Теоретические основы IDEA StatiCa Detail – научная работа о Методе Совместимых Полей Напряжений, опубликованная профессором Кауфманном и другими в 2020 году. 

1 – Введение

Расчёт и проверка железобетонных элементов, как правило, выполняются на уровне сечений (1D элементы) или на уровне точечной оценки (2D элементы). Эта процедура описывается во всех нормах проектирования, н-р, в EN 1992-1-1, и используется в ежедневной инженерной практике. Однако, не всегда известно, что эта процедура применима только для областей, в которых выполняется гипотеза Навье-Бернулли о плоских сечениях (В-области). Места конструкции, где эти гипотезы не выполняются, называются областями разрыва сплошности (D-области). Примеры В и D областей в 1D элементах приводятся на Рис. 1. Это могут быть, например, опорные узлы, места приложения сосредоточенных нагрузок, участки резкого изменения сечений, проёмы и т.д. При расчёте железобетонных конструкций приходится также сталкиваться с множеством других D-областей, таких как стеновые панели, диафрагмы мостов, консоли и т.д. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Рис. 1\qquad Области разрыва сплошности (Navrátil и др., 2017)}}}\]

Ранее для решения таких задач использовались полуэмпирические зависимости. К счастью, в последнее время их серьёзно потеснили модели тяжей и распорок (Schlaich et al., 1987) и поля напряжений (Marti 1985), которые включены в текущие нормы проектирования и используются инженерами на сегодняшний день. Эти модели следуют принципам механики и являются довольно мощным расчётным инструментом. Следует отметить, что поля напряжений могут быть как непрерывными, так и прерывистыми, а модели тяжей и распорок являются частными случаями непрерывных полей напряжений. 

Несмотря на широкое развитие вычислительных технологий за последние десятилетия, метод тяжей и распорок всё ещё используется для ручных расчётов. Его применение в рабочей практике весьма утомительно, требует много времени на выполнение итераций и учёт нескольких расчётов. Более того, эта методика не подходит для проверки конструкций по эксплуатационной пригодности (раскрытие трещин, деформации и т.д.).

Потребность проектировщиков в надёжном и быстром инструменте для проверки D-областей привела к созданию нового Метода Совместимых Полей Напряжений, который позволяет выполнять автоматизированные расчёты и проверки железобетонных конструкций, подверженных плоскому напряжённо-деформированному состоянию. 

В методе совместимых полей напряжений (далее – МСПН), основанном на конечно-элементном подходе, классические зависимости для напряжений дополняются кинематическими условиями, то есть, деформированное состояние может быть получено для всей конструкции. Следовательно, эффективная прочность бетона может быть вычислена автоматически через зависимости для поперечной деформации, как это делается при анализе полей сжимающих напряжений с учётом разупрочнения при сжатии (Vecchio and Collins 1986; Kaufmann и Marti 1998) и в EPSF-методе (Fernández Ruiz и Muttoni 2007). Более того, МСПН учитывает упрочнение арматуры при растяжении, описывая фактическую жёсткость элементов и охватывает все предписания норм проектирования (включая эксплуатационную пригодность и деформативность), что не учитывалось в предыдущих подходах. В МСПН используются известные одноосные зависимости, подробно описанные в нормах проектирования для бетона и арматуры. Они известны на этапе проектирования, и это позволяет использовать подход с частными коэффициентами безопасности. Следовательно, проектировщикам не нужно указывать дополнительные (зачастую произвольные) свойства материалов, которые требуются для выполнения нелинейных КЭ-расчётов, что делает МСПН весьма удобным для повседневного использования. 

Чтобы сделать эту методику востребованной в инженерном сообществе, её нужно реализовать в виде удобного программного обеспечения. Именно для этой цели МСПН был реализован в IDEA StatiCa Detail – новом удобном программном обеспечении, разработанном коммерческой организацией IDEA StatiCa совместно с ETH Zurich в рамках проекта DR-Design Eurostars-10571.

1.1     Основные допущения и ограничения

МСПН оперирует понятием фиктивных поворачивающихся трещин без напряжений в бетоне, раскрывающиеся без проскальзывания (рис. 2а) и рассматривает их равновесие вместе со средней деформацией в арматуре. Следовательно, модель учитывает максимальные напряжения в бетоне (σ_c3r) и напряжения в арматуре (σ_sr) в трещинах, пренебрегая прочностью бетона при растяжении (σ_c1r = 0), но принимая во внимание упрочнение арматуры при растяжении. Учёт упрочнения арматуры при растяжении позволяет получить среднюю деформацию арматуры (ε_m). 

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Рис. 2\qquad Базовые положения МСПН: (a) главные напряжения в бетоне; (b) напряжения в направлении арматуры;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) диаграмма НДС бетона с учётом максимальных напряжений и разупрочнения при сжатии;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) диаграмма НДС арматуры с учётом напряжений в трещинах и средних деформаций; (e) разупрочнение при сжатии}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) зависимость проскальзывания от сдвигающих напряжений для верификации длины анкеровки.}}}\)

Несмотря на их простоту, было показано, что эти зависимости весьма точно описывают поведение железобетонных конструкций, подверженных плоскому напряжённо-деформированному состоянию (Kaufmann 1998; Kaufmann и Marti 1998) в случаях, когда заданное армирование позволяет избежать хрупкого разрушения конструкции. Кроме того, неучёт вклада растянутого бетона на предельную нагрузку согласуется с принципами, описанными в современных нормах проектирования, которые в большинстве своём основаны на теории пластичности бетона. 

Однако, МСПН не подходит для гибких элементов без поперечного армирования, поскольку соответствующие механизмы для таких элементов, например, сцепление заполнителя, остаточные напряжения в трещинах и нагельный эффект, которые прямо или косвенно зависят от прочности бетона, не учитываются. Хотя некоторые нормы и разрешают рассчитывать такие элементы с помощью полуэмпирических зависимостей, МСПН не предназначен для конструкций, подверженных хрупкому разрушению.

1.2     Расчётные модели

1.2.1    Бетон

Модель бетона, заложенная в МСПН, базируется на одноосном напряжённо-деформированном состоянии, который используется в нормах для расчёта сечений железобетонных элементов, и использует только один входящий параметр – прочность при сжатии. Параболически-линейная зависимость, описанная в EN 1992-1-1 (рис. 2с), используется в МСПН по умолчанию, но проектировщики также могут использовать более сложные идеально-упругопластические зависимости между напряжениями и деформациями. Проверки по ACI 3018-04 допускают только параболически-линейные зависимости. Как уже говорилось ранее, растянутый бетон не учитывается, в соответствии с классическими положениями норм проектирования. 

