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Schnittgrößen für 2D-Querschnitte

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Eingabe der Schnittgrößen

Die Eingabe der Schnittgrößen von 2D-Bauteilen hängt vom Typ des 2D-Elements ab:

$Schalenplatte - Membrankräfte (n x, n y und n xy), Biegemomente (m x, m y und m xy) und Querkräfte (v x und v y) können eingegeben werden$
$Schalenwand - Membrankräfte (n x, n y und n xy), Biegemomente (m x, m y und m xy) und Querkräfte (v x und v y) können eingegeben werden$
$Platte - nur Biegemomente (m x, m y und m xy) und Querkräfte (v x und v y) können eingegeben werden$
$Wand - nur Membrankräfte (n x, n y und n xy) können eingegeben werden$
$Wandartiger Träger - nur Membrankräfte (n x, n y und n xy) können eingegeben werden$

	Beschreibung
m_x(y)	Biegemoment in Richtung der x(y)-Achse. Ein positiver Wert verursacht Zug an der Unterseite eines 2D-Elements.
m_xy(yx)	Torsionsmoment um die y(x)-Achse, das auf den zur Achse x(y) parallelen Rand wirkt. Ein positiver Wert verursacht eine Schubspannung infolge Torsion an der Unterseite eines 2D-Elements. Da in jedem Punkt des 2D-Elements der Satz von der Gleichheit zugeordneter Schubspannungen gilt, sind auch die Torsionsmomente m_xy = m_yx in jedem Punkt des 2D-Elements gleich. Daher wird im Programm nur der Wert von m_xyeingegeben.
n_x(y)	Normalkraft in Richtung der x(y)-Achse. Ein positiver Wert wirkt in Richtung der x(y)-Achse und verursacht Zug im Querschnitt.
n_xy(yx)	Normalkraft, die in der Mittelebene in Richtung der y(x)-Achse auf den zur x(y)-Achse parallelen Rand wirkt. Ein positiver Wert wirkt in Richtung der x(y)-Achse. Da in jedem Punkt des 2D-Elements der Satz von der Gleichheit zugeordneter Schubspannungen gilt, sind auch die Normalkräfte n_xy = n_yx in jedem Punkt des 2D-Elements gleich. Daher wird im Programm nur der Wert von n_xyeingegeben.
v_x(y)	Querkraft, die senkrecht zur Mittelebene auf den zur x(y)-Achse parallelen Rand wirkt. Ein positiver Wert wirkt in Richtung der z-Achse.

\textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}

Für die Nachweise müssen die folgenden Kombinationstypen definiert werden:

Grenzzustand der Tragfähigkeit/Außergewöhnlich – die für diesen Kombinationstyp definierten Schnittgrößenkomponenten werden für die GZT-Nachweise von 2D-Elementen verwendet:
- $Tragfähigkeit N-M-M$
- $Systemantwort N-M-M$
- $Interaktion$

und für den Nachweis der Bewehrungsregeln

$Charakteristisch - die für diesen Kombinationstyp definierten Schnittgrößenkomponenten werden für den Nachweis der Spannungsbegrenzung (GZG) verwendet$
$Quasi-ständig - die für diesen Kombinationstyp definierten Schnittgrößenkomponenten werden für den Nachweis der Rissbreite (GZG) verwendet$

Hinweis:

Die Schnittgrößenkomponenten v_x und v_y müssen für die Kombinationstypen Charakteristisch und Quasi-ständig nicht eingegeben werden, da diese Werte in den Nachweisen nicht verwendet werden.

Bestimmung der Nachweisrichtung

Für den korrekten Nachweis des 2D-Elements muss die Nachweisrichtung bestimmt werden. Die Nachweisrichtung kann für jeden Kombinationstyp separat mit den folgenden zwei Methoden eingegeben werden:

Benutzerdefinierte Richtung – der Benutzer definiert die Nachweisrichtung als Winkel bezogen auf die x-Achse in der Ebene des 2D-Elements. Diese Option ist für den Kombinationstyp GZT als Standard eingestellt, und der vordefinierte Winkelwert beträgt 0 Grad. Die Nachweise werden in den folgenden Richtungen geführt:
- $Definierte Richtung$
- $Richtung senkrecht zur definierten Richtung$
- $Richtung der Druckdiagonale an der Oberseite$
- $Richtung der Druckdiagonale an der Unterseite$
Richtung der Hauptspannungen – die Nachweisrichtung wird automatisch als Richtung der Hauptspannungen an der Ober- und an der Unterseite des 2D-Elements berechnet. Diese Option ist für die Kombinationstypen Charakteristisch und Quasi-ständig als Standard eingestellt. Die Nachweise werden in den folgenden Richtungen geführt:
- $Richtung der Hauptspannungen an der Unterseite$
- $Richtung senkrecht zur Richtung der Hauptspannungen an der Unterseite$
- $Richtung der Druckdiagonale an der Unterseite$
- $Richtung der Hauptspannungen an der Oberseite$
- $Richtung senkrecht zur Richtung der Hauptspannungen an der Oberseite$
- $Richtung der Druckdiagonale an der Oberseite$

