IDEA StatiCa RCS – Thiết kế kết cấu cấu kiện bê tông 1D

Phương pháp kiểm tra khả năng chịu lực của tiết diện

Hai phương pháp phổ biến có thể được sử dụng để kiểm tra trạng thái giới hạn cực hạn cho cấu kiện bê tông 1D. Phương pháp thứ nhất cho ta cường độ cực hạn của tiết diện dưới dạng vùng tương tác hoặc biểu đồ tương tác (trong trường hợp mô men uốn theo một phương). Khả năng chịu lực của tiết diện có thể được xác định bằng tỷ số giữa nội lực tác dụng và nội lực tại trạng thái giới hạn. Phương pháp thứ hai là tìm cân bằng trong tiết diện, trong đó ta xem xét ứng xử thực tế của tiết diện chịu tải, mức độ sử dụng vật liệu theo ứng suất, và nhận biết các điểm yếu của tiết diện.

Giả thiết thiết kế chung và giả thiết tính toán cho Trạng thái giới hạn cực hạn 

1. Biến dạng ε trong cốt thép và bê tông được giả thiết tỷ lệ thuận với khoảng cách đến trục trung hòa (tiết diện phẳng giữ nguyên phẳng sau biến dạng).
2. Sự tương tác giữa cốt thép và bê tông được đảm bảo thông qua liên kết dính giữa bê tông và cốt thép mà không có trượt (biến dạng ε của cốt thép bằng biến dạng của các thớ bê tông tiếp giáp).
3. Cường độ chịu kéo của bê tông được bỏ qua (toàn bộ ứng suất kéo do cốt thép chịu).
4. Ứng suất nén của bê tông trong vùng nén được tính theo biến dạng xác định từ biểu đồ ứng suất - biến dạng.
5. Ứng suất trong cốt thép được tính theo biến dạng từ biểu đồ ứng suất - biến dạng.
6. Biến dạng nén của bê tông với giới hạn biến dạng cực hạn ε_cu2 (biểu đồ parabol - hình chữ nhật cho bê tông chịu nén) và ε_cu3 (quan hệ ứng suất - biến dạng hai đường thẳng), [2].
7. Biến dạng nén của cốt thép không bị giới hạn trong trường hợp nhánh dẻo nằm ngang, trong trường hợp nhánh dẻo nghiêng thì biến dạng bị giới hạn ε_ud,[2].
8. Trạng thái giới hạn được xác định khi trạng thái của ít nhất một trong các vật liệu vượt quá biến dạng giới hạn cực hạn (nếu εu không bị giới hạn, bê tông chịu nén là yếu tố quyết định).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Biểu đồ tương tác

Lựa chọn thứ nhất là kiểm tra tiết diện bằng mặt tương tác (hoặc biểu đồ tương tác). Giải thích được trình bày trên ví dụ về các mặt tương tác cho tiết diện vuông có cốt thép từ ví dụ trong hình dưới đây. Trên mặt tương tác được xác định các điểm định nghĩa trạng thái giới hạn cực hạn của tiết diện đang xét. Mặt tương tác được vẽ từ các điểm (N, My, Mz), được xác định bằng tích phân ứng suất trong tiết diện, khi đạt đến biến dạng giới hạn cực hạn trong một trong các vật liệu. Đối với tương tác 3D, mặt tương tác có thể được suy ra từ biểu đồ tương tác 2D, là một đường cong khép kín, tương ứng với ứng suất của trục trung hòa xoay liên tục.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Đối với trường hợp tiết diện đối xứng qua trục y, biểu đồ tương tác đối xứng quanh mặt phẳng N-M_y. Tương tự, đối với trường hợp tiết diện đối xứng qua trục z, biểu đồ tương tác đối xứng quanh mặt phẳng N-M_z. Tiết diện có cốt thép bố trí một phía tạo ra hình dạng dẹt của biểu đồ tương tác.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Các điểm xác định trạng thái giới hạn cực hạn được nhận từ tích phân ứng suất.  Hình dưới đây hiển thị biến dạng tại trạng thái giới hạn cực hạn.

Phân bố biến dạng tại trạng thái giới hạn cực hạn (lấy từ [2]).

Biểu đồ tương tác thể hiện sự phá hoại tiết diện dưới lực dọc và mô men uốn. [1]

Xét bài toán biểu đồ 2D (đường cong khép kín nằm trên mặt tương tác), ta có thể xác định mặt phẳng biến dạng đi qua trục trung hòa và điểm tới hạn [y, z, ε], được coi là điểm tới hạn R.  Điểm [y, z] xác định một điểm trong tiết diện với giá trị biến dạng ε tại trạng thái giới hạn cực hạn. Góc nghiêng của trục trung hòa không đổi đối với tất cả các điểm của biểu đồ 2D.

Trong trường hợp ứng suất nén trong bê tông là yếu tố quyết định cho thiết kế, điểm R trùng với thớ bê tông chịu nén xa nhất hoặc điểm giới hạn C. Tuy nhiên, điều này chỉ áp dụng khi tiết diện được làm từ một loại bê tông - không phải tiết diện hỗn hợp.   

Trong trường hợp ứng suất kéo trong cốt thép là yếu tố quyết định cho thiết kế (biến dạng ε_ud bị vượt quá tại trạng thái giới hạn cực hạn đối với một hoặc nhiều thanh), cần thỏa mãn điều kiện rằng đối với mặt phẳng biến dạng đã cho, giá trị ε_ud không bị vượt quá tại bất kỳ thanh nào khác.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

Hình trên cho thấy rằng biểu đồ có thể được chia thành hai phần: phần mà sự phá hoại do lực kéo gây ra và phần phá hoại do lực nén. Các điểm giới hạn tương ứng với trường hợp trên, trong đó độ nghiêng cực hạn của mặt phẳng biến dạng cũng có thể được nhìn thấy. Khi vẽ biểu đồ tương tác, độ nghiêng của mặt phẳng biến dạng của tiết diện thay đổi trong khoảng này, trong khi ta tìm kiếm điểm R (xem ở trên). Dựa trên mặt phẳng đã xác định đó, ta thực hiện tích phân để nhận được ứng suất tại trạng thái giới hạn cực hạn.

Kiểm tra tiết diện chịu lực dọc và mô men uốn

Việc kiểm tra tiết diện chịu lực dọc và mô men uốn dựa trên việc chứng minh rằng các ứng suất được kiểm tra (tổ hợp N_d, M_yd, M_zd) nằm bên trong hoặc trên bề mặt vùng tương tác. Các phương pháp khác nhau có thể thực hiện điều này. Ví dụ sau minh họa việc kiểm tra một tiết diện chữ nhật chịu các lực N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Phương pháp NuMuMu

Để xác định khả năng chịu lực của tiết diện, ta giả thiết sự thay đổi tỷ lệ của tất cả các thành phần nội lực (độ lệch tâm của lực dọc giữ nguyên không đổi) cho đến khi mặt tương tác được xác định. Sự thay đổi của các nội lực liên quan có thể được hiểu là sự dịch chuyển dọc theo đường thẳng nối gốc hệ tọa độ (0,0,0) và điểm được xác định bởi các nội lực (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Hai giao điểm của đường thẳng này với mặt tương tác, có thể tìm được, đại diện cho hai bộ lực tại trạng thái giới hạn cực hạn. Tại mỗi giao điểm, chương trình xác định ba lực tại trạng thái giới hạn: khả năng chịu lực dọc thiết kế N_Rd và các mô men kháng thiết kế tương ứng M_Rdy, M_Rdz.

Phương pháp  NuMM

Để xác định khả năng chịu lực của tiết diện, ta giả thiết lực dọc không đổi (bằng lực dọc thiết kế tác dụng) và sự thay đổi tỷ lệ của các mô men uốn cho đến khi mặt tương tác được xác định. Sự thay đổi của các nội lực liên quan có thể được hiểu là sự dịch chuyển trong mặt phẳng nằm ngang dọc theo đường thẳng nối điểm (N_Ed,0,0) và  điểm được xác định bởi các nội lực tác dụng (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Hai giao điểm của đường thẳng này với mặt tương tác, có thể tìm được, đại diện cho hai bộ lực tại trạng thái giới hạn cực hạn. Tại mỗi giao điểm, chương trình xác định ba lực tại trạng thái giới hạn: các mô men kháng thiết kế M_Rdy, M_Rdz và lực dọc thiết kế tác dụng (tương ứng) N_Ed.