Эффективная прочность бетона с трещинами определяется автоматически по главным деформациям (ε₁) с учётом понижающего коэффициента k_c2, как описано в пунктах с и е Рис. 2. Реализованная зависимость (Рис. 2е) – это обобщение fib для Model Code 2010 для проверки на сдвиг, которое содержит предельное значение, равное 0.65 как максимальное отношение нормативной прочности бетона к пределу его прочности. Это обобщение не применимо к другим расчётам.

По умолчанию текущая реализация МСПН в IDEA StatiCa Detail не учитывает явный критерий разрушения с точки зрения деформаций бетона при сжатии (т. е. после достижения пиковых напряжений пластическая ветвь считается бесконечной). Эти упрощения накладывают ограничения на проверку деформативности конструкций, разрушающихся от сжатия. Однако, предел их прочности можно корректно оценить в том случае, если кроме коэффициента разупрочнения (k_c2), указанного на Рис. 2е, учесть увеличение хрупкости бетона по мере роста его прочности с помощью понижающего коэффициента \( \eta_{fc} \), заданного в fib Model Code 2010 следующим образом:

\[f_{ck,red} = k_c \cdot f_{ck} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

где:

k_c  – глобальный понижающий коэффициент к прочности бетона при сжатии

k_c2 – понижающий коэффицент, учитывающий влияние поперечных трещин

f_ck – нормативная цилиндрическая прочность бетона (в МПа для задания коэффициента\( \eta_{fc} \)).

1.2.2    Арматура

По умолчанию для голых (без учёта бетона) арматурных стержней используется идеализированная билинейная диаграмма работы (Рис 2d), подробно описанная во многих нормативных документах. Для задания такой зависимости требуются только базовые свойства арматуры на стадии проектирования (прочность и класс пластичности). В программе также можно задать пользовательские диаграммы работы. Упрочнение при растяжении учитывается с помощью небольшой модификации исходной зависимости для голых арматурных стержней, что позволяет зафиксировать среднюю жёсткость стержней, заделанных в бетон (ε_m) (См. раздел 1.2.4).

1.2.3    Оценка длины анкеровки

Моделирование сцепления и проскальзывания по границе арматуры с бетоном реализовано специальными конечными элементами. Они используются для выполнения расчётов по 1 ПС и работают по упрощённому жёстко-пластическому закону, показанному на Рис. 2f, где f_bd – расчётное предельное значение прочности сцепления, взятое из норм проектирования в зависимости от условий заделки. 

В программе используется именно упрощённая модель. Её основное назначение – проверка требований по обеспечению надёжности анкеровки в соответствии с нормами проектирования (т. е. заделки арматуры). Уменьшение длины анкеровки за счёт крюков, петель и других форм загиба стержней может быть учтено с помощью специальных коэффициентов жёсткости заделки концов этих стержней, как это подробно описано в разделе 3.5.3. Следует отметить, что для учёта упрочнения при растяжении и расчёта ширины раскрытия трещин используется другая зависимость для сцепления арматуры с бетоном.

1.2.4    Упрочнение при растяжении

Реализованный механизм учёта упрочнения при растяжении различает нестабилизированные и стабилизированные трещины. В обоих случаях перед нагружением бетон считается полностью трещиноватым.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Упрочнение арматуры: (a) модель растянутых стержней для стабилизированных трещин с учётом распределения напряжений сцепления,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{напряжения в стали и бетоне, деформации стали между трещинами с учётом среднего расстояния между трещинами); (b) предположения о выдёргивании}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{для нестабилизированных трещин с учётом распределения сдвигающих напряжений от сцепления, напряжений в арматуре и деформаций вокруг трещин; (c) результирующее}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{поведение растянутого стержня в пределах трещин с точки зрения напряжений при средних деформациях для европейской стали В500В;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) начальная ветвь деформирования растянутого стержня.}}}\)

Стабилизированные трещины

В полностью стабилизированных (раскрытых) трещинах упрочнение при растяжении арматуры описывается с помощью Модели Растянутого Тяжа (англ. Tension Chord Model, сокр. TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Рис. 3a, которая  , несмотря на свою простоту, даёт отличные результаты (Burns 2012). ТСМ предполагает ступенчатую, идеально жёстко-пластичную зависимость для напряжений и проскальзывания с τ_b = τ_b0 =2 f_ctm для σ_s ≤ f_y и τ_b =τ_b1 = f_ctm для σ_s > f_y. При рассмотрении каждого арматурного стержня как растянутого тяжа (Рис. 3b и 3a) распределение напряжений сцепления, напряжений в арматуре и бетоне и, как следствие, деформации между трещинами могут быть определены для любых заданных значений максимальных напряжений (деформаций) в арматуре в пределах трещин. 

При s_r = s_r0 новые трещины могут образовываться, а могут и нет, так как в середине расстояния между двумя трещинами выполняется условие σ_c1 = f_ct. Следовательно, расстояние между трещинами может изменяться вдвое, т. е. s_r = λs_r0, с λ = 0.5…1.0. Предполагая, что λ имеет заданное значение, средняя деформация тяжа (ε_m) может быть выражена как функция от максимальных напряжений в арматуре (т. е. напряжений в трещинах, σ_sr). Для идеализированной билинейной диаграммы зависимости напряжений от деформаций в отдельно взятом арматурном стержне без учёта бетона, которые рассматриваются в рамках МСПН по умолчанию, получены следующие аналитические зависимости (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

где:
E_sh         коэффициент упрочнения стали E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s           модуль упругости арматуры,

Ø            диаметр арматурного стержня,

s_r               расстояние между трещинами,

σ_sr          напряжения в арматуре в пределах трещины,

σ_s           фактические напряжения в арматуре,

f_y               предел текучести арматуры.

Реализация МСПН в IDEA StatiCa Detail по умолчанию учитывает осреднённый шаг трещин при численном расчёте полей напряжений. Среднее расстояние между трещинами считается равным 2/3 от максимального расстояния (λ = 0.67), что соответствует рекомендациям, полученным на основе натурных испытаний на изгиб и растяжение (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Следует отметить, что в расчётах ширины раскрытия трещин учитывается именно максимальное расстояние между трещинами (λ = 1.0) для более консервативной оценки. 

Границы применимости ТСМ зависят коэффициента армирования, и поэтому назначение площади растянутого бетона между трещинами будет определяющим фактором для каждого арматурного стержня. Для этого был реализован автоматизированный численный подход, позволяющий определить эффективный коэффициент армирования (ρ_eff = A_s/A_c,eff) для любых конфигураций схемы, даже с учётом наклонной арматуры (Рис. 4).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Эффективная площадь растянутого бетона для стабилизированных трещин: (a) максимальная площадь, которая может быть задействована;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) защитный слой и условия общей симметрии; (c) результирующая эффективная площадь.}}}\)

Нестабилизированные трещины

Трещины, имеющиеся в бетоне с геометрическим коэффициентом армирования ρ_cr , т. е. минимально возможной площадью для восприятия нагрузок в момент трещинообразования без наступления текучести, возникают либо в результате немеханических воздействий (н-р, усадки), либо в результате трещин, контролируемых другим армированием. Величина этого минимального армирования находится следующим образом:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

где:

f_y              предел текучести арматуры,

f_ct             прочность бетона при растяжении,

n              отношение модулей упругости, n = E_s / E_c .