\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}

Analyse der Nachweisrichtung für den Grenzzustand der Tragfähigkeit

Analyse 1

Für ein 2D-Element, das nur durch Biegemomente belastet wird (m x = 20 kNm/m, m y = 10 kNm/m, m xy = 5 kNm/m ), wurden der Bewehrungswinkel und der Winkel der Nachweisrichtung für den Grenzzustand der Tragfähigkeit variiert - die Ergebnisse sind im folgenden Diagramm dargestellt:

Die Analyse zeigt:

$Wenn die Bewehrungsstäbe senkrecht zueinander verlaufen, sind die Nachweisergebnisse für unterschiedliche Winkel der Nachweisrichtung ähnlich, sie hängen nicht vom definierten Bewehrungswinkel ab, und der Maximalwert des Nachweises tritt bei den Winkeln 0, 45 und 90 Grad auf. Daher kann dieser Nachweis für eine vordefinierte Nachweisrichtung mit einem Winkel von 0 Grad geführt werden.$
$Wenn die Bewehrungsstäbe nicht senkrecht zueinander verlaufen, unterscheiden sich die Nachweisergebnisse deutlich, und der Maximalwert des Nachweises wird ungefähr in der Richtung erreicht, die der Richtung der mittleren Bewehrung entspricht. Daher wird empfohlen, die vordefinierte Nachweisrichtung zu ändern oder die Nachweise in mehreren Richtungen zu führen, wenn die Bewehrungsstäbe nicht senkrecht zueinander verlaufen.$

Analyse 2

Für die orthogonale Bewehrung wurden die Werte der Biegemomente und der Winkel für den GZT-Normnachweis variiert. Die Ergebnisse sind im Diagramm dargestellt:

Die Analyse zeigt, dass auch bei unterschiedlichen Werten der Biegemomente der Maximalwert des Nachweises im Grenzzustand der Tragfähigkeit bei den Nachweisrichtungen 0, 45 und 90 Grad auftritt. Daher kann der Nachweis für einen vordefinierten Nachweiswinkel von 0 Grad geführt werden. Eine ähnliche Schlussfolgerung gilt für 2D-Elemente, die nur durch eine Normalkraft oder durch eine Normalkraft in Kombination mit Biegemomenten belastet werden.

Umrechnung der Schnittgrößen in die Nachweisrichtungen

Die definierten Schnittgrößen werden mit der Transformationsformel nach Baumann in die Nachweisrichtungen umgerechnet, beschrieben in Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". In : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. Das Berechnungsverfahren ist wie folgt:

$Berechnung der Normalkräfte an beiden Oberflächen des 2D-Elements$
$Berechnung der Hauptkräfte an beiden Oberflächen des 2D-Elements$
$Berechnung der umgerechneten Kräfte für jede Oberfläche in die definierte Nachweisrichtung$
$Berechnung der umgerechneten Kräfte für jede Oberfläche auf die Mittelebene$
$Umrechnung der Querkräfte in die definierte Nachweisrichtung$

Berechnung der Normalkräfte an beiden Oberflächendes 2D-Elements

Die definierten Schnittgrößen werden mit den folgenden Formeln auf beide Oberflächen umgerechnet:

{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}

{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}

~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}

Für die Umrechnung der Schnittgrößen muss der innere Hebelarm (z) bestimmt werden. Der innere Hebelarm wird mit dem Verfahren der Grenzdehnungen bei Beanspruchung durch das Hauptbiegemoment in den Richtungen der Hauptmomente m 1 an beiden Oberflächen bestimmt. Wenn die Hauptmomente gleich null sind oder wenn in der Richtung der Hauptmomente kein Gleichgewicht gefunden wird, wird der innere Hebelarm nach der folgenden Formel bestimmt:

z=x\cdot d

	Beschreibung
x	Der Beiwert zur Berechnung des inneren Hebelarms ist im National code setup definiert.
d	Die statische Nutzhöhe des Querschnitts, getrennt berechnet für die Ober- und die Unterseite des 2D-Elements. Für die Unterseite ist dies der Abstand vom Schwerpunkt der Bewehrungsstäbe an der Unterseite zum oberen Rand des Querschnitts. Für die Oberseite ist dies der Abstand vom Schwerpunkt der Bewehrungsstäbe an der Oberseite zum unteren Rand des Querschnitts.

