的抗扭承载力表达式。

$${{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}$$

其中  f_ctd       混凝土轴心抗拉强度设计值

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}$$

配置抗扭钢筋的构件抗力由受压混凝土斜杆的抗力组成，该抗力同样基于桁架类比法。斜杆中的压应力可借助所考虑壁板表面的薄壁截面壁板剪力来表达，即：

$${{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }$$

将 σ_c=σ_cwf_cd 和 T_Ed=T_Rd,max 代入并求解 T_Rd,max，得到受压斜杆抗力方程：

$${{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}$$

其中  

ν          = 0,6（当 f_ck ≤ 60MPa 时）或（当 f_ck > 60MPa 时）

α_cw       考虑受压弦杆中压应力状态的系数

f_cd        混凝土抗压强度设计值

受扭箍筋抗力同样基于受压斜杆中的应力。箍筋力等于受压斜杆在对应于特定箍筋排列面积上的应力，即：

$${{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~$$

将 T_Ed=T_Rd,s 代入并求解 T_Rd,s，得到方程：

 $${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta$$ 

若已知纵向钢筋和箍筋的用量，可通过以下表达式确定角度 θ：

$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}$$ 

代入 T_Rd,s 得：

$${{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}$$  

其中

A_sw      箍筋面积

s           为箍筋的径向间距

f_ywd      为箍筋的有效设计强度

A_sl       纵向钢筋面积

u_k         为截面的外周长

f_ywd      为纵向钢筋的有效设计强度

纵向钢筋中的力可由受纯扭矩截面壁板中的剪力推导得出，表达式为：

$$V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}$$

将该力转换至纵向方向，得：

$${{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }$$

角度 θ 的允许取值范围与抗剪校核类似，即 1 < cot θ < 2,5。各抗力之间的关系见下图。图中显示，随着角度 θ 的增大，抗力 T_Rd,max 增大，抗力 T_Rd.s 减小，而抗力 T_Rd,c 保持不变，因为它不基于桁架类比法。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}$$

抗扭截面特性计算

对截面进行抗扭校核时，需建立所谓的等效薄壁闭合截面。在确定等效薄壁截面尺寸时，假定为矩形形状。矩形的真实面积为 A = b×h，矩形周长为 u = 2(b+h)。利用这两个方程，可求得与原截面面积和周长等效的薄壁矩形截面尺寸。联立两个方程求解两个未知数，得：

$$b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$$h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}$$

有效截面的壁厚可由周长和截面面积确定：

$$t=\text{A}/\text{u}$$

由有效截面中心线定义的面积和周长为：

$${{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$$

$${{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)$$

该方法的问题在于，对于带宽翼缘的 T 形截面，计算尺寸时采用了整体面积和周长（包括翼缘）。在 IDEA RCS 程序的未来版本中，将支持选择最大实体截面部分用于抗扭校核。