Для обычных бетонов и арматуры величина ρ_cr составляет приблизительно 0.6%. 

Для хомутов с коэффициентом армирования ниже ρ_cr трещины считаются нестабилизированными и упрочнение при растяжении оценивается по модели выдергивания (англ. Pull-Out Model, сокр. РОМ), описанной на Рис. 3b. Эта модель описывает поведение одиночной трещины с точки зрения немеханического взаимодействия между отдельными трещинами, игнорируя деформации растянутого бетона и предполагая такую же скачкообразную, идеально жёстко-пластичную диаграмму зависимости проскальзывания от сдвига, как в модели ТСМ. Это позволяет получить распределение деформаций (ε_s) в арматуре вблизи трещины для любого максимального напряжения (σ_sr) напрямую из уравнений равновесия. Учитывая, что расстояние между трещинами, работающими по нестабилизированной модели, неизвестно, средняя деформация (ε_m) вычисляется для любого уровня нагрузки между двумя точками с нулевым проскальзыванием, когда арматура в пределах трещины (l_ε,avg на Рис. 3b) достигает предела прочности (f_t). Это позволяет получить следующие зависимости:

Предлагаемые модели дают возможность оценить поведение арматуры, находящейся в сцеплении с бетоном, которое в итоге будет учтено в расчёте. Такой характер работы (включая упрочнение при растяжении), присущий большинству европейских сталей (В500В с f_t / f_y = 1.08 и ε_u = 5%), показан на рисунках 3c-d.

2 – Подбор армирования

2.1     Рабочий процесс и основные цели

Основное назначение инструментов моделирования МСПН – помочь инженерам определить оптимальные места расположения арматуры и её необходимое количество. В IDEA StatiCa Detail доступны следующие инструменты для работы с арматурой: линейный расчёт, оптимизация топологии и оптимизация площади.   

В инструментах для подбора арматуры используются более простые расчётные модели, чем для окончательной проверки конструкции. Поэтому к результатам такого подбора армирования следует относиться как к предварительным, требующим уточнения и подтверждения на финальной стадии. Различия между этими инструментами подбора и их подробное описание будут показаны на тестовой модели, показанной на Рис. 5 – участке железобетонной балки переменной высоты, подверженной действию распределённой нагрузки.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Демонстрационная модель для описания инструментов подбора армирования.}}}\]

2.2     Определение мест расположения арматуры

При расчёте областей с помощью МСПН, в которых заранее не известно расположение арматуры, можно использовать два метода для определения мест предварительного расположения арматуры: линейный расчёт и топологическую оптимизацию. Оба инструмента помогают определить растянутые зоны в бетоне без трещин для конкретного расчёта (загружения).

2.2.1   Линейный расчёт

При линейном расчёте работа материала считается упругой, а армирование заданной области не учитывается. Как следствие, расчёт проходит очень быстро и даёт самое первое представление о расположении сжатых и растянутых зон в конструкции. Пример такого расчёта представлен на Рис. 6.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Результаты линейного расчёта для предварительного задания армирования}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(Красный цвет - сжатие, синий цвет - растяжение).}}}\]

2.2.2   Топологическая оптимизация

Цель этого метода – поиск оптимального распределения заданного объёма материала в пределах конструкции, необходимого для восприятия внешних нагрузок. В рамках IDEA StatiCa Detail эта процедура использует линейную МКЭ-модель расчётной схемы. Каждый конечный элемент имеет параметр "объёмная доля", значение которого варьируется от 0 до 100%. Эти параметры показывают степень участия материала в восприятии нагрузки и являются основными исходными данными при решении задачи оптимизации. В ходе решения этой задачи для заданных нагрузок определяется результирующее распределение материала, при котором общая энергии деформации системы будет минимальной. Таким образом, оптимальным считается такое геометрическое распределение, при котором жёсткость для заданных нагрузок будет максимальной. 

Итерационный процесс оптимизации начинается с осреднения "объёмной доли" или "плотности" по всей конструкции. Расчёт выполняется для нескольких уровней "плотности" (20%, 40%, 60% и 80%), что позволяет пользователю подобрать наиболее подходящие результаты. Полученная геометрия представляет собой эквивалентную ферму из тяжей и распорок, имеющую оптимальную топологию, способную воспринимать приложенные нагрузки (Рис. 7). 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Результаты топологической оптимизации для 20% и 40% доли объёма}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(Красный цвет - сжатие, синий цвет - растяжение).}}}\]

3 – Реализация метода конечных элементов

3.1     Введение

В МСПН рассматриваются непрерывные поля напряжений в бетоне (2D элементы), которые дополняются дискретными стержневыми элементами армирования (1D элементы). Таким образом, арматура не "размазывается" по конечным 2D элементам бетона, а моделируется явным образом специальными элементами, связанными с бетоном. В расчётной модели подразумевается плоское напряжённое состояние.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Общий вид расчётной модели балки в IDEA StatiCa Detail.}}}\]

В программе стены и балки как целиком, так и частично (как отдельные области разрыва сплошности, отсечённые части). В случае с балками и стенами целиком опорных связей должно быть столько, чтобы конструкция была статически определимой (внешне) или неопределимой. Передача нагрузок через сечение в месте подрезки осуществляется через так называемые переходные зоны Сен-Венана (подробное описание даётся в разделе 3.3), обеспечивающие реалистичное распределение нагрузок в пределах рассматриваемой модели.

3.2     Опоры и устройства для передачи нагрузок

В составе МСПН имеется большой набор опорных связей (Рис. 9), позволяющих смоделировать различные типы опирания, встречающиеся в процессе строительства, а также компоненты для передачи нагрузок (Рис. 10).

3.2.1   Типы опираний

Условное точечное опирание может быть смоделировано по-разному. Главное в этом случае – избежать концентрации напряжений в одном месте и распределить усилия по большей площади. 

В IDEA StatiCa Detail есть следующие типы опор:

• Точечно-распределённая опора (Рис. 9а) – равномерно передаёт нагрузки на какую-нибудь грань элемента или по заданной длине.    