Hinweis:

Der innere Hebelarm kann im Nachweis Response N-M-M überprüft werden. Dabei dürfen nur die Biegemomente eingegeben werden, und die Nachweisrichtung muss der Richtung des Hauptmoments entsprechen.

Im folgenden Diagramm ist die Überprüfung des inneren Hebelarms für die Biegemomente m x = 20 kNm/m, m y = 10 kNm/m, m xy = 5 kNm/m dargestellt. Die Richtung der Hauptmomente wurde mit α m1 = 22,5 Grad berechnet, und die Systemantwort des Querschnitts wurde zur Bestimmung des inneren Hebelarms berechnet.

Hinweis:

Die inneren Hebelarme für die Umrechnung der Schnittgrößen in die Nachweisrichtung und die inneren Hebelarme für die Nachweise können unterschiedlich sein. Der innere Hebelarm für die Umrechnung wird an einem durch Hauptmomente in Richtung der Hauptmomente beanspruchten Querschnitt bestimmt, der innere Hebelarm für den Nachweis dagegen an einem durch Biegemomente und Normalkräfte in Nachweisrichtung beanspruchten Querschnitt. Die Werte der inneren Hebelarme für alle Kombinationstypen werden in der Tabelle Recalculated forces im Navigator Internal forces in section angezeigt.

Berechnung der Schnittgrößen an beiden Oberflächen

Die Hauptkräfte an beiden Oberflächen des 2D-Elements werden mit der folgenden Formel berechnet:

{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}

{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}

Die Richtung der Hauptkräfte wird mit der folgenden Formel berechnet:

{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)

Hinweis:

Die Hauptkräfte und die Richtung der Hauptkräfte für beide Oberflächen des 2D-Elements werden für alle Kombinationstypen in der Tabelle Recalculated forces im Navigator Internal forces in section angezeigt.

Berechnung der umgerechneten Schnittgrößen an den Oberflächen in die definierte Nachweisrichtung

Die Umrechnung der Hauptkräfte in die Nachweisrichtungen erfolgt für jede Oberfläche getrennt mit der Transformationsformel nach Baumann:

{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}

	Beschreibung
i, j, k, i	Index der Nachweisrichtung (Richtung der Umrechnung der Schnittgrößen) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Z. B. lautet die Formel für die Unterseite und die Berechnung der Kraft in j-Richtung (Winkel α₂): ${{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}$
${{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}$	Der Winkel zwischen der definierten Nachweisrichtung bzw. der Richtung der Druckstrebe und der Richtung der Hauptkräfte an der Unter- oder Oberseite des 2D-Elements.Definierte Nachweisrichtung α_{1, low(upp)} = α₁ – α_low(upp)Richtung senkrecht zur definierten Richtung α_{2, low(upp)} = α₂ – α_low(upp)Die Nachweisrichtung für die Druckstrebe α_{3, low(upp)} = α₃ – α_low(upp)
α₁	Definierte Nachweisrichtung für die jeweilige Kombination
α₂	Die Richtung senkrecht zur definierten Richtung, α₂= α₁ + 90 Grad
α₃	Nachweisrichtung in Richtung der Druckstrebe in der Ebene des 2D-Elements. Diese Richtung wird so optimiert, dass die Kraft in dieser Richtung minimal wird.

Hinweis:

Wenn die Nachweisrichtung mit der Richtung der Hauptspannungen übereinstimmt, sind die Kräfte in der Druckstrebe null, daher wird diese Richtung im Nachweis vernachlässigtDie Richtung der Druckstrebe kann für alle Spannungszustände außer dem hyperbolischen Spannungszustand (n_1,low(upp) > 0 und n_1,low(upp) < 0) nach der folgenden Formel berechnet werden: α₃ = 0,5(α₁ + α₂)Die umgerechneten Schnittgrößen für beide Oberflächen des 2D-Elements und alle Nachweisrichtungen einschließlich der Richtung der Druckstrebe werden in der Tabelle Recalculated forces angezeigt