剪力与扭矩对抗剪钢筋的相互作用

确定抗剪钢筋中由剪力引起的力。 

计算基于 EN 1992-1-1 中定义的抗剪钢筋承载力计算公式。根据公式 6.13（第 6.2.3 (4) 条），单肢箍筋的承载力可推导为：

$${{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta$$

$$\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}$$

A_sw,V .  .  . 所考虑截面中承受剪力的单肢箍筋截面面积

s .  .  .  .  . 沿构件纵轴方向的抗剪钢筋间距 

a_sw,V .  .  . 单位长度内抗剪钢筋的截面面积

z .  .  .  .  . 内力臂。对于等截面构件，对应所考虑单元的弯矩。在无轴力的钢筋混凝土抗剪分析中，通常可采用近似值 z = 0.9d。

f_ywd .  .  .  抗剪钢筋的屈服强度设计值

θ .  .  .  .  . 混凝土压杆与垂直于剪力的构件轴线之间的夹角

α .  .  .  .  . 抗剪钢筋与垂直于剪力的构件轴线之间的夹角

β .  .  .  .  . 箍筋肢相对于所施加剪力合力的倾斜角

剪力根据钢筋角度及各箍筋肢的轴向刚度，均匀分配给各抗剪钢筋。

$${{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}$$

$${{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}$$

进一步，可推导出沿合力剪力方向考虑的平均钢筋应变：

$${{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}$$

第 i 根钢筋的实际应变可计算为：

$${{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}$$

给定钢筋肢中的拉力：

$${{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}$$

确定各箍筋由扭矩引起的力

截面的抗扭承载力可基于薄壁闭合截面进行计算，其中平衡条件由闭合剪力流满足。实心截面可用等效薄壁截面模拟。对于非实心截面，等效壁厚不应超过实际壁厚。

由扭矩引起的薄壁闭合截面壁中剪力流可计算为：

$${{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}$$

特定壁中的剪力为：

$${{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}$$

l_i .  .  .  . 所考虑壁中心线的长度

腹板中的剪力——腹板中心线长度可用内力臂"z"的值代替。

$${{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z$$

每米构件长度（单位长度）内抗扭箍筋中的力：

$${{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta$$

各箍筋的力分解

若所有箍筋采用相同材料，则每肢箍筋由扭矩引起的应力为常数。则：

$${{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}$$

其中 a_sw,T 为单位长度内抗扭箍筋的总面积。

若各箍筋采用不同材料，则必须考虑各钢筋的轴向刚度。

$${{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}$$

$${{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}$$

n_T .  .  .  . 抗扭钢筋肢数（钢筋组数）

F_si,T .  .  . 第 i 组钢筋由单位长度扭矩产生的力

a_si,T .  .  . 单位长度内抗扭抗剪钢筋的截面面积 

E_si,T .  .  . 第 i 组抗扭钢筋的弹性模量

ε_sw,T .  .  由扭矩引起的钢筋应变

由所施加扭矩引起的各箍筋中的应力计算为：

$${{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}$$

V+T 相互作用

箍筋中由剪力和扭矩引起的应力计算，是各荷载分量引起的应力之和。 

$${{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}$$

第 i 根钢筋中的合力：

$${{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}$$

剪力、扭矩与弯矩对纵向钢筋的相互作用

确定各纵向钢筋由轴力和弯矩引起的力

RCS 软件用于计算轴力与弯矩组合作用下的截面响应，以确定各纵向钢筋和预应力钢筋中的应力和应变。

确定各纵向钢筋由剪力引起的力

纵向钢筋中由剪力引起的拉力增量 ΔF_td 取决于拉压杆模型的几何形状。 

$$\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)$$

ΔF_td .  .  .  由剪力引起的纵向钢筋拉力增量

V_ed .  .  .  . 所考虑截面处作用剪力的设计值

θ .  .  .  .  . 混凝土压杆与构件轴线之间的夹角 

α .  .  .  .  . 抗剪钢筋与构件轴线之间的夹角

对于位于受拉翼缘的纵向钢筋，由 N+M+V 组合作用引起的纵向钢筋合力 F_t 不应大于 M_Ed,max/z（其中 M_Ed,max 为梁沿长度方向的最大弯矩）

$${{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}$$

力 ΔF_td 由位于截面抗剪部分（工字形截面情况下为腹板）的所有有粘结预应力钢束和钢筋共同承担。偏于安全，预应力钢筋的贡献可取为 0。计算假定各抗剪纵向钢筋的轴向应变增量相等（Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = 常数）。该推导适用于具有水平塑性段的双折线钢筋工作图。若采用斜线段图，则计算须作相应修正。

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}$$

$$\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}$$

Δε_V .  .  .  . 由剪力引起的纵向钢筋应变增量

n_s,V .  .  .  . 抗剪纵向钢筋的数量

A_sl,i,V .  .  . 第 i 根抗剪纵向钢筋的面积

E_sl,i,V .  .  . 第 i 根抗剪纵向钢筋的弹性模量

n_p,V .  .  .  . 抗剪钢束的数量

A_pl,i,V .  .  . 第 i 根抗剪钢束的面积

E_pl,i,V .  .  . 第 i 根抗剪钢束的弹性模量

确定力 ΔF_td 的值后，即可计算平均钢筋应变 Δε_V。

$$\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}$$

由所施加剪力引起的各纵向钢筋应力增量：

对于普通钢筋 $$\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}$$

对于钢束 $$\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}$$

确定各纵向钢筋由扭矩引起的力

确定抗扭纵向钢筋至关重要。这些钢筋位于抗扭等效薄壁截面中。

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

根据 EN 1992-1-1，纵向抗扭钢筋须满足以下几个条件：

- 钢筋应沿 z_i 长度均匀分布，但对于小截面，钢筋可集中布置在箍筋角部

- 纵向钢筋的最大轴向间距为 350 mm

根据 EN 1992-1-1，不考虑预应力钢筋的贡献。

EN 1992-2 规定，可考虑预应力钢筋的贡献，但预应力钢筋的最大应力增量不应超过 Δσ_p ≤ 500MPa。则公式可修改为：

$$\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

然而，由于预应力钢筋的增量可以考虑，但由用户自行选择。目前，计算中不考虑预应力钢筋。 

计算假定各抗剪纵向钢筋的轴向应变增量相等（Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = 常数）。该推导适用于具有水平塑性段的双折线钢筋工作图。若采用上升段图，则计算须作相应修正。