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Типы опираний в IDEA StatiCa Detail:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) точечно-распределённая; (b) опорная пластина; (c) опирание по линии; (d) встроенная опора; (e) опора-подвес.}}}\]

• Встроенная опора (Рис. 9d), напротив, может быть расположена только внутри объёма бетона. Её основной показатель – эквивалентный радиус. Опорные связи этого типа жёстко присоединяются к узлам сетки конечных элементов арматуры, находящимся в зоне эквивалентного радиуса. Поэтому вокруг таких опор требуется задавать арматурные сетки.
• Опорная пластина – ещё один из вариантов условно-точечного опирания (Рис. 9b). Материал опорной пластины может быть задан пользователем, а сама пластина разбивается на конечные элементы независимо от других объектов. 
• Опора-подвес – может использоваться для моделирования подъёмных устройств, анкеров или петель (Рис. 9e).  
• Опирание по линии – может быть сделано как по определённой грани (по заданной длине), так и внутри элемента (по полилинии). Программа также позволяет задать жёсткость этого опирания и выбрать линейный или нелинейный тип поведения: опирание может воспринимать растяжение и сжатие или работать только на сжатие. 

Все эти типы опирания в совокупности позволят максимально точно поставить граничные условия и сделать расчётную схему более реалистичной. 

3.2.2   Устройства для передачи нагрузок

Приложение нагрузок к конструкции может осуществляться несколькими способами с помощью специальных устройств. Ниже приводятся основные типы таких нагрузок.

• Опорная пластина (Рис. 10а) – может использоваться для сосредоточенных нагрузок, распределяя их по бОльшей площади с помощью специальной пластины заданной толщины и ширины. 
• Встроенная нагрузка (Рис. 10b и Рис. 11) – прикладывается к внутренним областям бетона с определённым радиусом влияния и передается через жёсткие вставки на узлы ближайших арматурных стержней.
• Нагрузка-подвес – может использоваться для моделирования подъёмных анкеров или подвесов (Рис. 10с). 
• Частично нагруженные области – используются для моделирования локальных зон бетона с повышенной прочностью на сжатие в соответствии с Еврокодом (для ACI такой возможности пока нет). 

К конструкции также можно приложить линейные нагрузки по граням, по полилинии или поверхностные нагрузки, представляющие, например, собственный вес конструкции. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Различные типы устройств для передачи нагрузок:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) опорная пластина; (b) встроенная нагрузка; (c) нагрузка-подвес; (d) частично нагруженные области.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Встроенные нагрузки: (a) приложение нагрузки; (b) передача нагрузок через арматуру; (c) передача нагрузок через бетон.}}}\]

3.3     Передача нагрузок в местах подрезки балок

На практике зачастую приходится моделировать только отдельную часть конструкции, например, опорный участок балки, отверстие и т.д. Такой подход может привести к нежелательной конфигурации опорных связей и нестабильности расчётной модели. Тем не менее, в IDEA StatiCa Detail допускается даже отсутствие опорных связей. В этом случае модель необходимо дополнять сечениями, моделирующими примыкание рассматриваемого участка конструкции к B-областям, включая внутренние усилия в этих местах, обеспечивающими равновесие схемы. Иногда, к примеру, при моделировании опорных участков балки, эти внутренние усилия могут определяться автоматически самой программой.

Для получения реалистичного напряжённо-деформированного состояния между В-областью и рассматриваемой конструкцией автоматически создаются специальные переходные зоны Сен-Венана. Длина таких переходных участков равна половине высоты сечения конструкции. В ходе расчёта и проверок для этих участков не отображается никаких результатов, так как они используются только для корректной передачи нагрузок и носят вспомогательный характер. Для этих переходных зон также нет никаких критериев остановки расчёта. 

Крайнее сечение зоны Сен-Венана, где как раз происходит подрезка элемента, считается абсолютно жёстким: оно может поворачиваться только как единое целое, оставаясь плоским даже после деформации. Это достигается присоединением всех узлов сетки КЭ этой грани к отдельному узлу, находящемуся в центре инерции сечения, с помощью специальных жёстких элементов (RBE2). Внутренние усилия в этом элементе могут быть приложены к узлу, как показано на Рис. 12.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Передача внутренних усилий в месте подрезки.}}}\]

3.4     Эквивалентные сечения 

В расчётных моделях конструкций с вутами используются эквивалентные, упрощённые сечения. Ширина таких сечений уменьшается по сравнению с исходной. Эквивалентная ширина равняется сумме толщины соседней стенки и удвоенной высоты. В основе такого упрощения лежит предположение о том, что сжимающие напряжения распространяются со стенки на полки под углом 45 градусов (см. Рис. 13), то есть, описанная выше уменьшенная ширина будет максимально возможной для передачи нагрузок.

Стоит отметить, что такой метод определения эквивалентной ширины полки, реализованный в МСПН, отличается от описанного в п. 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015). Помимо геометрии самой схемы на ширину полки согласно Еврокоду влияют также длина пролёта и граничные условия конструкции.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Уменьшение ширины сечения: (a) пользовательские исходные данные; (b) КЭ модель – с автоматически уменьшенной шириной полки.}}}\]

Если сечение изменяется по горизонтали (Рис. 14, каждый такой участок делится 5 расчётными сечениями. Толщина стенки каждого сечения постоянна и берётся по толщине стенки исходного элемента в середине пролёта рассматриваемого элемента.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad Горизонтальный вут: (a) пользовательские исходные данные; (b)  КЭ модель – вут автоматически делится на 5 сечений.}}}\]

3.5     Типы конечных элементов

Нелинейная конечно-элементная модель в IDEA StatiCa Detail содержит различные типы элементов, описывающих работу бетона, арматуры и механизмов сцепления между ними. Бетон и арматура сперва делятся на конечные элементы независимо друг от друга, а уже после соединяются с помощью специальных многоузловых объединений (англ. Multi-point constraint, сокр. MPC). Это позволяет размещать арматуру произвольным образом относительно бетона. Если требуется выполнить проверку длины анкеровки, то между арматурой и многоузловыми объединениями устраиваются специальные элементы сцепления и анкерные вставки. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Конечно-элементная модель: элементы армирования наложены на сетку КЭ бетона с помощью многоузловых объединений и элементов сцепления.}}}\]

3.5.1   Бетон

Сетка бетона разбивается на четырёхугольные (CQUAD4) и треугольные (CTRIA3) элементы оболочек. Подразумевается, что в этих элементах возникают только плоские напряжения, то есть, напряжения и деформации из плоскости не учитываются. 

В каждом элементе имеется три или четыре точки интегрирования, расположенные примерно по четвертям от размера элемента. В каждой точке интегрирования каждого элемента вычисляются направления главных напряжений α₁ и α₃. Для каждого из этих направлений определяются сами величины напряжений  σ_c1 и σ_c3 и жёсткости E₁ и E₂ в соответствии с диаграммой работы бетона, показанной на Рис. 2. Следует отметить, эффект разупрочнения при сжатии может оказывать влияние на направление главных сжимающих напряжений, связанных с другим главным направлением.