Phương pháp  NMuMu

Để xác định khả năng chịu lực của tiết diện, ta giả thiết lực dọc không đổi (bằng lực dọc thiết kế tác dụng) và sự thay đổi tỷ lệ của các mô men uốn cho đến khi mặt tương tác được xác định. Sự thay đổi của các nội lực liên quan có thể được hiểu là sự dịch chuyển trong mặt phẳng nằm ngang dọc theo đường thẳng nối điểm (N_Ed,0,0) và điểm được xác định bởi các nội lực tác dụng (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Hai giao điểm của đường thẳng này với mặt tương tác, có thể tìm được, đại diện cho hai bộ lực tại trạng thái giới hạn cực hạn. Tại mỗi giao điểm, chương trình xác định ba lực tại trạng thái giới hạn: các mô men kháng thiết kế M_Rdy, M_Rdz, và lực dọc thiết kế tác dụng (tương ứng) N_Ed.

Tìm phản ứng của tiết diện

Một khả năng khác để kiểm tra tiết diện là tìm phản ứng của tiết diện (tức là phân bố biến dạng và ứng suất từ các nội lực tác dụng). Phương pháp này còn được gọi là phương pháp biến dạng giới hạn. Mức độ ứng suất tác dụng trong mỗi thớ (trong trường hợp uốn phẳng trong mỗi lớp) trong mỗi thanh cốt thép được tính toán phụ thuộc vào biến dạng từ biểu đồ ứng suất - biến dạng của vật liệu.
Việc tìm phản ứng của tiết diện được tính toán bằng phương pháp số được quy định trong [6]. Nguyên tắc bao gồm việc tăng dần tải trọng của tiết diện bằng các thành phần không cân bằng của lực chưa được truyền. Các lực này được nhận bằng cách tích phân ứng suất trên tiết diện sử dụng biểu đồ ứng suất - biến dạng. Nếu giá trị ứng suất có thể tìm được cho biến dạng trong biểu đồ ứng suất - biến dạng, xem Hình dưới đây (a), thì ứng suất tính toán là chính xác với giả thiết vật liệu đàn hồi tuyến tính. Trong các trường hợp (b) và (c), ứng suất trong tính toán tuyến tính đạt các giá trị không thực tế, và một phần (b) hoặc toàn bộ giá trị (c) không thể được truyền bởi vật liệu. Tích phân các ứng suất chưa được truyền ta nhận được các nội lực chưa được truyền, và tổng hợp của chúng cần được cộng thêm vào các nội lực của tải trọng biến đổi. 

Ứng suất chưa được truyền trong biểu đồ ứng suất - biến dạng. [4]

Nội lực chưa được truyền. [4]

Phương pháp tính toán này đòi hỏi việc sử dụng các phương pháp số để tích phân ứng suất trên diện tích tiết diện và để phân tích phi tuyến các phương trình cân bằng trong tiết diện. Quá trình lặp kết thúc khi các tiêu chí hội tụ được thỏa mãn.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

trong đó 

F_e là tải trọng tiết diện,

F_i là phản ứng của tiết diện (nội lực tính toán dựa trên mặt phẳng biến dạng).

Nếu a là giá trị gần đúng (xấp xỉ) và b là giá trị chính xác (thực), thì sai lệch tuyệt đối được cho bởi phương trình sau.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

Sai lệch tương đối được cho bởi công thức sau:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

Trong hầu hết các chương trình, bạn có thể đặt các tiêu chí hội tụ này (giá trị mặc định là 1% sai số tương đối, 100 N, 100 Nm là sai số tuyệt đối của lực dọc và mô men). 

Vì vậy nếu ta có đầu vào N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm và các lực tích phân sau khi lặp N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, thì việc đánh giá sẽ như sau. Với việc xét N và Mz bằng 0, có thể so sánh với sai lệch tuyệt đối:

Giá trị lực dọc 100N> | 70 | N
Giá trị của mô men uốn Mz 100Nm> | 20 | Nm
Giá trị của mô men uốn My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Kiểm tra tiết diện theo phản ứng

Trong trường hợp tìm cân bằng trong tiết diện, biến dạng phẳng đã được biết. Từ biến dạng phẳng, ta có thể tính toán biến dạng tại bất kỳ điểm nào trong tiết diện, sau đó là ứng suất hoặc nội lực trong các thanh cốt thép, tiết diện hoặc các phần của nó sử dụng biểu đồ ứng suất - biến dạng của các vật liệu. Các giá trị ứng suất và biến dạng tính toán được, ta so sánh với giá trị biến dạng giới hạn từ biểu đồ ứng suất - biến dạng của các vật liệu được sử dụng.
Ưu điểm của phương pháp này là ta nhận được hình ảnh đầy đủ về các giá trị ứng suất và biến dạng trong tiết diện của các nội lực tác dụng lên tiết diện.

Liên quan đến phá hoại giòn, kiểm tra lực cắt là một trong những kiểm tra quan trọng của tiết diện bê tông cốt thép.

Quy trình tính toán

Tính toán khả năng chịu lực cắt được cấu thành từ một số phần cơ bản. Trước tiên, cần phân tích xem tại vị trí kiểm tra có xuất hiện vết nứt do uốn hay không. Nếu có, sử dụng tính toán theo EN 1992-1-1 [2], Điều 6.2.2 (1). Ngược lại, xác định xem đó là bê tông không cốt thép hay bê tông ít cốt thép, sau đó tiến hành theo EN 1992-1-1 Điều 12.6.3.

Đối với bê tông cốt thép chưa nứt (không có cốt thép chịu cắt), kiểm tra theo EN 1992-1-1 Điều 6.2.2 (2). Đối với các cấu kiện yêu cầu cốt thép chịu cắt, kiểm tra theo Điều 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Khả năng chịu lực cắt của cấu kiện không có cốt thép chịu cắt

Khả năng chịu lực cắt của cấu kiện trong vùng uốn đã nứt (điều 6.2.2 (1) [2])

Khả năng chịu lực cắt của cấu kiện bê tông cốt thép không có cốt thép chịu cắt chịu mô men uốn được xác định bởi:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Công thức này được xác định dựa trên các thí nghiệm thực hiện trên một số lượng đại diện các dầm đơn giản trong trường hợp phá hoại do lực cắt. Do khả năng chịu lực nêu trên có thể bằng không đối với các cấu kiện không có cốt thép dọc (r_l), phương trình sau được xây dựng cho các cấu kiện ít cốt thép. Do khả năng chịu lực nêu trên có thể bằng không đối với các cấu kiện không có cốt thép dọc (r_l), đối với các cấu kiện ít cốt thép được xác định bởi phương trình

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Đối với khả năng chịu lực cắt có xét đến ảnh hưởng của lực pháp tuyến, được xác định bởi phương trình

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

Khả năng chịu lực cắt ở dạng đầy đủ tương ứng với EN 1992-1-1 điều 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Với giá trị tối thiểu

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

trong đó  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          hệ số chiều cao tiết diện 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      hàm lượng cốt thép dọc

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        cường độ chịu nén đặc trưng của mẫu trụ bê tông ở 28 ngày tuổi

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  v MPa

b_w        chiều rộng nhỏ nhất của tiết diện trong vùng chịu kéo

d          chiều cao làm việc của tiết diện

υ_min      cường độ chịu cắt tương đương tối thiểu υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Khả năng chịu lực cắt của cấu kiện trong vùng uốn chưa nứt (điều 6.2.2 (2) [2])

Khả năng chịu lực cắt của cấu kiện trong vùng uốn chưa nứt có thể được xác định từ vòng tròn Mohr. Thay vào phương trình

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Ta thay σ_x = σ_cp a τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) và tính ra V_Rd,c, thu được phương trình tương ứng với công thức trong EN 1992-1-1 điều 6.2.2 (2)

trong đó  

I           là mô men quán tính bậc hai của tiết diện,

b_w        là chiều rộng tiết diện tại trục trọng tâm

S          là mô men tĩnh của phần tiết diện phía trên so với trục trọng tâm,

f_ctd        cường độ chịu kéo dọc trục thiết kế của bê tông tính bằng MPa,

 s_cp       là ứng suất nén bê tông tại trục trọng tâm do tải trọng và/hoặc ứng lực trước,

a_l         hệ số chiều dài truyền lực, thường bằng 1,0.