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta$$

$$\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta$$

T_ed .  .  .  . 所考虑截面处施加扭矩的设计值

θ .  .  .  .  . 压力斜杆相对于梁纵轴的倾斜角（与剪力情况相同）

u_k .  .  .  .  面积 A_k 的周长

A_f .  .  .  .  由等效空心薄壁截面中心线所围成的面积

n_s,T .  .  .  .抗扭纵向混凝土钢筋的数量

A_sl,i,T .  .  . 第 i 根抗扭纵向混凝土钢筋的面积

Δε_T .  .  .  .由扭矩引起的纵向钢筋变形变化量

Δσ_s,i,T .  .  由扭矩引起的第 i 根纵向钢筋应力变化量

E_sl,i,T .  .  . 第 i 根抗扭纵向混凝土钢筋的弹性模量

由所施加扭矩引起的各纵向钢筋应力增量：

$$\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}$$

该校核基于一般假设，其中对截面的两种状态进行分析：未开裂截面（不忽略混凝土抗拉强度）和完全开裂截面（忽略混凝土抗拉强度）。忽略混凝土抗拉强度的计算方案依据 EN 1992-1-1 第 7.1 (2) 条的假设。

在计算应力和挠度时，若弯曲拉应力不超过 f_ct, eff，则视为未开裂截面。f_ct, eff 的值可取 f_ctm 或 f_ctm,fl。计算裂缝宽度和拉力刚化时采用 f_ctm 值。

作为本规范校核的一部分，我们处理应力限值方面的四种基本情况。

• 7.2 (2) 暴露于 XD、XF 和 XS 环境类别的构件中的压应力应加以限制：

$$\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}$$

$${{k}_{1}}=0,6$$

• 7.2 (3) 准永久荷载作用下混凝土中的应力应加以限制：

$$\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}$$

$${{k}_{2}}=0,45$$

• 7.2 (5) 在荷载标准组合下，钢筋中的拉应力应加以限制：

$$\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}$$

$${{k}_{3}}=0,8$$

• 7.2 (5) 当应力由强制变形引起时，拉应力不应超过：

$$\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}$$

$${{k}_{4}}=1$$

其中，各国使用的 k₁、k₂、k₃、k₄ 值可在其国家附录中查找。推荐值分别为 0,8；1 和 0,75，钢筋标准屈服应力 f_ck 为 28 天时确定的标准圆柱体强度 f_ck。

裂缝的形成

钢筋混凝土结构在弯曲或拉伸应力作用下的典型特征是：当混凝土中的拉应力超过混凝土抗拉强度时，会在相应位置发生开裂破坏。为保证结构的耐久性和美观性，应尽量控制裂缝宽度。裂缝宽度的计算方法以及不同暴露等级下允许的最大裂缝宽度见 EN 1992-1-1 第 7.3 章。

计算的第一步是判断截面是否已开裂。裂缝宽度本身始终根据准永久或频遇荷载组合（取决于国家附录）计算，但裂缝的形成需对所有指定的正常使用极限状态组合进行验算。因此，可能出现以下两种情况：

• 在任何荷载组合（准永久 M_E,qp、频遇 M_E,fr 或标准 M_E,k）下，混凝土纤维中的最大拉应力均不超过混凝土抗拉强度，则认为截面未开裂。

$${{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

• 若在任一组合（准永久、频遇或标准）下发生开裂，即所考虑荷载组合产生的弯矩大于临界弯矩 M_cr，则该荷载组合下截面已开裂，需计算开裂截面的特性及裂缝宽度。

$${{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

M_E,i   .   .   某正常使用极限状态荷载组合所得弯矩，可为 M_E,qp、M_E,fr 或 M_E,k。 

f_ct,ef   .   .  所考虑时刻混凝土的抗拉强度。若混凝土龄期超过 28 天，取强度值等于 f_ctm。

裂缝宽度计算

在受弯构件中，裂缝的形成分为两个阶段：

• 裂缝形成阶段（图 1 中阶段 2）
• 稳定裂缝发展阶段（图 1 中阶段 3）

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}$$

裂缝发展阶段

这是过程的初始阶段，此时单条裂缝仍在逐渐出现，直至构件整个受拉区均受到裂缝影响，裂缝沿构件长度方向大致均匀分布。当受拉带中的力超过临界拉力 N_r（临界拉力，见下文）时，第一条裂缝形成；随后裂缝继续发展，直至受拉带中的力约达到 1.3N_cr 为止（图 1 中阶段 2）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}$$