3.5.2   Армирование

Арматура моделируется двухузловыми стержневыми 1D элементами (англ. CROD), имеющими только продольную жёсткость. Они соединяются со специальными элементами сцепления, моделирующими взаимодействие между арматурным стержнем и окружающим его бетоном. Эти элементы сцепления затем соединяются многоузловыми объединениями (англ. МРС) с элементами бетона. Такой подход позволяет работать с несогласованными сетками бетона и арматуры, соединяя их косвенно с помощью вспомогательных элементов. 

3.5.3   Проверка длины анкеровки: элементы сцепления

Длина анкеровки проверяется по напряжениям сцепления, возникающими между 2D элементами бетона и 1D элементами арматуры. Для этой цели были разработаны специальные конечные элементы сцепления. 

Математическое описание элемента сцепления похоже на элемент оболочки CQUAD4. В нём также 4 узла интегрирования, но в отличие от классического CQUAD4, жёсткость элемента сцепления на сдвиг между верхними и нижними узлами не нулевая. В расчётной модели верхние узлы крепятся к сетке арматуры, а нижние - к сетке бетона. Поведение такого элемента зависит от напряжений сцепления τ_b , представляющими билинейную зависимость от проскальзывания, δ_u , верхних узлов относительно нижних, как показано на Рис. 16.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad (a) схематическое изображение деформаций элемента сцепления; (b) зависимость напряжений от деформаций.}}}\]

Упругий модуль сдвига, описывающий зависимость сцепления от проскальзывания, G_b , задаётся следующим образом:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

где:

k_g            коэф-т, зависящий от типа поверхности арматуры (по умолч. k_g = 0.2),

E_c            модуль упругости бетона, принимаемый как E_cm

Ø             диаметр арматурного стержня.

Расчётные значения предельных напряжений сдвига, f_bd, описанные в соответствующим образом в нормах EN 1992-1-1 (2015) или ACI 318-04, используются для проверки длины анкеровки. Упрочнение пластической ветви учитывается автоматически, её наклон составляет G_b/10⁵.

3.5.4   Проверка длины анкеровки: элементы-вставки

Требуемая длина анкеровки (l_b,net) может быть уменьшена за счёт различных устройств на конце этого стержня (загибов, петель, крюков), отвечающих требованиям норм проектирования. Технически это реализуется с помощью специального коэффициента β (т. н. коэффициента анкеровки). Расчётное значение длины анкеровки (l_b) затем вычисляется следующим образом:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Доступные в МСПН типы анкеровки включают в себя следующие:

• прямой стержень (без понижающих коэффициентов к длине анкеровки);
• отгиб
• крюк
• петля
• приварка к поперечному стержню
• жёсткая заделка
• выпуск

Все перечисленные типы анкеровки и коэффициенты β для них показаны на Рис. 17 для продольной арматуры и на Рис. 18 для хомутов. Принятые значения соответствуют EN 1992-1-1. Следует отметить, что несмотря на широкий выбор различных вариантов МСПН различает только три типа с точки зрения величины коэффициента заделки: 

• Без уменьшения длины анкеровки (β = 0,0);
• С уменьшением длины анкеровки на 30% (β = 0,3);
• С полным обеспечением заделки (β = 1,0);

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad  Доступные в МСПН типы анкеровки продольных стержней и соответствующие им коэффициенты заделки:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) прямой стержень; (b) отгиб; (c) крюк; (d) петля; (e) приварка к поперечному стержню; (f) жёсткая заделка; (g) выпуск.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad  Доступные в МСПН типы анкеровки хомутов и соответствующие им коэффициенты заделки.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) крюк; (b) отгиб; (c) перехлёст. Незамкнутые хомуты: (d) крюк; (e) выпуск.}}}\]

Предполагаемое снижение величины заделки l_b,net эквивалентно степени включения конца стержня в работу, выражаемой в процентах от несущей способности с учётом коэффициента заделки β. Подробные пояснения даются на Рис. 19a.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad  Модель, описывающая процедуру уменьшения длины анкеровки:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) усилие анкеровки по длине заделки арматурного стержня; (b) зависимость между сцеплением и проскальзыванием.}}}\]

Снижение длины анкеровки арматуры учитывается в расчётной модели с помощью специальных элементов-вставок на конце стержня (Рис. 15), поведение которых описывается специальными зависимостями, показанными на Рис. 19b. Максимальное усилие (F_au), передаваемой такой вставкой, равно:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

где :

β             коэффициент заделки, зависящий от типа анкеровки,

A_s            площадь сечения арматурного стержня,

f_yd           расчётный предел текучести арматуры.

3.6     Сетка конечных элементов

Сетка конечных элементов, реализация которых описана выше, строится внутри программы автоматически и не требует сложных действий от пользователя. Построение аналитической модели и сетки конечных элементов – важный этап в любых численных расчётах.

3.6.1   Бетон

Все конечные элементы бетона соединяются друг с другом. Оптимальная крупность сетки вычисляется программой автоматически на основе размеров и формы конструкции с учётом максимального диаметра арматуры. Более того, рекомендуемый размер сетки КЭ гарантирует, что даже в тонких (маленьких) элементах расчётной схемы будет создано не менее 4 элементов, чтобы обеспечить надёжность результатов в этих местах. Максимальное число элементов сетки для бетона ограничено 5000. Этого значения вполне достаточно для обеспечения оптимальной крупности сетки КЭ в большинстве случаев. Расчётчик всегда может задать пользовательский размер сетки КЭ через специальный множитель к размеру сетки по умолчанию.

3.6.2   Армирование

Арматура разбивается на конечные элементы примерно таких же размеров, как и бетон. Как только сетки КЭ бетона и арматуры построены, они соединяются с элементами сцепления (в расчётах по 1 ПС) или напрямую с многоузловыми объединениями (в расчётах по 2 ПС), как это показано на Рис. 15. 

3.6.3   Опорные пластины

Опорные пластины представляют собой специальные элементы расчётной схемы. Они разбиваются на конечные элементы независимо от других объектов. Размер сетки для них составляет 2/3 от размера сетки бетона вокруг. Узлы опорной пластины соединяются с узлами бетонных элементов с помощью специальных интерполяционных ограничений (RBE3).

3.6.4   Нагрузки и опорные связи

Встроенные нагрузки и опоры связываются только с арматурой, как показано на Рис. 20. Поэтому вокруг них обязательно должно быть задано армирование. Крепление к узлам элементов арматуры внутри осуществляется в пределах эквивалентного радиуса и обеспечивается специальными RBE3-элементами с соответствующими весами.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad  Встроенная нагрузка, наложенная на сетку конечных элементов арматуры.}}}\]

Опирания по линии и распределённые нагрузки также связаны с узлами сетки КЭ бетона специальными RBE3-элементами, размеры которых зависят от значения эффективного радиуса. Весовые значения соединений обратно пропорциональны расстояниям до места опирания или приложения нагрузки.