Liên quan đến nội dung trên, cần lưu ý rằng trong các vùng không có vết nứt uốn, khả năng chịu lực V_Rd ,c có thể cao hơn đáng kể so với vùng đã nứt theo Điều 6.2.2 (1) [2]. Hình dưới đây cho thấy rõ ràng rằng mặc dù lực cắt được kiểm tra tại giá trị cực đại (không gây ra vết nứt), nhưng không nhất thiết đảm bảo rằng nó sẽ được truyền dọc theo toàn bộ chiều dài dầm. Điều này là do sự thay đổi trong phương pháp tính toán khả năng chịu lực cắt của bê tông. Về phía an toàn, tất nhiên, khả năng chịu lực cắt có thể được xem xét theo Điều 6.2.2 (1) [2] cả ở những vị trí không xuất hiện vết nứt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Đối với biểu thức V_Rd, c theo Điều 6.2.2 (2)[2], cũng cần lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát, cần dựa trên kiểm tra tại thớ có ứng suất kéo chính lớn nhất của bê tông trong vùng ứng suất nén pháp tuyến, chứ không phải tại trọng tâm tiết diện. Tại điểm này cần tính toán các đặc trưng tiết diện (S và b_W). Để xác định ứng suất chính lớn nhất s₁ trong chương trình IDEA RCS, ta vẽ một đường qua trọng tâm theo hướng của hợp lực cắt. Đường này được chia thành 20 đoạn. Trên đường này, ta xác định thêm các điểm đặc trưng (các điểm của đa giác tiết diện, trọng tâm, trục trung hòa). Trong các điểm này, ta tính S, b_w, σ_x, τ_yz a σ_1.  Tại điểm có ứng suất kéo chính lớn nhất, ta tính khả năng chịu lực cắt.

Lực cắt trước khi áp dụng hệ số giảm b theo yêu cầu của Điều 6.2.2 (6) phải thỏa mãn điều kiện bổ sung

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

trong đó 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

Khả năng chịu lực cắt của cấu kiện không có cốt thép hoặc ít cốt thép (điều 12.6.3 [2])

Khả năng chịu lực cắt đối với bê tông không cốt thép hoặc ít cốt thép có thể được xác định từ biểu thức

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Trong đó

τ_cp được thay bởi

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

hoặc

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Các giá trị thành phần sử dụng trong công thức trên được xác định bởi:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

trong đó  

f_cd,pl     Cường độ chịu nén thiết kế đối với bê tông không cốt thép hoặc ít cốt thép,

f_ctd,pl    Cường độ chịu kéo dọc trục thiết kế của bê tông không cốt thép hoặc ít cốt thép,

f_cvd       Khả năng chịu cắt thiết kế dưới tác dụng của lực nén bê tông.

Khả năng chịu lực của cấu kiện có cốt thép chịu cắt (điều 6.2.3 [2])

Tính toán khả năng chịu lực của cấu kiện bê tông cốt thép có cốt thép chịu cắt dựa trên phương pháp giàn ảo với góc nghiêng thanh chống thay đổi. Cơ sở của phương pháp này là cân bằng lực trong tam giác được xác định bởi lực thanh chống (đường chéo), lực cốt thép chịu cắt (đai thép) và lực cốt thép dọc.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Tiết diện chịu lực cắt bị nứt theo góc θ, do đó thanh chống bê tông nghiêng cùng góc với lực cắt sẽ chịu lực cắt. Lực nén của thanh chống có thể được biểu diễn là V_ed/sinθ. Lực này phải được truyền qua bề mặt bê tông vuông góc với thanh chống nén b_wzcosθ. Ứng suất kéo bê tông trong thanh chống nén khi đó bằng:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Thay \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  và \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] và biểu diễn \[{{V}_{Rd,max}}\] ta được phương trình cho khả năng chịu lực cắt của thanh chống:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Để cân bằng thành phần lực thẳng đứng trong thanh chống nén, cốt thép chịu cắt sẽ được sử dụng. Độ lớn của lực thẳng đứng dựa trên ứng suất nén của thanh chống trong vùng bê tông tương ứng với một đai thép đơn - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Lực giới hạn của đai thép được xác định là \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Thay σ_c, so sánh với lực giới hạn trong cốt thép, sau khi biến đổi ta được:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Sau đó biểu diễn V_ed thành V_RDs ta được khả năng chịu lực của tiết diện với cốt thép chịu cắt thẳng đứng:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

Lực cắt dọc được truyền bởi cốt thép dọc và có thể được xác định là V_edcotgθ. Cách dẫn xuất các công thức trên có thể tìm thấy trong [4].

Sử dụng chương trình IDEA RCS, chỉ có thể kiểm tra các cấu kiện có cốt thép chịu cắt thẳng đứng. Trong trường hợp tổng quát, có thể sử dụng các phương trình sau:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Trong đó  

A_sw      là diện tích tiết diện ngang của cốt thép chịu cắt,

s           là khoảng cách giữa các đai thép,

f_ywd      là giới hạn chảy thiết kế của cốt thép chịu cắt,

b_w        là chiều rộng nhỏ nhất giữa cánh chịu kéo và cánh chịu nén. Để tính khả năng chịu lực V_Rd,max , giá trị chiều rộng tiết diện phải được giảm xuống chiều rộng danh nghĩa của tiết diện trong trường hợp tiết diện bị yếu đi do ống dẫn cáp

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ đối với ống kim loại có bơm vữa

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ đối với ống kim loại không bơm vữa           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa hoặc  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       là hệ số kể đến trạng thái ứng suất trong cánh chịu nén.

Bảng 1‑1 Xác định hệ số α_cw

Góc θ là góc giữa thanh chống nén bê tông và trục dầm vuông góc với lực cắt. Các giá trị giới hạn của cotθ áp dụng tại mỗi quốc gia có thể được tìm thấy trong Phụ lục Quốc gia tương ứng. Các giới hạn khuyến nghị được cho bởi biểu thức:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

Việc lựa chọn giá trị góc θ có thể ảnh hưởng đến giá trị khả năng chịu lực. Sự phụ thuộc của các khả năng chịu lực được thể hiện trong Hình 1.15. Hình này cho thấy khi góc θ tăng, khả năng chịu lực V_Rd,max  tăng lên, còn khả năng chịu lực V_Rd,s giảm xuống. Khả năng chịu lực V_Rd,c là hằng số, vì nó dựa trên phương pháp giàn ảo.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Tính toán đặc trưng tiết diện cho lực cắt

Để tính toán lực cắt, điều quan trọng là phải xác định các biến tiết diện ảnh hưởng đến khả năng chịu lực cắt. Các biến này bao gồm chủ yếu là chiều rộng tiết diện chịu cắt b_w, chiều cao làm việc d và cánh tay đòn z. Tiêu chuẩn [2] cung cấp các giá trị này tương quan trực tiếp với ứng suất uốn thực tế. Tuy nhiên, vấn đề là xác định các giá trị này khi hướng của mô men uốn tổng hợp (hay chính xác hơn là hướng của hợp lực khả năng chịu lực tiết diện) khác đáng kể so với hướng của hợp lực cắt. Trong trường hợp này, tiêu chuẩn EC2 không đưa ra khuyến nghị nào.

Chiều rộng tiết diện chịu cắt b_w

Chương trình IDEA RCS tính toán chiều rộng tiết diện chịu lực cắt theo phương vuông góc với hợp lực cắt. Tùy thuộc vào điều khoản trong Eurocode, chiều rộng này được tính như sau:
-  Chiều rộng nhỏ nhất của tiết diện giữa hợp lực nén bê tông và cốt thép chịu kéo theo phương vuông góc với hợp lực cắt đối với điều khoản 6.2.2 (a) và 6.2.3 (1)
- Chiều rộng tiết diện theo phương vuông góc với hợp lực cắt tại điểm kiểm tra theo điều khoản 6.2.2 (2)

Chiều cao làm việc của tiết diện

Chiều cao làm việc thường được định nghĩa là khoảng cách từ thớ bê tông chịu nén lớn nhất đến trọng tâm của cốt thép. Vì nó liên quan trực tiếp đến uốn, khoảng cách này được xác định là hình chiếu vuông góc lên đường trọng lực của mặt phẳng biến dạng.

Định nghĩa này có thể được làm rõ hơn bằng cách sử dụng vị trí của hợp lực cốt thép thay vì trọng tâm của cốt thép chịu kéo. Trong quá trình phát triển chương trình IDEA RCS, vấn đề đã được giải quyết: cách xác định chiều cao làm việc của tiết diện khi mặt phẳng tải trọng uốn không trùng với hướng của hợp lực cắt. Do đó, chiều cao làm việc được định nghĩa là khoảng cách từ thớ bê tông chịu nén lớn nhất đến hợp lực trong cốt thép chịu kéo (dựa trên ứng suất uốn) và theo hướng của hợp lực cắt, xem Hình 1.17.

