裂缝

裂缝的形成

钢筋混凝土结构在弯曲或拉伸应力作用下的典型特征是：当混凝土中的拉应力超过混凝土抗拉强度时，会在相应位置发生开裂破坏。为保证结构的耐久性和美观性，应尽量控制裂缝宽度。裂缝宽度的计算方法以及不同暴露等级下允许的最大裂缝宽度见 EN 1992-1-1 第 7.3 章。

计算的第一步是判断截面是否已开裂。裂缝宽度本身始终根据准永久或频遇荷载组合（取决于国家附录）计算，但裂缝的形成需对所有指定的正常使用极限状态组合进行验算。因此，可能出现以下两种情况：

• 在任何荷载组合（准永久 M_E,qp、频遇 M_E,fr 或标准 M_E,k）下，混凝土纤维中的最大拉应力均不超过混凝土抗拉强度，则认为截面未开裂。

$${{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

• 若在任一组合（准永久、频遇或标准）下发生开裂，即所考虑荷载组合产生的弯矩大于临界弯矩 M_cr，则该荷载组合下截面已开裂，需计算开裂截面的特性及裂缝宽度。

$${{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

M_E,i   .   .   某正常使用极限状态荷载组合所得弯矩，可为 M_E,qp、M_E,fr 或 M_E,k。 

f_ct,ef   .   .  所考虑时刻混凝土的抗拉强度。若混凝土龄期超过 28 天，取强度值等于 f_ctm。

裂缝宽度计算

在受弯构件中，裂缝的形成分为两个阶段：

• 裂缝形成阶段（图 1 中阶段 2）
• 稳定裂缝发展阶段（图 1 中阶段 3）

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}$$

裂缝发展阶段

这是过程的初始阶段，此时单条裂缝仍在逐渐出现，直至构件整个受拉区均受到裂缝影响，裂缝沿构件长度方向大致均匀分布。当受拉带中的力超过临界拉力 N_r（临界拉力，见下文）时，第一条裂缝形成；随后裂缝继续发展，直至受拉带中的力约达到 1.3N_cr 为止（图 1 中阶段 2）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}$$

发展中的裂缝分为两类——主裂缝和次裂缝。主裂缝在混凝土有效抗拉强度（f_ct,eff）达到时出现于受拉纤维处，代表第一批裂缝形态（图 2）。随后，较短的次裂缝在主裂缝之间形成（图 3）。当应力约达到 1.2 至 1.5 σ_sr（通常取均值 1.3 σ_sr，其中 σ_sr 为混凝土受拉区主裂缝形成时钢筋中的应力）时，次裂缝的发展也趋于完成。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}$$

裂缝形成阶段的裂缝宽度可按下式计算：

$${{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}$$

稳定裂缝阶段

当受拉区力超过临界力约 1.3 倍后，不再形成新裂缝，构件中的裂缝数量趋于稳定，随荷载继续增加，仅已有裂缝的宽度增大（图 1 中阶段 3）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}$$

稳定发展阶段的裂缝宽度可按下式计算：

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}$$

临界拉力

计算基于拉力弦模型（TCM）。基本思路是计算钢筋混凝土带的极限承载力，该带由面积为 A_s,eff 的钢筋及其周围有效受拉混凝土面积 A_c,eff 组成，能够承受拉应力直至超过抗拉强度 f_ct,eff（通常取 f_ctm）。假设钢筋与混凝土之间完全粘结，可认为在第一条裂缝出现之前，钢筋与周围混凝土的变形相同。则第一条裂缝出现前受拉带中的最大力 N_r 可按下式确定：

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}$$

引入替换变量

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

得：

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

第一条裂缝形成后，全部力 N_r 由钢筋承担，因此穿过刚形成裂缝处的钢筋应力可按下式计算：

$${{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{{\rho }_{p,eff}}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

按 EC 1992-1-1 计算裂缝宽度

钢筋混凝土构件裂缝宽度采用下式计算：

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

s_r,max   .   .   .   最大裂缝间距

ε_sm  .   .   .   .   荷载组合下钢筋的平均应变，包含拉力刚化效应。

ε_cm  .   .   .   .   裂缝间混凝土的平均应变

应变差的计算

裂缝间钢筋与混凝土的应变差可由下式求得：

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

σ_s      .   .   .   .   所考虑荷载组合下裂缝处钢筋的应力

k_t      .   .   .   .   考虑平均应变的经验系数，取决于荷载持续时间。短期分析时取 0.6；长期分析时，考虑组合截面刚度降低约 70%，取值为 0.4，其中包含了钢筋与混凝土之间粘结力随时间退化的影响。

α_e     .   .   .   . 弹性模量的有效比值

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}$$

ς_p,_eff  .   .   .   .   有效配筋率

$${{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

A_c,_eff .   .   .   .   包围钢筋的受拉混凝土有效面积（A_c,eff 的确定见下文）

A_s,_eff .   .   .   .   位于 A_c,_eff 范围内的有粘结钢筋面积

A_p´    .   .   .   .   A_c,_eff 范围内预应力筋（先张或后张）的面积

ξ₁  .   .   .   .   .   考虑预应力筋与普通钢筋直径不同的修正粘结强度比值：

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}$$

ξ  .   .   . 预应力筋与普通钢筋的粘结强度比值（表 6.2）

ϕ_s   .   .  普通钢筋的最大直径

ϕ_p   .   .  预应力筋的直径或等效直径

对于束筋，A_p 为钢束中钢筋的面积

$${{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}$$

对于单根七丝钢绞线，φ_wire 为钢丝直径

$${{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}$$

对于单根三丝钢绞线，φ_wire 为钢丝直径

$${{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}$$

若仅采用预应力筋来防止开裂，则需考虑以下公式。

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}$$

在预应力构件中，只要在荷载标准组合及预应力标准值作用下，任意纤维处的拉应力不超过混凝土抗拉强度 f_ct,eff，则不要求设置最小有粘结钢筋面积。（详见 EN 1992-1-1 第 7.3.2 条）