3.7     Решатель и алгоритм контроля нагрузки

Для решения нелинейных уравнений в постановке МКЭ используется стандартный алгоритм Ньютона-Рафсона (АНР). 

В общем случае АНР может не сходиться к решению, если сразу же на первом шаге к модели приложить всю нагрузку. В IDEA StatiCa Detail используется стандартный подход: нагрузка делится на части и прикладывается итерационно, с приращениями. Каждая последующая итерация стартует с решения, полученного на предыдущем шаге, и решение ищется снова. Поэтому АНР здесь дополняется специальной процедурой контроля нагрузки. Если заданная итерация не сходится к решению, то прикладываемая нагрузка уменьшается вдвое, и процедура повторяется заново для половины нагрузки. 

Второе назначение алгоритма контроля – поиск критической нагрузки, соответствующей предельному состоянию: появлению максимальной предельной деформации в бетоне, максимальному проскальзыванию в элементах сцепления, максимальным перемещениям элементов анкеровки и максимальным деформациям в арматуре. Критическая нагрузка находится методом половинного деления. Если где-либо в модели достигается предельный критерий, результаты данной итерации удаляются, а нагрузка уменьшается вдвое. Этот процесс повторяется до тех пор, пока разница между результатами для двух последовательных итераций не станет меньше допускаемого значения.

Для бетона по умолчанию стоп-критерий связан с достижением пластическими деформациями сжатия 5% (почти на порядок выше экспериментальных значений) и 7% при растяжении. Эти значения отслеживаются в каждой точке интегрирования каждого конечного элемента-оболочки. Указанное предельное значение при растяжении допускает появление предельных деформаций в арматуре, которые составляют примерно 5% без учёта упрочнения при растяжении и проявляются в первую очередь. Значение для сжатия выбиралось из нескольких доступных вариантов таким образом, чтобы оно было достаточно большим для проявления эффектов разрушения, и при этом достаточно малым для отрицательного влияния на сходимость расчёта.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Численные зависимости для элементов сцепления и анкеровки, используемые в проверках длины заделки:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) зависимость "сцепление-проскальзывание" для элементов сцепления; (b) зависимость "усилие-перемещение" для элементов анкеровки.}}}\]

Для арматуры стоп-критерий связывается с напряжениями. Так как в пределах трещин вычисляются напряжения, критерий для растяжения соответствует пределу прочности арматуры, в котором уже учтён коэффициент надёжности. Аналогичная процедура используется для сжатия.

Стоп-критерий для элементов сцепления и анкеровки выражается с помощью α·δu_max, где δu_max максимальное проскальзывание по нормам, а коэффициент α = 10.

3.8     Представление результатов

Результаты для бетона и арматуры отображаются отдельно друг от друга. Напряжения и деформации в бетоне вычисляются в точках интегрирования элементов-оболочек. Однако, визуально результаты отображаются именно в узлах, для удобства, как это делается и в других программах. Например, максимальные сжимающие напряжения в узле вычисляются по значениям в ближайших точках интегрирования по Гауссу (Рис. 22). Следует отметить, что в некоторых случаях такой способ вывода результатов может приводить завышенным значениям для сжатых областей в тех случаях, когда размер конечного элемента сопоставим с высотой сжатой зоны. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad  Сетка конечных элементов бетона с точками интегрирования и узлами: отображение результатов в узлах сетки и}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{конечных элементах.}}}\]

Результаты для конечных элементов арматуры либо постоянны для каждого элемента (например, напряжения), либо меняются в пределах элемента по линейному закону (например, два значения для элементов сцепления). Для вспомогательных элементов, таких как опорные пластины, отображаются только деформации.

4 – Особенности проверки

Проверка конструкций с использованием МСПН выполняется двумя различными способами: по 1 ПС и 2 ПС. В расчётах по 2 ПС подразумевается, что поведение элемента находится в допустимых пределах, а условия разрушения материала не достигаются при заданном уровне нагрузки. Это позволяет использовать упрощённые расчётные модели (диаграмму для бетона с линейной ветвью) для улучшения сходимости и ускорения расчётов по 2 ПС. Настоятельно рекомендуется использовать алгоритм, описанный ниже, и сперва выполнять расчёт по 1 ПС.

4.1     Расчёты по 1 ПС

По результатам расчёта МСПН можно выполнить множество различных проверок, предписанных нормами проектирования. Цель расчётов по 1 ПС – проверка прочности бетона, арматуры и прочности заделки (по напряжениям сцепления).

Чтобы быть уверенным в том, что элемент запроектирован должным образом, настоятельно рекомендуется выполнять прикидочный расчёт с учётом следующих принципов:

• Для расчётов используются критические комбинации;
• Расчёты выполняются по комбинациям 1 ПС;
• Используется укрупнённая сетка КЭ (размер КЭ задаётся с помощью множителя к размеру сетки по умолчанию, см. Рис. 23).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Множитель к размеру сетки.}}}\]

Расчёт такой модели будет выполнен очень быстро, что позволит быстро оценить результаты, пересмотреть решения и повторять процедуру до тех пор, пока все требования норм для наихудших комбинаций не будут выполнены. Как только все требования норм для прикидочного расчёта будут удовлетворены, можно переходить к проверкам по всем комбинациям 1 ПС, измельчив при этом сетку (рекомендуется использовать размер сетки по умолчанию). Размер конечных элементов задаётся множителем к размеру КЭ по умолчанию, значение которого находится в пределах от 0.5 до 5.0 (Рис. 23).

Основные результаты и данные проверок (напряжения, деформации и коэффициенты использования – отношения вычисленного значения к предельному, направления главных напряжений в бетоне) выводятся в графическом виде, растяжению соответствует синие оттенки, а сжатию – красные. Можно отобразить глобальные минимумы и максимумы как для всей модели, так и для отдельного участка. В отдельных таблицах результатов отображаются более подробные результаты – тензорные напряжения, деформации конструкции и коэффициенты армирования (геометрический и эквивалентный), которые также используются для учёта упрочнения арматурных стержней при растяжении. Кроме того, здесь доступно отображение нагрузок и реакций для заданных расчётов и комбинаций.

4.2     Расчёты по 2 ПС

К расчётам и проверкам по 2 ПС в IDEA StatiCa Detail относятся: ограничение напряжений, ширина раскрытия трещин и прогибы. Напряжения в бетоне и арматуре проверяются по нормам аналогично тому, как это делается в проверках по 1 ПС.

В расчётах по 2 ПС используются некоторые упрощения в расчётных моделях относительно моделей, используемых для 1 ПС. Здесь подразумевается, что поверхность арматуры находится в идеальном зацеплении с бетоном, то есть, достаточность длины её анкеровки не проверяется. Кроме того, пластическая ветвь на диаграмме работы бетона не учитывается: считается, что бетон до бесконечности работает линейно-упруго. Описанные упрощения улучшают сходимость расчёта и повышают его скорость, при этом не нарушая фундаментальных принципов, так как результирующие напряжения в расчётах по 2 ПС находятся далеко от предельных значений (по требованию норм проектирования). Поэтому упрощённые модели, используемые в расчётах по 2 ПС, могут использоваться только в том случае, когда выполнены все эти необходимые требования.