Các trường hợp ngoại lệ sẽ xảy ra khi không thể xác định được thớ chịu nén hoặc hợp lực trong cốt thép chịu kéo. Trong trường hợp này, chúng tôi khuyến nghị sử dụng giá trị 0,9 h (90% chiều cao tiết diện theo hướng của hợp lực cắt). Giá trị này, người dùng có thể định nghĩa trong chương trình IDEA RCS thông qua cài đặt các biến tiêu chuẩn.

Cánh tay đòn của nội lực

Cánh tay đòn của nội lực được quy định trong điều 6.2.3 (3) [2] và được định nghĩa là "khoảng cách giữa cánh chịu kéo và cánh chịu nén". Tiêu chuẩn không định nghĩa cách tiến hành khi mặt phẳng của mô men uốn tác dụng khác với hướng của hợp lực cắt. Do đó, tương tự như trường hợp chiều cao làm việc, chúng tôi xác định khoảng cách theo hướng của hợp lực cắt. Ở đây cũng có thể gặp các trường hợp ngoại lệ tương tự, ví dụ toàn bộ tiết diện chịu nén, v.v. Trong trường hợp này, ta lấy giá trị 0,9 d (90% chiều cao làm việc của tiết diện). Giá trị này, người dùng có thể cài đặt trong chương trình IDEA RCS thông qua cài đặt các biến tiêu chuẩn.

Sự phụ thuộc giữa độ nghiêng của mặt phẳng uốn và hợp lực cắt được thể hiện rõ ràng trong Hình 1.18 và Hình 1.19. Khi độ nghiêng tăng, các giá trị chiều cao làm việc, cánh tay đòn và các khả năng chịu lực liên quan đều giảm. Trạng thái giới hạn là 90°. Với độ nghiêng này, cánh tay đòn của nội lực không thể tính được, do đó cánh tay đòn bằng không. Trong trường hợp này, giá trị được chỉ định trong cài đặt các biến tiêu chuẩn sẽ được xem xét. Do đó, có một bước nhảy ở cuối biểu đồ. Nghiên cứu này chứng minh rằng độ nghiêng tối đa được khuyến nghị là khoảng 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Trong khuôn khổ kiểm tra RCS application, một nghiên cứu về sự phụ thuộc của khả năng chịu lực cắt vào sự thay đổi lực pháp tuyến đã được thực hiện. Khả năng chịu lực V_Rd,max chỉ bị ảnh hưởng bởi hệ số α_cw, xem Hình 1.20. Hình 1.21 cho thấy giá trị không đổi của khả năng chịu lực V_Rds. Đối với khả năng chịu lực V_Rdc, sự giảm xuống là do lực pháp tuyến tăng lên. Đường cong màu xanh trong Hình 1.21 thể hiện khả năng chịu lực V_Rdc khi bỏ qua ảnh hưởng của vết nứt và được tính theo công thức trong điều 6.2.2 (1) [2]. Bước nhảy trong quá trình chuyển tiếp giữa nén và kéo là do cốt thép chịu kéo tham gia. Đường cong màu đỏ được tính theo công thức trong điều 6.2.2 (2) [2]. Sau khi vết nứt đầu tiên xuất hiện, đường cong phụ thuộc giống như đối với điều 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Giả thiết tính toán

Ứng xử của tiết diện bê tông cốt thép chịu xoắn có thể được chia thành hai giai đoạn - trước và sau khi vết nứt có thể xuất hiện lần đầu. Trước khi nứt, tiết diện ứng xử như vật liệu đàn hồi. Ứng suất xoắn có thể được biểu diễn bằng công thức   

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

trong đó W_t là mô đun tiết diện chịu xoắn.

Vết nứt trong cấu kiện không có cốt thép do ứng suất kéo chính từ xoắn cũng là trạng thái giới hạn cực hạn. Ứng xử của tiết diện bê tông cốt thép chịu xoắn có thể được mô tả dựa trên cơ sở tiết diện kín thành mỏng tương đương, xem hình dưới đây. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Quy trình tính toán

Quy trình kiểm tra tiêu chuẩn bê tông cốt thép chịu xoắn rất tương tự với kiểm tra tiêu chuẩn chịu lực cắt. Trước tiên, ta kiểm tra khả năng chịu lực của bê tông. Nếu kiểm tra bê tông thỏa mãn, cốt thép có thể được thiết kế theo các quy tắc cấu tạo. Ngược lại, cần phải kiểm tra cốt thép và khả năng chịu lực của thanh chéo chịu nén bằng tính toán.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Khả năng chịu lực

Dòng lực cắt trong thành của tiết diện kín thành mỏng chịu xoắn có thể được biểu diễn như sau:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Lực cắt trong thành của tiết diện kín thành mỏng có thể được biểu diễn như sau:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Trong đó 

τ          Dòng lực cắt trong thành,

t_ef         là chiều dày thành hiệu dụng,

z           là chiều dài cạnh của thành,

T_Ed       là mô men xoắn,

A_k        là diện tích được bao bởi đường trung tâm của các thành liên kết, bao gồm cả các vùng rỗng bên trong.

Mô men xoắn gây nứt, có thể được xác định bằng cách thay f_ctd vào biểu thức trước. Từ đó ta thu được biểu thức cho khả năng chịu xoắn không có cốt thép chịu xoắn.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

trong đó  f_ctd       giá trị thiết kế cường độ kéo dọc trục của bê tông

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

Khả năng chịu lực của cấu kiện có cốt thép chịu xoắn được tổng hợp từ khả năng chịu lực của các thanh chéo bê tông chịu nén, dựa trên phương pháp tương tự giàn. Ứng suất nén trong thanh chéo có thể được biểu diễn thông qua lực cắt trong thành của tiết diện kín thành mỏng trên bề mặt thành đang xét, tức là:

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Thay σ_c=σ_cwf_cd và T_Ed=T_Rd,max và biểu diễn T_Rd,max ta thu được phương trình cho khả năng chịu lực của thanh chéo chịu nén

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

trong đó  

ν          = 0,6 với f_ck ≤ 60MPa hoặc  với f_ck > 60MPa

α_cw       hệ số kể đến trạng thái ứng suất nén trong cánh chịu nén

f_cd        giá trị thiết kế cường độ chịu nén của bê tông

khả năng chịu lực của cốt thép đai chịu xoắn cũng dựa trên ứng suất trong thanh chéo chịu nén. Lực trong đai thép bằng ứng suất trong thanh chéo chịu nén trên diện tích tương ứng với từng hàng đai, tức là:

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

Thay  T_Ed=T_Rd,s và biểu diễn T_Rd,s  ta thu được phương trình:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Nếu biết lượng cốt thép dọc và cốt thép đai, ta có thể xác định góc θ theo biểu thức

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

Thay vào T_Rd,s ta thu được

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Trong đó

A_sw      diện tích cốt thép đai chịu cắt

s           là khoảng cách hướng tâm của các đai cốt thép chịu cắt

f_ywd      là cường độ thiết kế hiệu dụng của cốt thép đai chịu cắt

A_sl       diện tích cốt thép dọc

u_k         là chu vi ngoài của tiết diện

f_ywd      là cường độ thiết kế hiệu dụng của cốt thép dọc

Lực trong cốt thép dọc có thể được suy ra từ lực cắt trong thành của tiết diện chịu mô men xoắn thuần túy, được xác định như sau:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Lực đó được chuyển sang phương dọc trục và ta thu được:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

Phạm vi cho phép của góc θ tương tự như kiểm tra lực cắt, tức là 1 < cot θ < 2,5. Sự phụ thuộc giữa các khả năng chịu lực có thể thấy trong hình dưới đây. Biểu đồ cho thấy khi tăng góc θ  thì khả năng chịu lực T_Rd,max tăng lên,  khả năng chịu lực T_Rd.s giảm xuống và khả năng chịu lực T_Rd,c không đổi, vì nó không dựa trên phương pháp tương tự giàn.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Tính toán đặc trưng tiết diện cho xoắn

Để kiểm tra tiêu chuẩn tiết diện chịu xoắn, cần thiết lập tiết diện kín thành mỏng tương đương. Khi xác định kích thước của tiết diện thành mỏng tương đương, giả thiết hình dạng chữ nhật. Đối với diện tích thực của hình chữ nhật, A = b×h và chu vi hình chữ nhật u =2 (b +h). Sử dụng hai phương trình này có thể xác định diện tích và chu vi của tiết diện thành mỏng tương đương hình chữ nhật. Giải hệ hai phương trình hai ẩn số ta thu được:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

Chiều dày thành của tiết diện hiệu dụng có thể được xác định từ chu vi và diện tích tiết diện như sau:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Sau đó diện tích và chu vi xác định theo đường trung tâm của tiết diện hiệu dụng:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Vấn đề với phương pháp này là đối với tiết diện chữ T có bản cánh rộng khi diện tích và chu vi tổng thể được lấy để tính toán kích thước (bao gồm cả bản cánh này). Trong các phiên bản tương lai của chương trình IDEA RCS, sẽ cho phép lựa chọn phần tiết diện có kích thước lớn nhất, để sử dụng kiểm tra xoắn.

