Tương tác giữa lực cắt và xoắn đối với cốt thép chịu cắt
Xác định lực trong cốt thép chịu cắt do lực cắt.
Tính toán dựa trên công thức xác định khả năng chịu lực của cốt thép chịu cắt được định nghĩa trong EN 1992-1-1. Dựa trên phương trình 6.13 (mục 6.2.3 (4)), khả năng chịu lực của một nhánh đai thép có thể được suy ra như sau:
\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha \right)\sin \alpha \cos \beta \]
\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]
Asw,V . . . diện tích mặt cắt ngang của một nhánh đai thép chịu cắt trong mặt cắt đang xét
s . . . . . khoảng cách của cốt thép chịu cắt theo phương trục dọc cấu kiện
asw,V . . . diện tích mặt cắt ngang của cốt thép chịu cắt trên một đơn vị chiều dài
z . . . . . cánh tay đòn nội lực. Đối với cấu kiện có chiều cao không đổi, tương ứng với mô men uốn trong phần tử đang xét. Trong phân tích lực cắt của bê tông cốt thép không có lực dọc trục, thông thường có thể sử dụng giá trị gần đúng z = 0,9d.
fywd . . . giá trị thiết kế của giới hạn chảy của cốt thép chịu cắt
θ . . . . . góc giữa thanh chống nén bê tông và trục cấu kiện vuông góc với lực cắt
α . . . . . góc giữa cốt thép chịu cắt và trục cấu kiện vuông góc với lực cắt
β . . . . . độ nghiêng của nhánh đai thép so với hợp lực của lực cắt tác dụng
Lực cắt được phân phối đều cho các thanh cốt thép chịu cắt riêng lẻ dựa trên góc của cốt thép và độ cứng dọc trục của từng nhánh đai thép.
\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]
\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]
Tiếp theo, biến dạng trung bình của cốt thép theo phương hợp lực cắt có thể được suy ra:
\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]
Biến dạng thực của cốt thép thứ i có thể được tính như sau:
\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]
Ứng suất trong nhánh cốt thép đã cho:
\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]
Xác định lực trong từng đai thép do xoắn
Khả năng chịu xoắn của mặt cắt có thể được tính toán dựa trên mặt cắt hộp thành mỏng, trong đó cân bằng được thỏa mãn bởi dòng lực cắt khép kín. Mặt cắt đặc có thể được mô hình hóa bằng các mặt cắt thành mỏng tương đương. Đối với mặt cắt không đặc, chiều dày thành tương đương không được vượt quá chiều dày thành thực tế.
Dòng lực cắt trong các thành của mặt cắt hộp thành mỏng do xoắn có thể được tính như sau:
\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]
Lực cắt trong một thành cụ thể khi đó là:
\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]
li . . . . chiều dài đường trung tâm của thành đang xét
Lực cắt trong bụng dầm - chiều dài đường trung tâm của bụng dầm có thể được thay thế bằng giá trị cánh tay đòn "z".
\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]
Lực trong đai thép chịu xoắn trên một mét chiều dài cấu kiện (trên một đơn vị chiều dài):
\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]
Phân tích lực cho từng đai thép
Nếu cùng một vật liệu được định nghĩa cho tất cả các đai thép, ứng suất do xoắn trong mỗi nhánh đai thép là không đổi. Khi đó:
\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]
trong đó asw,T là tổng diện tích đai thép chịu xoắn trên một đơn vị chiều dài.
Trong trường hợp các đai thép riêng lẻ có vật liệu khác nhau, cần phải tính đến độ cứng dọc trục của từng thanh.
\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]
\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]
nT . . . . số nhánh cốt thép (nhóm cốt thép) chịu xoắn
Fsi,T . . . lực trong nhóm cốt thép thứ i do xoắn trên một đơn vị chiều dài
asi,T . . . diện tích mặt cắt ngang của cốt thép chịu cắt chịu xoắn trên một đơn vị chiều dài
Esi,T . . . mô đun đàn hồi Young của nhóm cốt thép thứ i chịu xoắn
εsw,T . . biến dạng trong cốt thép do xoắn
Ứng suất kết quả trong mỗi đai thép do xoắn tác dụng được tính như sau:
\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]
Tương tác V+T
Tính toán ứng suất trong đai thép do lực cắt và xoắn là tổng hợp các ứng suất do từng thành phần tải trọng riêng lẻ.
\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]
Lực kết quả trong cốt thép thứ i:
\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]
Tương tác giữa lực cắt, xoắn và uốn đối với cốt thép dọc
Xác định lực trong từng cốt thép dọc do lực dọc trục và mô men uốn
RCS application được sử dụng để tính toán phản ứng mặt cắt ngang do tổ hợp lực dọc trục và mô men uốn nhằm xác định ứng suất và biến dạng trong từng thanh cốt thép dọc và cốt thép dự ứng lực.
Xác định lực trong từng cốt thép dọc do lực cắt
Gia số lực kéo trong cốt thép dọc ΔFtd do lực cắt phụ thuộc vào hình học của mô hình thanh chống - giằng.