受拉混凝土有效面积

计算中一个重要但同时也是最复杂的步骤是确定包围钢筋的受拉混凝土有效面积。欧洲规范和模型规范均考虑简单受力模式，即钢筋混凝土构件承受单轴弯曲或拉伸。有效高度的取值为：

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}$$

通常，h_c,eff = 2,5(h-d) 为控制值。对于受拉构件，上限为 h/2；对于受弯构件，上限为 (h-x)/3。然而，A_c,eff 还受到由公式 5(c+ϕ/2) 确定的宽度限制。若钢筋间距大于 5(c+ϕ/2)，则对各单根钢筋取宽度为 5(c+ϕ/2) 的受拉混凝土有效面积。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}$$

最大裂缝间距

计算最大裂缝间距 s_r,max 时，可能出现以下两种情况：

• 有粘结钢筋的轴向间距不超过 5(c+ϕ/2) — 图 9a
• 有粘结钢筋的轴向间距大于 5(c+ϕ/2) — 图 9b

当钢筋轴向间距不超过 5(c+ϕ/2) 时，最大裂缝间距 s_r,max 按下式计算：

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

c  .    .   .   .   .   混凝土保护层厚度，单位 mm。由于边缘钢筋在水平和竖向边缘处的保护层厚度可能不同，建议取所考虑钢筋的最大保护层厚度。

ϕ     .   .   .   .   有粘结钢筋的直径。当钢筋直径不同时，应按 EN 1992-1-1 公式 7.12 计算等效直径。

$${{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}$$

k₁ .   .   .   . 考虑有粘结钢筋粘结性能的系数

• k₁ = 0,8，适用于高粘结钢筋
• k₁ = 1,6，适用于表面光滑的钢筋（如预应力筋）

k₂ .   .   .   . 考虑应变分布的系数

• k₂ = 1,0，适用于弯曲
• k₂ = 0,5，适用于纯拉伸

对于偏心受拉或局部区域，k₂ 应取中间值，可由下式计算：

$${{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}$$

k₃      .   .   .   .  表示裂缝附近区域混凝土与钢筋之间粘结破坏长度的系数。基本 EC 推荐值 k₃ = 3,4，可由国家附录修正。 

k₄      .   .   .   .   表示混凝土粘结强度与抗拉强度关系的系数。基本 EC 推荐值 k4 = 0.425，可由国家附录调整。

当钢筋轴向间距超过 5(c+ϕ/2) 时，最大裂缝间距 s_r,max 按下式计算：

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

由下式确定的最大裂缝间距值

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

应始终大于由下式确定的值

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;$$

否则，建议取上述两式中的较大值。对于钢筋轴向间距较大的情况，混凝土/钢筋应变的计算公式不作修改。在需要控制裂缝宽度的区域，各钢筋的轴向间距不应大于 5(c+ϕ/2)。

RCS 中实现的裂缝宽度计算

有效面积 A_c,eff 的确定

由于确定哪些钢筋可作为纵向抗裂钢筋并不直观，A_c,eff 通过以下迭代过程确定。

• 在所有受拉钢筋中，确定受拉力合力中心 C_g,s,1。钢筋有效深度 d 为 C_g,s 与沿合力弯矩方向计算的最大受压混凝土纤维之间的距离。同时，确定开裂截面的中性轴位置及受压区高度 x，从而可确定有效高度 h_c,eff：

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

• 排除所有位于 A_c,eff,1 范围之外的钢筋后，确定新的钢筋合力中心 C_g,s,2 及新的钢筋有效深度 d，并以与上一步相同的方式确定有效高度 h_c,eff，仅输入值有所变化。

再次验证所考虑的全部受拉钢筋均位于 A_c,eff,2 范围内。若满足此条件，则可终止迭代，h_c,eff,2、A_c,eff,2 和 A_s,eff,2 的值将作为最终结果显示在 IDEA StatiCa RCS 中。

裂缝宽度计算的可能情况

计算裂缝宽度时，一般可能出现以下三种情况：

• 受拉钢筋位于 A_c,eff 范围内，且各钢筋的轴向间距小于 5(c+ϕ/2)。此时采用以下公式进行计算：

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• 受拉钢筋位于 A_c,eff 范围内，但各钢筋的轴向间距超过 5(c+ϕ/2)。此时采用以下公式进行计算：

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• 受拉钢筋不在 A_c,eff 范围内（例如，保护层过厚时可能出现此情况）。 

在此情况下，将无法计算裂缝宽度。因此，有效高度 h_c,eff 的计算修改如下：

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}$$

同时，将显示以下不符合项提示：

包围钢筋或预应力筋的受拉混凝土有效面积深度为 h_c,eff，其中 h_c,eff 取 2.5(h – d) 与 h/2 中的较小值。当考虑取值为 (h – x)/3 时，钢筋位于受拉混凝土有效面积之外，因此无法按第 7.3.4 条计算裂缝宽度。