Tương tác giữa lực cắt và xoắn đối với cốt thép chịu cắt

Xác định lực trong cốt thép chịu cắt do lực cắt. 

Tính toán dựa trên công thức xác định khả năng chịu lực của cốt thép chịu cắt được định nghĩa trong EN 1992-1-1. Dựa trên phương trình 6.13 (mục 6.2.3 (4)), khả năng chịu lực của một nhánh đai thép có thể được suy ra như sau:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . diện tích mặt cắt ngang của một nhánh đai thép chịu cắt trong mặt cắt đang xét

s .  .  .  .  . khoảng cách của cốt thép chịu cắt theo phương trục dọc cấu kiện 

a_sw,V .  .  . diện tích mặt cắt ngang của cốt thép chịu cắt trên một đơn vị chiều dài

z .  .  .  .  . cánh tay đòn nội lực. Đối với cấu kiện có chiều cao không đổi, tương ứng với mô men uốn trong phần tử đang xét. Trong phân tích lực cắt của bê tông cốt thép không có lực dọc trục, thông thường có thể sử dụng giá trị gần đúng z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  giá trị thiết kế của giới hạn chảy của cốt thép chịu cắt

θ .  .  .  .  . góc giữa thanh chống nén bê tông và trục cấu kiện vuông góc với lực cắt

α .  .  .  .  . góc giữa cốt thép chịu cắt và trục cấu kiện vuông góc với lực cắt

β .  .  .  .  . độ nghiêng của nhánh đai thép so với hợp lực của lực cắt tác dụng

Lực cắt được phân phối đều cho các thanh cốt thép chịu cắt riêng lẻ dựa trên góc của cốt thép và độ cứng dọc trục của từng nhánh đai thép.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Tiếp theo, biến dạng trung bình của cốt thép theo phương hợp lực cắt có thể được suy ra:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

Biến dạng thực của cốt thép thứ i có thể được tính như sau:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

Ứng suất trong nhánh cốt thép đã cho:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Xác định lực trong từng đai thép do xoắn

Khả năng chịu xoắn của mặt cắt có thể được tính toán dựa trên mặt cắt hộp thành mỏng, trong đó cân bằng được thỏa mãn bởi dòng lực cắt khép kín. Mặt cắt đặc có thể được mô hình hóa bằng các mặt cắt thành mỏng tương đương. Đối với mặt cắt không đặc, chiều dày thành tương đương không được vượt quá chiều dày thành thực tế.

Dòng lực cắt trong các thành của mặt cắt hộp thành mỏng do xoắn có thể được tính như sau:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Lực cắt trong một thành cụ thể khi đó là:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . chiều dài đường trung tâm của thành đang xét

Lực cắt trong bụng dầm - chiều dài đường trung tâm của bụng dầm có thể được thay thế bằng giá trị cánh tay đòn "z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Lực trong đai thép chịu xoắn trên một mét chiều dài cấu kiện (trên một đơn vị chiều dài):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Phân tích lực cho từng đai thép

Nếu cùng một vật liệu được định nghĩa cho tất cả các đai thép, ứng suất do xoắn trong mỗi nhánh đai thép là không đổi. Khi đó:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

trong đó a_sw,T là tổng diện tích đai thép chịu xoắn trên một đơn vị chiều dài.

Trong trường hợp các đai thép riêng lẻ có vật liệu khác nhau, cần phải tính đến độ cứng dọc trục của từng thanh.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . số nhánh cốt thép (nhóm cốt thép) chịu xoắn

F_si,T .  .  . lực trong nhóm cốt thép thứ i do xoắn trên một đơn vị chiều dài

a_si,T .  .  . diện tích mặt cắt ngang của cốt thép chịu cắt chịu xoắn trên một đơn vị chiều dài 

E_si,T .  .  . mô đun đàn hồi Young của nhóm cốt thép thứ i chịu xoắn

ε_sw,T .  .  biến dạng trong cốt thép do xoắn

Ứng suất kết quả trong mỗi đai thép do xoắn tác dụng được tính như sau:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Tương tác V+T

Tính toán ứng suất trong đai thép do lực cắt và xoắn là tổng hợp các ứng suất do từng thành phần tải trọng riêng lẻ.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Lực kết quả trong cốt thép thứ i:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Tương tác giữa lực cắt, xoắn và uốn đối với cốt thép dọc

Xác định lực trong từng cốt thép dọc do lực dọc trục và mô men uốn

RCS application được sử dụng để tính toán phản ứng mặt cắt ngang do tổ hợp lực dọc trục và mô men uốn nhằm xác định ứng suất và biến dạng trong từng thanh cốt thép dọc và cốt thép dự ứng lực.

Xác định lực trong từng cốt thép dọc do lực cắt

Gia số lực kéo trong cốt thép dọc ΔF_td do lực cắt phụ thuộc vào hình học của mô hình thanh chống - giằng. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  gia số lực kéo trong cốt thép dọc do lực cắt

V_ed .  .  .  . giá trị thiết kế của lực cắt tác dụng trong mặt cắt đang xét

θ .  .  .  .  . góc giữa thanh chống nén bê tông và trục cấu kiện 

α .  .  .  .  . góc giữa cốt thép chịu cắt và trục cấu kiện

Đối với cốt thép dọc nằm trong cánh chịu kéo, lực kết quả F_t trong cốt thép dọc do tổ hợp N+M+V không được lấy lớn hơn M_Ed,max/z (trong đó M_Ed,max là mô men lớn nhất dọc theo dầm)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

Lực ΔF_td được truyền bởi tất cả các cáp DƯL có liên kết dính và cốt thép dọc nằm trong phần mặt cắt ngang chịu cắt (bụng dầm trong trường hợp tiết diện chữ I). Về phía an toàn, đóng góp của cốt thép dự ứng lực có thể được lấy bằng 0. Giả thiết tính toán là gia số biến dạng dọc trục của từng cốt thép dọc chịu cắt là không đổi (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). Cách suy dẫn có giá trị đối với biểu đồ làm việc hai đường thẳng của cốt thép với nhánh dẻo nằm ngang. Trong trường hợp biểu đồ có nhánh nghiêng, tính toán phải được điều chỉnh.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . gia số biến dạng trong cốt thép dọc do lực cắt

n_s,V .  .  .  . số cốt thép dọc chịu lực cắt

A_sl,i,V .  .  . diện tích cốt thép dọc thứ i chịu lực cắt

E_sl,i,V .  .  . mô đun đàn hồi Young của cốt thép dọc thứ i chịu lực cắt

n_p,V .  .  .  . số cáp DƯL chịu lực cắt

A_pl,i,V .  .  . diện tích cáp DƯL thứ i chịu lực cắt

E_pl,i,V .  .  . mô đun đàn hồi Young của cáp DƯL thứ i chịu lực cắt

Sau khi xác định giá trị lực ΔF_td, biến dạng trung bình của cốt thép Δε_V có thể được tính như sau.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Gia số ứng suất trong từng thanh cốt thép dọc do lực cắt tác dụng:

đối với cốt thép thường \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

đối với cáp DƯL \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Xác định lực trong từng cốt thép dọc do xoắn

Việc xác định cốt thép dọc chịu xoắn là rất quan trọng. Đây là các cốt thép nằm trong mặt cắt thành mỏng tương đương hữu hiệu chịu xoắn.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Theo EN 1992-1-1, cốt thép dọc chịu xoắn phải thỏa mãn một số điều kiện:

- cốt thép phải được bố trí đều dọc theo chiều dài z_i, nhưng đối với mặt cắt nhỏ, cốt thép có thể tập trung tại các góc của đai thép

- khoảng cách dọc trục lớn nhất của cốt thép dọc là 350 mm

Đóng góp của cốt thép dự ứng lực không được xét theo EN 1992-1-1.