发展中的裂缝分为两类——主裂缝和次裂缝。主裂缝在混凝土有效抗拉强度（f_ct,eff）达到时出现于受拉纤维处，代表第一批裂缝形态（图 2）。随后，较短的次裂缝在主裂缝之间形成（图 3）。当应力约达到 1.2 至 1.5 σ_sr（通常取均值 1.3 σ_sr，其中 σ_sr 为混凝土受拉区主裂缝形成时钢筋中的应力）时，次裂缝的发展也趋于完成。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}$$

裂缝形成阶段的裂缝宽度可按下式计算：

$${{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}$$

稳定裂缝阶段

当受拉区力超过临界力约 1.3 倍后，不再形成新裂缝，构件中的裂缝数量趋于稳定，随荷载继续增加，仅已有裂缝的宽度增大（图 1 中阶段 3）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}$$

稳定发展阶段的裂缝宽度可按下式计算：

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}$$

临界拉力

计算基于拉力弦模型（TCM）。基本思路是计算钢筋混凝土带的极限承载力，该带由面积为 A_s,eff 的钢筋及其周围有效受拉混凝土面积 A_c,eff 组成，能够承受拉应力直至超过抗拉强度 f_ct,eff（通常取 f_ctm）。假设钢筋与混凝土之间完全粘结，可认为在第一条裂缝出现之前，钢筋与周围混凝土的变形相同。则第一条裂缝出现前受拉带中的最大力 N_r 可按下式确定：

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}$$

引入替换变量

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

得：

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

第一条裂缝形成后，全部力 N_r 由钢筋承担，因此穿过刚形成裂缝处的钢筋应力可按下式计算：

$${{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{{\rho }_{p,eff}}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

按 EC 1992-1-1 计算裂缝宽度

钢筋混凝土构件裂缝宽度采用下式计算：

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

s_r,max   .   .   .   最大裂缝间距

ε_sm  .   .   .   .   荷载组合下钢筋的平均应变，包含拉力刚化效应。

ε_cm  .   .   .   .   裂缝间混凝土的平均应变

应变差的计算

裂缝间钢筋与混凝土的应变差可由下式求得：

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

σ_s      .   .   .   .   所考虑荷载组合下裂缝处钢筋的应力

k_t      .   .   .   .   考虑平均应变的经验系数，取决于荷载持续时间。短期分析时取 0.6；长期分析时，考虑组合截面刚度降低约 70%，取值为 0.4，其中包含了钢筋与混凝土之间粘结力随时间退化的影响。

α_e     .   .   .   . 弹性模量的有效比值

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}$$

ς_p,_eff  .   .   .   .   有效配筋率

$${{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

A_c,_eff .   .   .   .   包围钢筋的受拉混凝土有效面积（A_c,eff 的确定见下文）

A_s,_eff .   .   .   .   位于 A_c,_eff 范围内的有粘结钢筋面积

A_p´    .   .   .   .   A_c,_eff 范围内预应力筋（先张或后张）的面积

ξ₁  .   .   .   .   .   考虑预应力筋与普通钢筋直径不同的修正粘结强度比值：

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}$$

ξ  .   .   . 预应力筋与普通钢筋的粘结强度比值（表 6.2）

ϕ_s   .   .  普通钢筋的最大直径

ϕ_p   .   .  预应力筋的直径或等效直径

对于束筋，A_p 为钢束中钢筋的面积

$${{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}$$

对于单根七丝钢绞线，φ_wire 为钢丝直径

$${{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}$$

对于单根三丝钢绞线，φ_wire 为钢丝直径

$${{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}$$

若仅采用预应力筋来防止开裂，则需考虑以下公式。

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}$$

在预应力构件中，只要在荷载标准组合及预应力标准值作用下，任意纤维处的拉应力不超过混凝土抗拉强度 f_ct,eff，则不要求设置最小有粘结钢筋面积。（详见 EN 1992-1-1 第 7.3.2 条）

受拉混凝土有效面积

计算中一个重要但同时也是最复杂的步骤是确定包围钢筋的受拉混凝土有效面积。欧洲规范和模型规范均考虑简单受力模式，即钢筋混凝土构件承受单轴弯曲或拉伸。有效高度的取值为：