Transformation der umgerechneten Schnittgrößen in den Schwerpunkt des Querschnitts

Für den Nachweis des 2D-Elements müssen die Oberflächenkräfte in einer bestimmten Richtung in den Schwerpunkt des Querschnitts umgerechnet werden. Das Ergebnis sind die Normalkraft n d,i und das Biegemoment m d,I, die im Schwerpunkt des Querschnitts des 2D-Elements wirken.

m d,i = n lower,i \cdotz s,low + n upper,i \cdotz s,upp

n d,i = n lower,i + n upper,i

	Beschreibung
n_lower,i	Umgerechnete Oberflächenkräfte an der Unterseite in der i-ten Nachweisrichtung, wobei n_lower,i = n_{surface,low,i}.
n_upper,i	Umgerechnete Schnittgrößen an der Oberseite in der i-ten Nachweisrichtung, wobei n_upper,i = n_{surface,upp,i}.
z_{s,low (upp)}	Abstand des Schwerpunkts des Druckbetons oder des Schwerpunkts der Bewehrung an der Unter- (Ober-)seite, wobei z = z_s,low+ z_s,upp

Hinweis:

Wenn die Richtungen der Druckstreben an der Unter- und an der Oberseite unterschiedlich sind, müssen für die Umrechnung der Kräfte in den Schwerpunkt virtuelle Kräfte an der Unterseite in Richtung der Druckstrebe an der Oberseite berechnet werden und umgekehrt.

\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}

Umrechnung der Querkräfte in die definierte Nachweisrichtung

Die Querkräfte werden mit der folgenden Formel in die Nachweisrichtung umgerechnet:

{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})

und die maximale Querkraft beträgt:

{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}

und sie wirkt in der Richtung

\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)

	Beschreibung
α_i	Winkel der Nachweisrichtung in der i-ten Richtung

Hinweis:

Beim Nachweis eines 2D-Elements mit relativ großen Querkräften ist es sinnvoll, das 2D-Element in Richtung der maximalen Querkraft nachzuweisen, d. h. die definierte Nachweisrichtung entspricht dem Winkel β

Vergleich der Umrechnung der Schnittgrößen mit verschiedenen Verfahren

Umrechnung der Schnittgrößen nach EN 1992-1-1

Das in EN 1992-1-1 beschriebene Verfahren wird in mehreren Programmen und in der Praxis zur Berechnung der Bemessungsschnittgrößen verwendet. EN 1992-1-1 berücksichtigt nur senkrecht zueinander verlaufende Bewehrungsrichtungen. Die Berechnung der Bemessungsschnittgrößen unter Berücksichtigung des Torsionsmoments ist im folgenden Ablaufdiagramm dargestellt, wobei m y ³ m x . Für Momente m y < m x kann ein ähnliches Diagramm erstellt werden

	Beschreibung
m_xd+,m_xd-	Bemessungsbiegemoment in Richtung der x-Achse für die Bemessung und den Nachweis der Bewehrung an der Unterseite (-) bzw. der Oberseite (+)
m_yd+m_yd-	Bemessungsbiegemoment in Richtung der y-Achse für die Bemessung und den Nachweis der Bewehrung an der Unterseite (-) bzw. der Oberseite (+)
m_cd+,m_cd-	Bemessungsbiegemoment in der Betondruckstrebe an der Unterseite (-) bzw. der Oberseite (+), das vom Beton aufgenommen werden muss

Die Werte der umgerechneten Bemessungsschnittgrößen für den Bauteiltyp Platte, berechnet mit dem in der EN beschriebenen Verfahren, sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

In IDEA StatiCa RCS werden nicht die Momente an der Ober- und Unterseite angezeigt, sondern die Normalkräfte an beiden Oberflächen und die in den Schwerpunkt des Querschnitts umgerechneten Momente.

Die Momente an der Unter- und Oberseite können aus den in der numerischen Ausgabe angezeigten Oberflächenkräften mit der folgenden Formel berechnet werden:

{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z

Die Werte der Oberflächenkräfte und der umgerechneten Momente sind in den folgenden Tabellen dargestellt:

Die Tabellen zeigen, dass die in IDEA Concrete berechneten Momente an den Plattenoberflächen und die nach dem in der EN beschriebenen Verfahren berechneten Momente nur an einer Oberfläche übereinstimmen. Diese Abweichung wird durch eine unterschiedliche Optimierung der Betondruckstrebe verursacht. Das in IDEA StatiCa RCS verwendete Verfahren sucht den Winkel der Druckstrebe bei minimaler Kraft in der Strebe. Das in der EN beschriebene Verfahren sucht die minimale Summe der negativen Kräfte aus allen Richtungen.