Tiêu chuẩn EN 1992-2 quy định rằng đóng góp của cốt thép dự ứng lực có thể được xét đến, nhưng gia số ứng suất lớn nhất trong cốt thép dự ứng lực không được vượt quá Δσ_p ≤ 500MPa. Khi đó công thức có thể được điều chỉnh:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Tuy nhiên, vì gia số của cốt thép dự ứng lực có thể được xét đến nhưng tùy thuộc vào lựa chọn của người dùng. Hiện tại, cốt thép dự ứng lực không được xét trong tính toán. 

Giả thiết tính toán là gia số biến dạng dọc trục của từng cốt thép dọc chịu cắt là không đổi (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). Cách suy dẫn có giá trị đối với biểu đồ làm việc hai đường thẳng của cốt thép với nhánh dẻo nằm ngang. Trong trường hợp biểu đồ có nhánh tăng dần, tính toán phải được điều chỉnh.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . giá trị thiết kế của mô men xoắn tác dụng trong mặt cắt đang xét

θ .  .  .  .  . độ nghiêng của các thanh chéo nén so với trục dọc của dầm (giống như đối với lực cắt)

u_k .  .  .  .  chu vi của diện tích A_k

A_f .  .  .  .  diện tích được xác định bởi đường trung tâm của mặt cắt hộp thành mỏng thay thế

n_s,T .  .  .  .số cốt thép dọc bê tông chịu xoắn

A_sl,i,T .  .  . diện tích cốt thép dọc bê tông thứ i chịu xoắn

Δε_T .  .  .  .biến đổi biến dạng của cốt thép dọc do mô men xoắn

Δσ_s,i,T .  .  gia số ứng suất trong cốt thép dọc thứ i do mô men xoắn

E_sl,i,T .  .  . mô đun đàn hồi của cốt thép dọc bê tông thứ i chịu xoắn

Gia số ứng suất trong từng cốt thép dọc do mô men xoắn tác dụng:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Kiểm tra dựa trên các giả thiết chung, trong đó hai trạng thái của tiết diện được xét đến: tiết diện chưa nứt (cường độ chịu kéo của bê tông không bị bỏ qua) và tiết diện nứt hoàn toàn (cường độ chịu kéo của bê tông bị bỏ qua). Bài toán với cường độ chịu kéo của bê tông bị bỏ qua được xét theo các giả thiết của Điều 7.1 (2) EN 1992-1-1.

Khi tính toán ứng suất và độ võng, tiết diện được coi là chưa nứt nếu ứng suất kéo do uốn không vượt quá f_ct, eff. Giá trị f_ct, eff có thể được lấy bằng f_ctm hoặc f_ctm,fl. Giá trị f_ctm được sử dụng khi tính toán bề rộng vết nứt và tăng cứng do kéo.

Trong phạm vi kiểm tra này, chúng ta xét bốn trường hợp cơ bản về giới hạn ứng suất.

• 7.2 (2) Ứng suất nén trong các cấu kiện chịu tác động của môi trường thuộc các lớp tiếp xúc XD, XF và XS cần được giới hạn:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) Ứng suất trong bê tông dưới tải trọng tổ hợp tựa thường xuyên được giới hạn:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) Ứng suất kéo trong cốt thép dưới tổ hợp tải trọng đặc trưng cần được giới hạn:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Khi ứng suất gây ra bởi biến dạng cưỡng bức, ứng suất kéo không được vượt quá:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

Trong đó các giá trị k₁, k₂, k₃, k₄ áp dụng cho từng quốc gia có thể được tìm thấy trong Phụ lục Quốc gia tương ứng. Các giá trị khuyến nghị lần lượt là 0,8; 1 và 0,75, giới hạn chảy đặc trưng của cốt thép, f_ck cường độ trụ đặc trưng f_ck xác định tại 28 ngày.

Sự hình thành vết nứt

Đặc điểm của kết cấu bê tông cốt thép chịu uốn hoặc chịu kéo là xuất hiện phá hoại nứt tại các vị trí mà ứng suất kéo trong bê tông vượt quá cường độ chịu kéo của bê tông. Để đảm bảo độ bền của kết cấu cũng như tính thẩm mỹ, điều quan trọng là phải đảm bảo các vết nứt hình thành càng nhỏ càng tốt. Việc tính toán bề rộng vết nứt cũng như bề rộng tối đa cho phép đối với các cấp độ tiếp xúc khác nhau được quy định trong EN 1992-1-1, Chương 7.3.

Trong bước đầu tiên của quá trình tính toán, cần xác định tiết diện có bị nứt hay không. Bản thân bề rộng vết nứt luôn được tính từ tổ hợp tải trọng tựa thường xuyên hoặc tải trọng thường xuyên (tùy theo phụ lục quốc gia), nhưng sự hình thành vết nứt phải được kiểm tra từ tất cả các tổ hợp SLS đã xác định. Do đó, có thể xảy ra hai trường hợp:

• Ứng suất kéo lớn nhất trong thớ bê tông không vượt quá cường độ chịu kéo của bê tông từ bất kỳ tổ hợp tải trọng nào (tựa thường xuyên M_E,qp, thường xuyên M_E,fr, hoặc đặc trưng M_E,k), và do đó chúng ta xét tiết diện không bị nứt.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Nếu vết nứt xuất hiện với bất kỳ tổ hợp nào (tựa thường xuyên, thường xuyên, hoặc đặc trưng), tức là mô men uốn phát sinh từ tổ hợp tải trọng đang xét lớn hơn mô men tới hạn M_cr, thì tiết diện bị nứt từ tổ hợp tải trọng đó, và cần tính toán các đặc trưng của tiết diện đã nứt cũng như bề rộng vết nứt.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   mô men uốn thu được từ một tổ hợp tải trọng SLS nào đó. Do đó, có thể là M_E,qp, M_E,fr, hoặc M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  cường độ chịu kéo của bê tông tại thời điểm đang xét. Nếu bê tông đã đạt tuổi trên 28 ngày, chúng ta xét cường độ bằng f_ctm.

Tính toán bề rộng vết nứt

Trong cấu kiện chịu uốn, sự hình thành vết nứt được chia thành 2 hiện tượng:

• Giai đoạn hình thành vết nứt (giai đoạn số 2 trong Hình 1)
• Phát triển vết nứt ổn định (giai đoạn số 3 trong Hình 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Giai đoạn phát triển vết nứt

Đây là phần ban đầu của quá trình khi các vết nứt riêng lẻ vẫn đang dần xuất hiện cho đến khi toàn bộ phần chịu kéo của cấu kiện bị ảnh hưởng bởi các vết nứt phân bố gần như đều dọc theo chiều dài cấu kiện. Vết nứt đầu tiên hình thành khi lực trong dải chịu kéo vượt quá giá trị lực tới hạn N_r (Lực kéo tới hạn, xem bên dưới), và các vết nứt tiếp theo phát triển đến mức tải trọng tạo ra lực trong dải chịu kéo bằng khoảng 1,3N_cr (giai đoạn số 2 trong Hình 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Các vết nứt phát triển được chia thành 2 loại - vết nứt sơ cấp và thứ cấp. Vết nứt sơ cấp xuất hiện ở các thớ chịu kéo khi đạt đến cường độ chịu kéo hiệu quả của bê tông (f_ct,eff). Vết nứt sơ cấp đại diện cho dạng vết nứt đầu tiên (Hình 2). Các vết nứt thứ cấp ngắn hơn sau đó hình thành giữa các vết nứt sơ cấp (Hình 3). Tại các ứng suất tương ứng với khoảng 1,2 đến 1,5 σ_sr (thường lấy giá trị trung bình là 1,3 σ_sr, trong đó σ_sr là ứng suất trong cốt thép tại thời điểm hình thành vết nứt sơ cấp trong vùng chịu kéo của bê tông), sự phát triển của các vết nứt thứ cấp cũng hoàn tất.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

Bề rộng vết nứt ở giai đoạn hình thành vết nứt có thể được tính như sau:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Giai đoạn vết nứt ổn định

Sau khi vượt quá khoảng 1,3 lần lực tới hạn trong vùng chịu kéo, không có vết nứt mới nào hình thành, số lượng vết nứt trong cấu kiện được ổn định, và chỉ có bề rộng của các vết nứt hiện có tăng lên khi tải trọng tiếp tục tăng (giai đoạn số 3 trong Hình 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

Bề rộng vết nứt trong giai đoạn phát triển ổn định có thể được tính như sau:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Lực kéo tới hạn