\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha \right)\]
ΔFtd . . . gia số lực kéo trong cốt thép dọc do lực cắt
Ved . . . . giá trị thiết kế của lực cắt tác dụng trong mặt cắt đang xét
θ . . . . . góc giữa thanh chống nén bê tông và trục cấu kiện
α . . . . . góc giữa cốt thép chịu cắt và trục cấu kiện
Đối với cốt thép dọc nằm trong cánh chịu kéo, lực kết quả Ft trong cốt thép dọc do tổ hợp N+M+V không được lấy lớn hơn MEd,max/z (trong đó MEd,max là mô men lớn nhất dọc theo dầm)
\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]
Lực ΔFtd được truyền bởi tất cả các cáp DƯL có liên kết dính và cốt thép dọc nằm trong phần mặt cắt ngang chịu cắt (bụng dầm trong trường hợp tiết diện chữ I). Về phía an toàn, đóng góp của cốt thép dự ứng lực có thể được lấy bằng 0. Giả thiết tính toán là gia số biến dạng dọc trục của từng cốt thép dọc chịu cắt là không đổi (Δεs1,V = Δεs2,V = .... =Δεp1,V = Δεp2,V = ... = ΔεV = const.). Cách suy dẫn có giá trị đối với biểu đồ làm việc hai đường thẳng của cốt thép với nhánh dẻo nằm ngang. Trong trường hợp biểu đồ có nhánh nghiêng, tính toán phải được điều chỉnh.
\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]
\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]
ΔεV . . . . gia số biến dạng trong cốt thép dọc do lực cắt
ns,V . . . . số cốt thép dọc chịu lực cắt
Asl,i,V . . . diện tích cốt thép dọc thứ i chịu lực cắt
Esl,i,V . . . mô đun đàn hồi Young của cốt thép dọc thứ i chịu lực cắt
np,V . . . . số cáp DƯL chịu lực cắt
Apl,i,V . . . diện tích cáp DƯL thứ i chịu lực cắt
Epl,i,V . . . mô đun đàn hồi Young của cáp DƯL thứ i chịu lực cắt
Sau khi xác định giá trị lực ΔFtd, biến dạng trung bình của cốt thép ΔεV có thể được tính như sau.
\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]
Gia số ứng suất trong từng thanh cốt thép dọc do lực cắt tác dụng:
đối với cốt thép thường \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]
đối với cáp DƯL \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]
Xác định lực trong từng cốt thép dọc do xoắn
Việc xác định cốt thép dọc chịu xoắn là rất quan trọng. Đây là các cốt thép nằm trong mặt cắt thành mỏng tương đương hữu hiệu chịu xoắn.
\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]
Theo EN 1992-1-1, cốt thép dọc chịu xoắn phải thỏa mãn một số điều kiện:
- cốt thép phải được bố trí đều dọc theo chiều dài zi, nhưng đối với mặt cắt nhỏ, cốt thép có thể tập trung tại các góc của đai thép
- khoảng cách dọc trục lớn nhất của cốt thép dọc là 350 mm
Đóng góp của cốt thép dự ứng lực không được xét theo EN 1992-1-1.
Tiêu chuẩn EN 1992-2 quy định rằng đóng góp của cốt thép dự ứng lực có thể được xét đến, nhưng gia số ứng suất lớn nhất trong cốt thép dự ứng lực không được vượt quá Δσp ≤ 500MPa. Khi đó công thức có thể được điều chỉnh:
\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]
Tuy nhiên, vì gia số của cốt thép dự ứng lực có thể được xét đến nhưng tùy thuộc vào lựa chọn của người dùng. Hiện tại, cốt thép dự ứng lực không được xét trong tính toán.
Giả thiết tính toán là gia số biến dạng dọc trục của từng cốt thép dọc chịu cắt là không đổi (Δεs1,T = Δεs2,T = .... =Δεp1,T = Δεp2,T = ... = ΔεT = const.). Cách suy dẫn có giá trị đối với biểu đồ làm việc hai đường thẳng của cốt thép với nhánh dẻo nằm ngang. Trong trường hợp biểu đồ có nhánh tăng dần, tính toán phải được điều chỉnh.
\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]
\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]
\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]
\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]
\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]
\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]
Ted . . . . giá trị thiết kế của mô men xoắn tác dụng trong mặt cắt đang xét
θ . . . . . độ nghiêng của các thanh chéo nén so với trục dọc của dầm (giống như đối với lực cắt)
uk . . . . chu vi của diện tích Ak
Af . . . . diện tích được xác định bởi đường trung tâm của mặt cắt hộp thành mỏng thay thế
ns,T . . . .số cốt thép dọc bê tông chịu xoắn
Asl,i,T . . . diện tích cốt thép dọc bê tông thứ i chịu xoắn
ΔεT . . . .biến đổi biến dạng của cốt thép dọc do mô men xoắn
Δσs,i,T . . gia số ứng suất trong cốt thép dọc thứ i do mô men xoắn
Esl,i,T . . . mô đun đàn hồi của cốt thép dọc bê tông thứ i chịu xoắn
Gia số ứng suất trong từng cốt thép dọc do mô men xoắn tác dụng:
\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]