Vergleich der Berechnung der Schnittgrößen mit den Programmen RFEM und SCIA Engineer

Zum Vergleich der Ergebnisse der umgerechneten Schnittgrößen in den Programmen IDEA Concrete, RFEM und SCIA Engineer (SEN) wurde ein einfaches Modell einer Platte mit den Abmessungen 6 m x 4 m und einer Dicke von 200 mm erstellt. Die Platte ist an den Rändern linienförmig gelagert und mit einer gleichmäßig verteilten Last von 10 kN/m 2 belastet.

Zur Vereinfachung der Darstellung werden nur die Werte der umgerechneten Schnittgrößen in einem Längsschnitt angezeigt. Der Abstand des Schnitts vom Plattenrand beträgt 1,5 m. Die im Programm RFEM berechneten Schnittgrößen wurden als Eingangswerte für IDEA Concrete verwendet.

Die Tabelle zeigt eine gute Übereinstimmung der in den einzelnen Programmen berechneten Kräfte.

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Schnittgrößen für 2D-Querschnitte

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Eingabe der Schnittgrößen

Die Eingabe der Schnittgrößen von 2D-Bauteilen hängt vom Typ des 2D-Elements ab:

$Schalenplatte - Membrankräfte (n x, n y und n xy), Biegemomente (m x, m y und m xy) und Querkräfte (v x und v y) können eingegeben werden$
$Schalenwand - Membrankräfte (n x, n y und n xy), Biegemomente (m x, m y und m xy) und Querkräfte (v x und v y) können eingegeben werden$
$Platte - nur Biegemomente (m x, m y und m xy) und Querkräfte (v x und v y) können eingegeben werden$
$Wand - nur Membrankräfte (n x, n y und n xy) können eingegeben werden$
$Wandartiger Träger - nur Membrankräfte (n x, n y und n xy) können eingegeben werden$

	Beschreibung
m_x(y)	Biegemoment in Richtung der x(y)-Achse. Ein positiver Wert verursacht Zug an der Unterseite eines 2D-Elements.
m_xy(yx)	Torsionsmoment um die y(x)-Achse, das auf den zur Achse x(y) parallelen Rand wirkt. Ein positiver Wert verursacht eine Schubspannung infolge Torsion an der Unterseite eines 2D-Elements. Da in jedem Punkt des 2D-Elements der Satz von der Gleichheit zugeordneter Schubspannungen gilt, sind auch die Torsionsmomente m_xy = m_yx in jedem Punkt des 2D-Elements gleich. Daher wird im Programm nur der Wert von m_xyeingegeben.
n_x(y)	Normalkraft in Richtung der x(y)-Achse. Ein positiver Wert wirkt in Richtung der x(y)-Achse und verursacht Zug im Querschnitt.
n_xy(yx)	Normalkraft, die in der Mittelebene in Richtung der y(x)-Achse auf den zur x(y)-Achse parallelen Rand wirkt. Ein positiver Wert wirkt in Richtung der x(y)-Achse. Da in jedem Punkt des 2D-Elements der Satz von der Gleichheit zugeordneter Schubspannungen gilt, sind auch die Normalkräfte n_xy = n_yx in jedem Punkt des 2D-Elements gleich. Daher wird im Programm nur der Wert von n_xyeingegeben.
v_x(y)	Querkraft, die senkrecht zur Mittelebene auf den zur x(y)-Achse parallelen Rand wirkt. Ein positiver Wert wirkt in Richtung der z-Achse.

\textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}

Für die Nachweise müssen die folgenden Kombinationstypen definiert werden:

Grenzzustand der Tragfähigkeit/Außergewöhnlich – die für diesen Kombinationstyp definierten Schnittgrößenkomponenten werden für die GZT-Nachweise von 2D-Elementen verwendet:
- $Tragfähigkeit N-M-M$
- $Systemantwort N-M-M$
- $Interaktion$

und für den Nachweis der Bewehrungsregeln

$Charakteristisch - die für diesen Kombinationstyp definierten Schnittgrößenkomponenten werden für den Nachweis der Spannungsbegrenzung (GZG) verwendet$
$Quasi-ständig - die für diesen Kombinationstyp definierten Schnittgrößenkomponenten werden für den Nachweis der Rissbreite (GZG) verwendet$

Hinweis:

Bestimmung der Nachweisrichtung

Für den korrekten Nachweis des 2D-Elements muss die Nachweisrichtung bestimmt werden. Die Nachweisrichtung kann für jeden Kombinationstyp separat mit den folgenden zwei Methoden eingegeben werden:

Benutzerdefinierte Richtung – der Benutzer definiert die Nachweisrichtung als Winkel bezogen auf die x-Achse in der Ebene des 2D-Elements. Diese Option ist für den Kombinationstyp GZT als Standard eingestellt, und der vordefinierte Winkelwert beträgt 0 Grad. Die Nachweise werden in den folgenden Richtungen geführt:
- $Definierte Richtung$
- $Richtung senkrecht zur definierten Richtung$
- $Richtung der Druckdiagonale an der Oberseite$
- $Richtung der Druckdiagonale an der Unterseite$
Richtung der Hauptspannungen – die Nachweisrichtung wird automatisch als Richtung der Hauptspannungen an der Ober- und an der Unterseite des 2D-Elements berechnet. Diese Option ist für die Kombinationstypen Charakteristisch und Quasi-ständig als Standard eingestellt. Die Nachweise werden in den folgenden Richtungen geführt:
- $Richtung der Hauptspannungen an der Unterseite$
- $Richtung senkrecht zur Richtung der Hauptspannungen an der Unterseite$
- $Richtung der Druckdiagonale an der Unterseite$
- $Richtung der Hauptspannungen an der Oberseite$
- $Richtung senkrecht zur Richtung der Hauptspannungen an der Oberseite$
- $Richtung der Druckdiagonale an der Oberseite$

\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}

Analyse der Nachweisrichtung für den Grenzzustand der Tragfähigkeit

Analyse 1

Für ein 2D-Element, das nur durch Biegemomente belastet wird (m x = 20 kNm/m, m y = 10 kNm/m, m xy = 5 kNm/m ), wurden der Bewehrungswinkel und der Winkel der Nachweisrichtung für den Grenzzustand der Tragfähigkeit variiert - die Ergebnisse sind im folgenden Diagramm dargestellt:

Die Analyse zeigt:

$Wenn die Bewehrungsstäbe senkrecht zueinander verlaufen, sind die Nachweisergebnisse für unterschiedliche Winkel der Nachweisrichtung ähnlich, sie hängen nicht vom definierten Bewehrungswinkel ab, und der Maximalwert des Nachweises tritt bei den Winkeln 0, 45 und 90 Grad auf. Daher kann dieser Nachweis für eine vordefinierte Nachweisrichtung mit einem Winkel von 0 Grad geführt werden.$
$Wenn die Bewehrungsstäbe nicht senkrecht zueinander verlaufen, unterscheiden sich die Nachweisergebnisse deutlich, und der Maximalwert des Nachweises wird ungefähr in der Richtung erreicht, die der Richtung der mittleren Bewehrung entspricht. Daher wird empfohlen, die vordefinierte Nachweisrichtung zu ändern oder die Nachweise in mehreren Richtungen zu führen, wenn die Bewehrungsstäbe nicht senkrecht zueinander verlaufen.$

Analyse 2

Für die orthogonale Bewehrung wurden die Werte der Biegemomente und der Winkel für den GZT-Normnachweis variiert. Die Ergebnisse sind im Diagramm dargestellt:

Die Analyse zeigt, dass auch bei unterschiedlichen Werten der Biegemomente der Maximalwert des Nachweises im Grenzzustand der Tragfähigkeit bei den Nachweisrichtungen 0, 45 und 90 Grad auftritt. Daher kann der Nachweis für einen vordefinierten Nachweiswinkel von 0 Grad geführt werden. Eine ähnliche Schlussfolgerung gilt für 2D-Elemente, die nur durch eine Normalkraft oder durch eine Normalkraft in Kombination mit Biegemomenten belastet werden.