Tính toán dựa trên Mô hình Dải Chịu Kéo (TCM). Xét cơ bản là tính toán khả năng chịu lực cực hạn của một dải bê tông cốt thép được tạo thành bởi một thanh cốt thép có diện tích A_s,eff được bao quanh bởi diện tích bê tông chịu kéo hiệu quả A_c,eff, có khả năng chịu ứng suất kéo cho đến khi cường độ chịu kéo f_ct,eff bị vượt quá (thông thường chúng ta xét f_ctm). Giả sử liên kết dính hoàn hảo giữa cốt thép và bê tông, chúng ta có thể xét rằng cho đến khi vết nứt đầu tiên xuất hiện, biến dạng của cốt thép và bê tông xung quanh là như nhau. Khi đó lực lớn nhất trong dải chịu kéo ngay trước khi xuất hiện vết nứt đầu tiên N_r có thể được xác định:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Bằng cách đặt thay thế

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

ta được:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Ngay sau khi vết nứt đầu tiên hình thành, toàn bộ lực N_r được truyền qua cốt thép và do đó ứng suất trong cốt thép đi qua vết nứt vừa hình thành có thể được tính như sau:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Tính toán bề rộng vết nứt theo EC 1992-1-1

Phương trình sau được sử dụng để tính toán bề rộng vết nứt trên các cấu kiện bê tông cốt thép:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   khoảng cách vết nứt lớn nhất

ε_sm  .   .   .   .   biến dạng trung bình của cốt thép từ tổ hợp tải trọng, bao gồm các hiệu ứng tăng cứng do kéo.

ε_cm  .   .   .   .   biến dạng trung bình của bê tông giữa các vết nứt

Tính toán hiệu số biến dạng

Hiệu số biến dạng của cốt thép và bê tông giữa các vết nứt có thể được xác định từ phương trình:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   ứng suất trong cốt thép tại vết nứt từ tổ hợp tải trọng đang xét

k_t      .   .   .   .   hệ số thực nghiệm tính đến biến dạng trung bình, phụ thuộc vào thời gian tác dụng của tải trọng. Có thể lấy giá trị 0,6 cho phân tích ngắn hạn. Đối với phân tích dài hạn, sự giảm độ cứng của cấu kiện liên hợp xuống khoảng 70% được tính đến, do đó giá trị của nó là 0,4, bao gồm tốc độ suy giảm lực dính giữa cốt thép và bê tông theo thời gian.

α_e     .   .   .   . tỷ số hiệu quả của các mô đun đàn hồi

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   hàm lượng cốt thép hiệu quả

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   diện tích hiệu quả của bê tông chịu kéo bao quanh cốt thép (xác định A_c,eff bên dưới)

A_s,_eff .   .   .   .   diện tích cốt thép có liên kết dính nằm trong vùng A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   là diện tích cáp DƯL căng trước hoặc căng sau trong vùng A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   là tỷ số điều chỉnh của cường độ liên kết dính, tính đến đường kính khác nhau của thép DƯL và cốt thép thường:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . tỷ số cường độ liên kết dính của thép DƯL và cốt thép thường (Bảng 6.2)

ϕ_s   .   .  đường kính thanh lớn nhất của cốt thép thường

ϕ_p   .   .  đường kính hoặc đường kính tương đương của thép DƯL

Đối với bó cáp, A_p là diện tích cốt thép trong cáp DƯL

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Đối với cáp bảy sợi đơn, trong đó φ_wire là đường kính sợi

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Đối với cáp ba sợi đơn, trong đó φ_wire là đường kính sợi

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Nếu chỉ sử dụng cốt thép DƯL để ngăn ngừa nứt, thì cần xét điều kiện sau.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Trong các cấu kiện DƯL, không yêu cầu diện tích tối thiểu của cốt thép có liên kết dính miễn là, dưới tổ hợp tải trọng đặc trưng và giá trị đặc trưng của lực DƯL, ứng suất kéo tại bất kỳ thớ nào không lớn hơn cường độ chịu kéo của bê tông, f_ct,eff. (xem EN 1992-1-1 mục 7.3.2 để biết thêm chi tiết)

Diện tích hiệu quả của bê tông chịu kéo

Bước quan trọng nhưng đồng thời cũng phức tạp nhất trong tính toán là xác định diện tích hiệu quả của bê tông chịu kéo bao quanh cốt thép. Cả Eurocode và Model Code đều xét các dạng tải trọng đơn giản, trong đó cấu kiện bê tông cốt thép chịu uốn một trục hoặc chịu kéo. Giá trị chiều cao hiệu quả được xác định như sau:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Thông thường, giá trị h_c,eff = 2,5(h-d) là giá trị quyết định. Đối với cấu kiện chịu kéo, giới hạn trên là h/2, trong khi đối với cấu kiện chịu uốn là (h-x)/3. Tuy nhiên, diện tích A_c,eff cũng bị giới hạn bởi chiều rộng xác định từ phương trình 5(c+ϕ/2). Nếu khoảng cách giữa các thanh cốt thép lớn hơn 5(c+ϕ/2), thì diện tích hiệu quả của bê tông chịu kéo có chiều rộng 5(c+ϕ/2) được xét cho từng thanh riêng lẻ.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Khoảng cách vết nứt lớn nhất

Khi tính toán khoảng cách vết nứt lớn nhất s_r,max, có thể xảy ra hai trường hợp:

• Khoảng cách trục của cốt thép có liên kết dính không vượt quá khoảng cách 5(c+ϕ/2) - Hình 9a
• Khoảng cách trục của cốt thép có liên kết dính lớn hơn 5(c+ϕ/2) - Hình 9b

Tính toán khoảng cách vết nứt lớn nhất s_r,max cho trường hợp khoảng cách trục của các thanh cốt thép không vượt quá giá trị 5(c+ϕ/2) được xác định như sau:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   giá trị lớp bảo vệ bê tông tính bằng mm. Vì giá trị lớp bảo vệ có thể khác nhau đối với cốt thép biên theo cả hai cạnh ngang và đứng, nên khuyến nghị lấy giá trị lớp bảo vệ lớn nhất tìm được cho cốt thép đang xét.

ϕ     .   .   .   .   đường kính của cốt thép có liên kết dính. Trong trường hợp các đường kính cốt thép khác nhau, đường kính tương đương phải được tính toán theo phương trình 7.12 của EN 1992-1-1.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . là hệ số tính đến đặc tính liên kết dính của cốt thép có liên kết dính

• k₁ = 0,8 đối với thanh có liên kết dính cao
• k₁ = 1,6 đối với thanh có bề mặt trơn nhẵn hiệu quả (ví dụ: cáp DƯL)

k₂ .   .   .   . là hệ số tính đến sự phân bố biến dạng

• k₂ = 1,0 đối với uốn
• k₂ = 0,5 đối với kéo thuần túy

Đối với các trường hợp kéo lệch tâm hoặc các vùng cục bộ, nên sử dụng các giá trị trung gian của k₂, có thể được tính từ quan hệ:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  hệ số biểu thị chiều dài vùng gần vết nứt nơi liên kết dính giữa bê tông và cốt thép bị phá vỡ. Giá trị khuyến nghị cơ bản của EC k₃ = 3,4 có thể được điều chỉnh bởi Phụ lục Quốc gia. 

k₄      .   .   .   .   hệ số biểu thị mối quan hệ giữa cường độ liên kết dính và cường độ chịu kéo của bê tông. Giá trị khuyến nghị cơ bản của EC k4 = 0,425 có thể được điều chỉnh bởi Phụ lục Quốc gia.

Tính toán khoảng cách vết nứt lớn nhất s_r,max cho trường hợp khoảng cách trục của các thanh cốt thép vượt quá giá trị 5(c+ϕ/2) được xác định như sau:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Các giá trị khoảng cách vết nứt lớn nhất theo phương trình

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

luôn phải lớn hơn các giá trị xác định theo phương trình

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

nếu không, khuyến nghị lấy khoảng cách lớn hơn thu được từ các phương trình trên. Phương trình tính biến dạng trong bê tông/cốt thép không được điều chỉnh cho trường hợp khoảng cách trục lớn của cốt thép. Trong các vùng có kiểm soát bề rộng vết nứt, khoảng cách trục của từng thanh cốt thép không được lớn hơn 5(c+ϕ/2).

Tính toán bề rộng vết nứt được thực hiện trong RCS

Xác định diện tích hiệu quả A_c,eff

Vì việc xác định cốt thép nào có thể được coi là cốt thép dọc chống nứt không phải là điều đơn giản, A_c,eff được xác định bằng quá trình lặp sau đây.