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}$$

通常，h_c,eff = 2,5(h-d) 为控制值。对于受拉构件，上限为 h/2；对于受弯构件，上限为 (h-x)/3。然而，A_c,eff 还受到由公式 5(c+ϕ/2) 确定的宽度限制。若钢筋间距大于 5(c+ϕ/2)，则对各单根钢筋取宽度为 5(c+ϕ/2) 的受拉混凝土有效面积。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}$$

最大裂缝间距

计算最大裂缝间距 s_r,max 时，可能出现以下两种情况：

• 有粘结钢筋的轴向间距不超过 5(c+ϕ/2) — 图 9a
• 有粘结钢筋的轴向间距大于 5(c+ϕ/2) — 图 9b

当钢筋轴向间距不超过 5(c+ϕ/2) 时，最大裂缝间距 s_r,max 按下式计算：

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

c  .    .   .   .   .   混凝土保护层厚度，单位 mm。由于边缘钢筋在水平和竖向边缘处的保护层厚度可能不同，建议取所考虑钢筋的最大保护层厚度。

ϕ     .   .   .   .   有粘结钢筋的直径。当钢筋直径不同时，应按 EN 1992-1-1 公式 7.12 计算等效直径。

$${{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}$$

k₁ .   .   .   . 考虑有粘结钢筋粘结性能的系数

• k₁ = 0,8，适用于高粘结钢筋
• k₁ = 1,6，适用于表面光滑的钢筋（如预应力筋）

k₂ .   .   .   . 考虑应变分布的系数

• k₂ = 1,0，适用于弯曲
• k₂ = 0,5，适用于纯拉伸

对于偏心受拉或局部区域，k₂ 应取中间值，可由下式计算：

$${{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}$$

k₃      .   .   .   .  表示裂缝附近区域混凝土与钢筋之间粘结破坏长度的系数。基本 EC 推荐值 k₃ = 3,4，可由国家附录修正。 

k₄      .   .   .   .   表示混凝土粘结强度与抗拉强度关系的系数。基本 EC 推荐值 k4 = 0.425，可由国家附录调整。

当钢筋轴向间距超过 5(c+ϕ/2) 时，最大裂缝间距 s_r,max 按下式计算：

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

由下式确定的最大裂缝间距值

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

应始终大于由下式确定的值

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;$$

否则，建议取上述两式中的较大值。对于钢筋轴向间距较大的情况，混凝土/钢筋应变的计算公式不作修改。在需要控制裂缝宽度的区域，各钢筋的轴向间距不应大于 5(c+ϕ/2)。

RCS 中实现的裂缝宽度计算

有效面积 A_c,eff 的确定

由于确定哪些钢筋可作为纵向抗裂钢筋并不直观，A_c,eff 通过以下迭代过程确定。

• 在所有受拉钢筋中，确定受拉力合力中心 C_g,s,1。钢筋有效深度 d 为 C_g,s 与沿合力弯矩方向计算的最大受压混凝土纤维之间的距离。同时，确定开裂截面的中性轴位置及受压区高度 x，从而可确定有效高度 h_c,eff：

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

• 排除所有位于 A_c,eff,1 范围之外的钢筋后，确定新的钢筋合力中心 C_g,s,2 及新的钢筋有效深度 d，并以与上一步相同的方式确定有效高度 h_c,eff，仅输入值有所变化。

再次验证所考虑的全部受拉钢筋均位于 A_c,eff,2 范围内。若满足此条件，则可终止迭代，h_c,eff,2、A_c,eff,2 和 A_s,eff,2 的值将作为最终结果显示在 IDEA StatiCa RCS 中。

裂缝宽度计算的可能情况

计算裂缝宽度时，一般可能出现以下三种情况：

• 受拉钢筋位于 A_c,eff 范围内，且各钢筋的轴向间距小于 5(c+ϕ/2)。此时采用以下公式进行计算：

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• 受拉钢筋位于 A_c,eff 范围内，但各钢筋的轴向间距超过 5(c+ϕ/2)。此时采用以下公式进行计算：

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• 受拉钢筋不在 A_c,eff 范围内（例如，保护层过厚时可能出现此情况）。 