Umrechnung der Schnittgrößen in die Nachweisrichtungen

Die definierten Schnittgrößen werden mit der Transformationsformel nach Baumann in die Nachweisrichtungen umgerechnet, beschrieben in Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". In : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. Das Berechnungsverfahren ist wie folgt:

$Berechnung der Normalkräfte an beiden Oberflächen des 2D-Elements$
$Berechnung der Hauptkräfte an beiden Oberflächen des 2D-Elements$
$Berechnung der umgerechneten Kräfte für jede Oberfläche in die definierte Nachweisrichtung$
$Berechnung der umgerechneten Kräfte für jede Oberfläche auf die Mittelebene$
$Umrechnung der Querkräfte in die definierte Nachweisrichtung$

Berechnung der Normalkräfte an beiden Oberflächendes 2D-Elements

Die definierten Schnittgrößen werden mit den folgenden Formeln auf beide Oberflächen umgerechnet:

{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}

{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}

~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}

Für die Umrechnung der Schnittgrößen muss der innere Hebelarm (z) bestimmt werden. Der innere Hebelarm wird mit dem Verfahren der Grenzdehnungen bei Beanspruchung durch das Hauptbiegemoment in den Richtungen der Hauptmomente m 1 an beiden Oberflächen bestimmt. Wenn die Hauptmomente gleich null sind oder wenn in der Richtung der Hauptmomente kein Gleichgewicht gefunden wird, wird der innere Hebelarm nach der folgenden Formel bestimmt:

z=x\cdot d

	Beschreibung
x	Der Beiwert zur Berechnung des inneren Hebelarms ist im National code setup definiert.
d	Die statische Nutzhöhe des Querschnitts, getrennt berechnet für die Ober- und die Unterseite des 2D-Elements. Für die Unterseite ist dies der Abstand vom Schwerpunkt der Bewehrungsstäbe an der Unterseite zum oberen Rand des Querschnitts. Für die Oberseite ist dies der Abstand vom Schwerpunkt der Bewehrungsstäbe an der Oberseite zum unteren Rand des Querschnitts.

Hinweis:

Der innere Hebelarm kann im Nachweis Response N-M-M überprüft werden. Dabei dürfen nur die Biegemomente eingegeben werden, und die Nachweisrichtung muss der Richtung des Hauptmoments entsprechen.

Im folgenden Diagramm ist die Überprüfung des inneren Hebelarms für die Biegemomente m x = 20 kNm/m, m y = 10 kNm/m, m xy = 5 kNm/m dargestellt. Die Richtung der Hauptmomente wurde mit α m1 = 22,5 Grad berechnet, und die Systemantwort des Querschnitts wurde zur Bestimmung des inneren Hebelarms berechnet.

Hinweis:

Berechnung der Schnittgrößen an beiden Oberflächen

Die Hauptkräfte an beiden Oberflächen des 2D-Elements werden mit der folgenden Formel berechnet:

{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}

{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}

Die Richtung der Hauptkräfte wird mit der folgenden Formel berechnet:

{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)

Hinweis:

Berechnung der umgerechneten Schnittgrößen an den Oberflächen in die definierte Nachweisrichtung

Die Umrechnung der Hauptkräfte in die Nachweisrichtungen erfolgt für jede Oberfläche getrennt mit der Transformationsformel nach Baumann:

{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}

	Beschreibung
i, j, k, i	Index der Nachweisrichtung (Richtung der Umrechnung der Schnittgrößen) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Z. B. lautet die Formel für die Unterseite und die Berechnung der Kraft in j-Richtung (Winkel α₂): ${{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}$
${{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}$	Der Winkel zwischen der definierten Nachweisrichtung bzw. der Richtung der Druckstrebe und der Richtung der Hauptkräfte an der Unter- oder Oberseite des 2D-Elements.Definierte Nachweisrichtung α_{1, low(upp)} = α₁ – α_low(upp)Richtung senkrecht zur definierten Richtung α_{2, low(upp)} = α₂ – α_low(upp)Die Nachweisrichtung für die Druckstrebe α_{3, low(upp)} = α₃ – α_low(upp)
α₁	Definierte Nachweisrichtung für die jeweilige Kombination
α₂	Die Richtung senkrecht zur definierten Richtung, α₂= α₁ + 90 Grad
α₃	Nachweisrichtung in Richtung der Druckstrebe in der Ebene des 2D-Elements. Diese Richtung wird so optimiert, dass die Kraft in dieser Richtung minimal wird.