• Từ tất cả cốt thép chịu kéo, trọng tâm lực kéo C_g,s,1 được xác định. Chiều cao hiệu quả của cốt thép d là khoảng cách giữa C_g,s và thớ bê tông chịu nén lớn nhất được tính theo phương của mô men uốn tổng hợp. Đồng thời, vị trí của trục trung hòa và chiều cao vùng nén x cho tiết diện đã nứt được xác định. Điều này cho phép xác định chiều cao hiệu quả h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Bằng cách loại trừ tất cả cốt thép nằm ngoài A_c,eff,1, trọng tâm mới của cốt thép C_g,s,2 được xác định, cùng với chiều cao hiệu quả mới của cốt thép d, chiều cao hiệu quả h_c,eff được xác định theo cách tương tự như bước trước, chỉ với các giá trị đầu vào đã thay đổi.

Một lần nữa, kiểm tra rằng tất cả cốt thép chịu kéo đang xét nằm trong A_c,eff,2. Nếu điều kiện này được thỏa mãn, quá trình lặp có thể kết thúc và các giá trị h_c,eff,2, A_c,eff,2 và A_s,eff,2 được hiển thị là các giá trị kết quả trong IDEA StatiCa RCS.

Các trường hợp có thể xảy ra khi tính toán bề rộng vết nứt

Nhìn chung, có thể xảy ra ba trường hợp khi tính toán bề rộng vết nứt:

• Cốt thép chịu kéo nằm trong vùng A_c,eff, với khoảng cách trục của từng thanh cốt thép nhỏ hơn 5(c+ϕ/2). Khi đó các định nghĩa sau được sử dụng để tính toán:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Cốt thép chịu kéo nằm trong A_c,eff, với khoảng cách trục của từng thanh cốt thép vượt quá khoảng cách 5(c+ϕ/2). Khi đó các định nghĩa sau được sử dụng để tính toán:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Cốt thép chịu kéo không nằm trong A_c,eff (điều này có thể xảy ra, ví dụ, do lớp bảo vệ quá dày). 

Trong trường hợp này, không thể tính toán bề rộng vết nứt. Do đó, việc tính toán chiều cao hiệu quả h_c,eff được điều chỉnh như sau:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Đồng thời, sự không phù hợp sau đây được hiển thị:

Diện tích hiệu quả của bê tông chịu kéo bao quanh cốt thép hoặc cáp DƯL có chiều cao h_c,eff, trong đó h_c,eff là giá trị nhỏ hơn giữa 2,5(h – d) hoặc h/2. Khi xét giá trị (h – x)/3, cốt thép nằm ngoài vùng hiệu quả của bê tông chịu kéo, và do đó không thể tính toán bề rộng vết nứt theo điều 7.3.4.

Biểu đồ N-M-κ thể hiện độ cong (độ cứng uốn) của cấu kiện theo hàm của mô men uốn tác dụng và lực dọc. Có ba loại biểu đồ N-M-κ:
- ngắn hạn,
- dài hạn
- ULS.
Các biểu đồ này khác nhau ở loại biểu đồ ứng suất - biến dạng được sử dụng trong tính toán (giải thích bên dưới).

Việc tính toán độ cứng cho các trạng thái đặc trưng được chọn của tiết diện được sử dụng để xác định biểu đồ N-M-κ. Nhìn chung, đây có thể là bất kỳ trạng thái tiết diện nào mà từ đó phản ứng được tính toán và độ cứng uốn cũng như độ cong được suy ra. Trong IDEA RCS, chúng tôi xét bốn điểm đặc trưng (M_r, M_c, M_s và M_u)

M_r - mô men nứt 

Tiết diện chịu lực dọc do người dùng xác định và mặt phẳng biến dạng bắt đầu xoay (theo chiều của mô men uốn xác định) cho đến khi cường độ kéo giới hạn của bê tông đạt được tại một thớ bê tông (đối với cấp bê tông C30/37, đây là f_ctm = 2,896 MPa). Biểu đồ ứng suất - biến dạng hai tuyến tính với nhánh dẻo nằm ngang cho cả cốt thép và bê tông được sử dụng trong tính toán.

M_c - mô men uốn khi cường độ chịu nén của bê tông đạt giới hạn

Từ bước trước, thớ bê tông chịu nén được khai thác nhiều nhất được xác định. Đối với thớ này, biến dạng tại cường độ giới hạn của bê tông (f_ck/E_cm cho ngắn hạn, f_ck/E_ceff cho dài hạn và f_cd/E_cm cho biểu đồ ULS) được đặt. Dựa trên lực dọc xác định và chiều của mô men uốn, quá trình lặp để tìm mặt phẳng biến dạng được thực hiện nhằm tìm trạng thái cân bằng giữa phản ứng của tiết diện và lực dọc xác định.  Biểu đồ ứng suất - biến dạng hai tuyến tính với nhánh dẻo nằm ngang cho cả cốt thép và bê tông được sử dụng trong tính toán.

M_s - mô men uốn khi giới hạn chảy trong thanh cốt thép được khai thác nhiều nhất đạt giới hạn

Một điểm đặc trưng khác của biểu đồ N-M-κ là trạng thái ứng suất của tiết diện khi giới hạn chảy trong thanh cốt thép được khai thác nhiều nhất đạt giới hạn (biến dạng cốt thép bằng f_yk/E_s cho biểu đồ ngắn hạn và dài hạn, f_yd/E_s cho biểu đồ ULS). Quá trình lặp tìm trạng thái cân bằng lực dọc trong tiết diện bằng cách xoay mặt phẳng biến dạng quanh điểm được xác định bởi vị trí của thanh cốt thép được khai thác nhiều nhất. Biểu đồ ứng suất - biến dạng hai tuyến tính với nhánh dẻo nằm ngang cho cả cốt thép và bê tông được sử dụng trong tính toán.

M_u - mô men uốn tại trạng thái giới hạn cực hạn

Đây là khả năng chịu tải trọng cực hạn của tiết diện khi chịu uốn, khi tiết diện chịu lực dọc thiết kế xác định N_ed. Để tính toán khả năng chịu lực của tiết diện, giả thiết rằng cường độ chịu nén tại thớ bê tông được khai thác nhiều nhất và cường độ chịu kéo tại thanh cốt thép được khai thác nhiều nhất đều đạt giới hạn (biến dạng tối đa cho bê tông ε_cu = 0,1 và cho cốt thép ε_s,max = 0,5). Biểu đồ ứng suất - biến dạng hai tuyến tính với nhánh dẻo nằm ngang cho cốt thép và biểu đồ parabol-chữ nhật cho bê tông được sử dụng trong tính toán.

Độ cứng và độ cong kết quả do tổ hợp lực dọc và mô men uốn do người dùng xác định ( Md) sau đó được tính toán bằng nội suy tuyến tính giữa các điểm đặc trưng riêng lẻ của biểu đồ N-M-κ.

Tính toán độ cứng và độ cong

Độ cứng và độ cong cho mỗi trạng thái ứng suất tiết diện (M_r, M_c, M_s hoặc M_u) được tính trực tiếp từ góc xoay của mặt phẳng biến dạng. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    độ cứng dọc trục của cấu kiện

N . .   .   . lực dọc xác định

ε_x .   .   .  biến dạng dọc trục tại trọng tâm của tiết diện bê tông

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   độ cứng uốn của cấu kiện

M .   .   .    mô men uốn tính toán M_r, M_c, M_s hoặc M_u

κ .   .   .   . độ cong của cấu kiện, tính bằng tang của góc giữa mặt phẳng biến dạng và trục dọc của cấu kiện

Ví dụ thực tế

Một tiết diện bê tông (cấp bê tông C30/37) được gia cường bằng cốt thép ϕ32 (cấp B500B). Tổ hợp tải trọng tựa thường xuyên xác định là N = -730 kN và M_y = 557 kNm.

Mặt phẳng biến dạng cho điểm đặc trưng M_s được IDEA RCS xác định như sau:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Biểu đồ ứng suất - biến dạng sử dụng trong tính toán

Cốt thép - M_r, M_c, M_s và M_u

Bê tông - M_r, M_c, M_s

Bê tông - M_u

[1] Bradáč Betonové konstrukce (concrete structures), 1.part: Dimensioning of members from reinforced and plainconcrete, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings, inc. change NA ed. A (2007) and revision 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, on-line book http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010