4.2.1  Расчёт раскрытия трещин

В программе есть два способа расчёта ширины раскрытия трещин. Один используется для стабилизированных, а второй – для нестабилизированных трещин. По значению геометрического коэффициента армирования на каждом участке модели определяется, какой тип трещин будет проявляться. В зависимости от этого назначается нужная расчётная модель (ТСМ для стабилизированных трещин и РОМ для нестабилизированных трещин). 

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24 \qquad Расчёт ширины раскрытия трещин: (a) кинематическое описание трещин; (b) проекция раскрытия трещины на главные }}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{направления арматурного стержня; (c) ширина раскрытия стабилизированной трещины в направлении арматурного стержня; (d) описание}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{локальных нестабилизированных трещин, не зависящих от количества арматуры; (e) ширина раскрытия трещин в направлении арматурного стержня}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{для нестабилизированных трещин.}}}\)

Для большинства проверок МСПН даёт прямые результаты (н-р, несущую способность элементов, величины прогибов), но для ширины раскрытия трещин результаты вычисляются через деформации арматуры, которые находятся в ходе КЭ-расчёта по методике, описанной на Рис. 24. Здесь рассматривается раскрытие трещины без проскальзывания (чистое раскрытие, см. Рис. 24а), что соответствует основным положениям модели. Направления главных напряжений и деформаций задают наклон трещин (θ_r = θ_s= θ_e). Согласно Рис. 24b ширину раскрытия трещин (w) можно спроецировать на направление арматурного стержня (w_b), то есть:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

где θ_b – наклон стержня.

Величина w_b рассчитывается последовательно путём интегрирования деформаций в арматуре в соответствии с особенностями упрочнения, описанными в Разделе 1.2.4. Для этих областей, где подразумеваются полное раскрытие трещин, вычисленные средние деформации (e_m) по длине стержня напрямую интегрируются по расстоянию между трещинами (s_r), как показано на Рис. 24c. Несмотря на то, что такой подход не даёт точного представления о расположении трещин, он всё же позволяет получить важные результаты по ширине их раскрытия, которые потом можно сравнить с нормативными значениями размера трещин вдоль арматуры.

Особые случаи наблюдаются во внутренних углах расчётной схемы. В этой ситуации угол определяет положение одиночной трещины, которая ведёт себя как нестабилизированная до появления других трещин поблизости. Эти дополнительные трещины обычно развиваются уже за пределом эксплуатационной нагрузки (Mata-Falcón 2015), что оправдывает расчёт таких трещин в заданной области как нестабилизированных (Рис. 25) в соответствии с методикой, описанной в Разделе 1.2.4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad Область внутреннего угла расчётной области, в которой ширина раскрытия вычисляется по модели нестабилизированных трещин.}}}\]

5 – Проверка элементов строительных конструкций по Еврокоду

Проверка конструкций с использованием МСПН выполняется двумя различными способами: по 1 ПС и 2 ПС. В расчётах по 2 ПС подразумевается, что поведение элемента находится в допустимых пределах, а условия разрушения материала не достигаются при заданном уровне нагрузки. Это позволяет использовать упрощённые расчётные модели (диаграмму для бетона с линейной ветвью) для улучшения сходимости и ускорения расчётов.

5.1     Материалы

5.1.1  Бетон - 1 ПС

Для модели бетона в МСПН необходим только один параметр – прочность бетона при сжатии. В неё заложены простые зависимости для одноосного сжатия, прописанные в EN 1992-1-1 для проверки ЖБ сечений. В МСПН по умолчанию используется параболически-линейная зависимость из EN 1992-1-1 (Рис. 26a), однако пользователи также могут выбрать упрощённую билинейную упруго-идеальнопластическую диаграмму (Рис. 26b). Прочность на растяжение не учитывается, как и в классическом подходе к проектированию железобетонных конструкций.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Диаграмма зависимости напряжений от деформации для бетона по 1 ПС: a) параболически-линейная диаграмма; b) билинейная зависимость.}}}\]

Текущая реализация МСПН в IDEA StatiCa Detail не учитывает явный критерий разрушения бетона от деформаций при сжатии. Таким образом, при достижении предельных напряжений бетон работает в пластической стадии с ε_cu2 (ε_cu3), равным 5%, в то время как по EN 1992-1-1 предполагается, что деформации должны быть менее 0,35%. Это упрощение не позволяет выполнить проверку железобетонных конструкций по деформациям при разрушении от сжатия. Однако, несущую способность можно спрогнозировать с помощью специального коэффициента в дополнение к значению k_c2 (Рис. 27) для бетона с трещинами. Этот понижающий коэффициент \(\eta_{fc}\), заданный в fib Model Code 2010, позволяет учесть увеличение хрупкости бетона с ростом его прочности:

\[f_{cd}=\frac{f_{ck,red}}{γ_c} = \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

где:

k_c – общий понижающий коэффициент к прочности при сжатии

k_c2 – понижающий коэффициент, учитывающий влияние поперечных трещин

f_ck – нормативная цилиндрическая прочность бетона (в МПа, для задания\( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27\qquad Закон разупрочнения бетона при сжатии.}}}\]

5.1.2  Бетон - 2 ПС

В расчётах по 2 ПС используются некоторые упрощения в расчётных моделях. Здесь подразумевается, что поверхность арматуры находится в идеальном зацеплении с бетоном, то есть, длина её заделки в бетоне не проверяется. Кроме того, пластическая ветвь на диаграмме работы бетона не учитывается: считается, что бетон до бесконечности работает линейно-упруго. Описанные упрощения улучшают сходимость расчёта и повышают его скорость, при этом не нарушая фундаментальных принципов, так как результирующие напряжения в расчётах по 2 ПС находятся далеко от предельных значений (по требованию Еврокодов). Поэтому упрощённые модели, используемые в расчётах по 2 ПС, могут использоваться только в том случае, когда выполнены все эти необходимые требования.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Диаграммы работы бетона для расчётов по 2 ПС: при кратковременном нагружении и при длительном нагружении.}}}\]

Длительные воздействия 

В расчётах по 2 ПС эффекты старения бетона учитываются с помощью специального коэффициента бесконечной ползучести (\(\varphi\), который по умолчанию равен 2.5. Этот коэффициент влияет на секущий модуль упругости бетона (E_cm):

\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]

При учёте эффектов старения сперва определяется шаг постоянной нагрузки с учётом коэффициента ползучести (то есть, по приведённому модулю упругости бетона, E_c,eff), после чего вычисляются дополнительные нагрузки без учёта коэффициента ползучести (например, по E_cm). Кроме того, для выполнения проверок с учётом длительных эффектов выполняется ещё один расчёт на все нагрузки без учёта коэффициента ползучести. Оба расчёта с учётом длительных и кратковременных эффектов показаны на Рис. 28.