在此情况下，将无法计算裂缝宽度。因此，有效高度 h_c,eff 的计算修改如下：

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}$$

同时，将显示以下不符合项提示：

包围钢筋或预应力筋的受拉混凝土有效面积深度为 h_c,eff，其中 h_c,eff 取 2.5(h – d) 与 h/2 中的较小值。当考虑取值为 (h – x)/3 时，钢筋位于受拉混凝土有效面积之外，因此无法按第 7.3.4 条计算裂缝宽度。

N-M-κ 图显示了构件的曲率（弯曲刚度）与所施加弯矩和轴力的函数关系。N-M-κ 图共有三种类型：
- 短期，
- 长期
- 承载能力极限状态。
这些图在计算中所采用的应力-应变图类型上有所不同（详见下文说明）。

N-M-κ 图通过对截面若干特征状态的刚度计算来确定。一般而言，可以是任意截面状态，从中计算响应，并推导出弯曲刚度和曲率。在 IDEA RCS 中，我们考虑四个特征点（M_r、M_c、M_s 和 M_u）。

M_r - 开裂弯矩 

截面承受用户定义的轴力，应变平面开始旋转（沿指定弯矩方向），直至混凝土纤维达到混凝土极限抗拉强度（对于混凝土等级 C30/37，f_ctm = 2,896 MPa）。计算中对钢筋和混凝土均采用带水平塑性段的双线性应力-应变图。

M_c - 混凝土达到抗压强度时的弯矩

从上一步中确定受压最不利的混凝土纤维。对该纤维设定混凝土极限强度对应的应变（短期为 f_ck/E_cm，长期为 f_ck/E_ceff，承载能力极限状态图为 f_cd/E_cm）。根据定义的轴力和弯矩方向，通过迭代过程求解应变平面，以找到截面响应与定义轴力之间的平衡。计算中对钢筋和混凝土均采用带水平塑性段的双线性应力-应变图。

M_s - 最不利钢筋达到屈服强度时的弯矩

N-M-κ 图的另一个特征点是截面中最不利钢筋达到屈服强度时的应力状态（短期和长期图中钢筋应变等于 f_yk/E_s，承载能力极限状态图中为 f_yd/E_s）。迭代过程通过绕最不利钢筋位置所确定的点旋转应变平面，求得截面轴力的平衡。计算中对钢筋和混凝土均采用带水平塑性段的双线性应力-应变图。

M_u - 承载能力极限状态下的弯矩

这是截面在弯曲作用下的极限承载能力，截面承受定义的设计轴力 N_ed。在计算截面承载能力时，假定最不利混凝土纤维达到抗压强度，最不利钢筋达到抗拉强度（混凝土最大应变 ε_cu = 0,1，钢筋最大应变 ε_s,max = 0,5）。计算中钢筋采用带水平塑性段的双线性应力-应变图，混凝土采用抛物线-矩形图。

由用户定义的轴力与弯矩组合（Md）所得的刚度和曲率，随后通过对 N-M-κ 图各特征点进行线性插值计算得出。

刚度与曲率的计算

各截面应力状态（M_r、M_c、M_s 或 M_u）的刚度和曲率直接由应变平面的旋转量计算得出。 

$$E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}$$

E_Ax .   .    构件的轴向刚度

N . .   .   . 指定轴力

ε_x .   .   .  混凝土截面重心处的轴向应变

$$E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }$$

E_Iy .   .   .   构件的弯曲刚度

M .   .   .    计算所得弯矩 M_r、M_c、M_s 或 M_u

κ .   .   .   . 构件的曲率，计算为应变平面与构件纵轴之间夹角的正切值

实际算例

混凝土截面（混凝土等级 C30/37）配置 ϕ32 钢筋（等级 B500B）。定义的准永久组合为 N = -730 kN，M_y = 557 kNm。

特征点 M_s 的应变平面由 IDEA RCS 确定如下：

$$E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN$$

$$\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}$$

$$E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}$$

计算中使用的应力-应变图

钢筋 - M_r、M_c、M_s 和 M_u

混凝土 - M_r、M_c、M_s

混凝土 - M_u

[1] Bradáč Betonové konstrukce（混凝土结构），第1部分：钢筋混凝土和素混凝土构件的设计，EXPERT Ostrava，1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2：混凝土结构设计 - 第1-1部分：一般规则及建筑规则，含修订版 NA ed. A（2007）及修订1（2009）

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 第2版，Akademické nakladatelství CERM，布尔诺理工大学，土木工程学院，2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I，布尔诺理工大学，Akademické nakladatelství CERM，布尔诺，1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design，毕业论文，ČVUT，布拉格，2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů，在线书籍 http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/，Verlag Dashöfer，2010