Hinweis:

Transformation der umgerechneten Schnittgrößen in den Schwerpunkt des Querschnitts

Für den Nachweis des 2D-Elements müssen die Oberflächenkräfte in einer bestimmten Richtung in den Schwerpunkt des Querschnitts umgerechnet werden. Das Ergebnis sind die Normalkraft n d,i und das Biegemoment m d,I, die im Schwerpunkt des Querschnitts des 2D-Elements wirken.

m d,i = n lower,i \cdotz s,low + n upper,i \cdotz s,upp

n d,i = n lower,i + n upper,i

	Beschreibung
n_lower,i	Umgerechnete Oberflächenkräfte an der Unterseite in der i-ten Nachweisrichtung, wobei n_lower,i = n_{surface,low,i}.
n_upper,i	Umgerechnete Schnittgrößen an der Oberseite in der i-ten Nachweisrichtung, wobei n_upper,i = n_{surface,upp,i}.
z_{s,low (upp)}	Abstand des Schwerpunkts des Druckbetons oder des Schwerpunkts der Bewehrung an der Unter- (Ober-)seite, wobei z = z_s,low+ z_s,upp

Hinweis:

\textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}

Umrechnung der Querkräfte in die definierte Nachweisrichtung

Die Querkräfte werden mit der folgenden Formel in die Nachweisrichtung umgerechnet:

{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})

und die maximale Querkraft beträgt:

{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}

und sie wirkt in der Richtung

\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)

	Beschreibung
α_i	Winkel der Nachweisrichtung in der i-ten Richtung

Hinweis:

Vergleich der Umrechnung der Schnittgrößen mit verschiedenen Verfahren

Umrechnung der Schnittgrößen nach EN 1992-1-1

Das in EN 1992-1-1 beschriebene Verfahren wird in mehreren Programmen und in der Praxis zur Berechnung der Bemessungsschnittgrößen verwendet. EN 1992-1-1 berücksichtigt nur senkrecht zueinander verlaufende Bewehrungsrichtungen. Die Berechnung der Bemessungsschnittgrößen unter Berücksichtigung des Torsionsmoments ist im folgenden Ablaufdiagramm dargestellt, wobei m y ³ m x . Für Momente m y < m x kann ein ähnliches Diagramm erstellt werden

	Beschreibung
m_xd+,m_xd-	Bemessungsbiegemoment in Richtung der x-Achse für die Bemessung und den Nachweis der Bewehrung an der Unterseite (-) bzw. der Oberseite (+)
m_yd+m_yd-	Bemessungsbiegemoment in Richtung der y-Achse für die Bemessung und den Nachweis der Bewehrung an der Unterseite (-) bzw. der Oberseite (+)
m_cd+,m_cd-	Bemessungsbiegemoment in der Betondruckstrebe an der Unterseite (-) bzw. der Oberseite (+), das vom Beton aufgenommen werden muss

Die Werte der umgerechneten Bemessungsschnittgrößen für den Bauteiltyp Platte, berechnet mit dem in der EN beschriebenen Verfahren, sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

In IDEA StatiCa RCS werden nicht die Momente an der Ober- und Unterseite angezeigt, sondern die Normalkräfte an beiden Oberflächen und die in den Schwerpunkt des Querschnitts umgerechneten Momente.

Die Momente an der Unter- und Oberseite können aus den in der numerischen Ausgabe angezeigten Oberflächenkräften mit der folgenden Formel berechnet werden:

{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z

Die Werte der Oberflächenkräfte und der umgerechneten Momente sind in den folgenden Tabellen dargestellt:

Die Tabellen zeigen, dass die in IDEA Concrete berechneten Momente an den Plattenoberflächen und die nach dem in der EN beschriebenen Verfahren berechneten Momente nur an einer Oberfläche übereinstimmen. Diese Abweichung wird durch eine unterschiedliche Optimierung der Betondruckstrebe verursacht. Das in IDEA StatiCa RCS verwendete Verfahren sucht den Winkel der Druckstrebe bei minimaler Kraft in der Strebe. Das in der EN beschriebene Verfahren sucht die minimale Summe der negativen Kräfte aus allen Richtungen.

Vergleich der Berechnung der Schnittgrößen mit den Programmen RFEM und SCIA Engineer

Zum Vergleich der Ergebnisse der umgerechneten Schnittgrößen in den Programmen IDEA Concrete, RFEM und SCIA Engineer (SEN) wurde ein einfaches Modell einer Platte mit den Abmessungen 6 m x 4 m und einer Dicke von 200 mm erstellt. Die Platte ist an den Rändern linienförmig gelagert und mit einer gleichmäßig verteilten Last von 10 kN/m 2 belastet.

Zur Vereinfachung der Darstellung werden nur die Werte der umgerechneten Schnittgrößen in einem Längsschnitt angezeigt. Der Abstand des Schnitts vom Plattenrand beträgt 1,5 m. Die im Programm RFEM berechneten Schnittgrößen wurden als Eingangswerte für IDEA Concrete verwendet.

Die Tabelle zeigt eine gute Übereinstimmung der in den einzelnen Programmen berechneten Kräfte.