5.1.3  Армирование

По умолчанию для голых арматурных стержней принимается идеализированная билинейная диаграмма зависимости "Напряжения-Деформации", обычно используемая в нормах (Рис. 29). Для построения этой диаграммы требуются только основные свойства арматуры, известные на стадии проектирования (класс прочности и пластичности). Здесь также можно учесть фактические соотношения между напряжениями и деформациями арматуры, если они известны (для горячекатанной, холоднотянутой, подверженной закалке или отпуску). Диаграмма зависимости напряжений от деформаций может быть пользовательской, но в этом случае нельзя будет учесть эффект упрочнения при растяжении (нельзя вычислить ширину раскрытия трещин). Диаграмма с горизонтальной ветвью не допускает выполнения расчётов прочности конструкции. Поэтому, в этом случае необходимо вручную проверять соблюдение требований пластичности.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Диаграмма работы арматуры: a) билинейная с наклонной пластичной ветвью; b) билинейная }}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{с горизонтальной пластичной ветвью.}}}\)

Упрочнение при растяжении (Рис. 30) учитывается автоматически путём изменения диаграммы работы голого арматурного стержня. Это делается для того, чтобы учесть среднюю жёсткость стержней в бетоне (ε_m) в соответствии с подходами, описанными в Разделе 1.2.4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Схемы упрочнения арматуры при растяжении.}}}\]

5.2     Коэффициенты безопасности

Метод совместимых полей напряжений полностью соответствует требованиям современных норм проектирования. Так как эти расчётные модели учитывают только основные свойства материала, то к ним можно напрямую применить частные коэффициенты безопасности из норм проектирования без дополнительной адаптации. Таким образом, приложенные нагрузки пересчитываются, а характеристики материала занижаются через коэффициенты безопасности, прописанные в нормах, как в обычных расчётах железобетона. Значения коэффициентов по умолчанию приводятся в EN 1992-1-1 разд. 2.4.2.4, однако пользователь может поменять их в настройках (Рис. 31).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad Задание коэффициентов безопасности по материалу в IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Частные коэффициенты безопасности по нагрузке должны задаваться пользователем по особым правилам для каждой нелинейной комбинации и каждого расчёта (Рис. 32). Во всех шаблонах моделей IDEA StatiCa Detail эти коэффициенты уже заданы.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Задание коэффициентов безопасности по нагрузке в IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Используя этот подход, пользователи также могут выполнять расчёты в соответствии с "global resistance factor method" (Navrátil, и др., 2017), но этот подход практически не используется в практике проектирования. В некоторых нормах рекомендуется использовать именно эту методику. Однако, в упрощённых нелинейных расчётах (в том числе и в МСПН), в которых фигурируют те же параметры материала, что и в ручных расчётах, рекомендуется всё же использовать подход с указанием частных коэффициентов безопасности.

5.3     Расчёты по 1 ПС

По результатам МСПН расчёта напрямую можно выполнить различные проверки, предписанные EN 1992-1-1. Проверки по 1 ПС включают в себя следующие:

• прочность бетона
• прочность арматуры
• длина заделки арматуры (проверка по напряжениям сцепления)

Прочность бетона при сжатии определяется как отношение максимальных главных напряжений сжатия σ_c3 , полученных в ходе МСПН расчёта, к предельному значению σ_c3,lim :

\[\frac{σ_{c3}}{σ_{c3,lim}}\]

\[σ_{c3,lim} = f_{cd} = α_{cc} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = α_{cc} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = α_{cc} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

Где:

f_ck       – нормативная цилиндрическая прочность бетона,

k_c2      – коэффициент разупрочнения бетона (см. 5.1.1),

γ_c          – частный коэффициент безопасности для бетона, γ_c = 1,5,

α_cc      – коэффициент, учитывающий влияние на прочность бетона его возраста и другие неблагоприятные эффекты, связанные с характером приложения нагрузок. По умолчанию коэффициент равен 1,0.

 

Прочность арматуры при сжатии и растяжении оценивается как отношение напряжений в трещинах σ_sr к заданному предельному значению σ_sr,lim:

\[\frac{σ_{sr}}{σ_{sr,lim}}\]

\(σ_{c3,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{для билинейной диаграммы с наклонной ветвью}}\)

\(σ_{c3,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{для билинейной диаграммы с горизонтальной ветвью}}\)

где:

f_yk      – предел текучести арматуры,

k        – отношение прочности при растяжении f_tk к пределу текучести,
            \(k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}\)

γ_s        – частный коэффициент безопасности для арматуры, γ_s = 1,15.

Прочность по границе сцепления оценивается отдельно как отношение напряжений сцепления τ_b , вычисленные в ходе КЭ-расчёта, к предельному значению f_bd, в соответствии с EN 1992-1-1 разд. 8.4.2:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\]

\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

где:

 f_ctd   –  расчётная прочность бетона при растяжении. Из-за повышенной хрупкости высокопрочных бетонов верхняя граница величины f_ctk,0,05 не может быть выше С60/75,

 η₁     –  коэффициент, зависящий от качества поверхности сцепления арматуры при бетонировании (Рис. 33):

             η₁ = 1,0 при ‘хороших’ условиях и 

             η₁ = 0,7 для всех остальных случаев и для стержней в конструктивных элементах, отлитых в стапельных формах, если 'хороших' условий не наблюдается

η₂        назначается в зависимости от диаметра:

            η₂ = 1,0 для Ø ≤ 32 мм

            η₂ = (132 - Ø)/100 для Ø > 32 мм

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad Пояснения к условиям сцепления.}}}\]

Описанные выше проверки выполняются с учётом соответствующих предельных значений. Несмотря на то, что классы бетона и арматуры для всей модели могут быть едиными, зависимости между напряжениями и деформациями могут отличаться от точки к точке в силу проявления эффектов упрочнения арматуры при растяжении и разупрочнения бетона при сжатии.

5.4     Частично нагруженные области

При расчёте железобетонных конструкций приходится сталкиваться с двумя большими группами частично нагруженных областей (англ. partially loaded areas, сокр. PLA). К первой группе относятся зоны действия больших сминающих напряжений, ко второй – зоны анкеровки. Согласно действующим нормам проектирования железобетонных конструкций, EN 1992-1-1 разд. 6.7 (Рис. 34), в таких областях необходимо учитывать местное разрушение бетона, а также растягивающие усилия в поперечном направлении. Для равномерно нагруженной области A_c0 прочность бетона при сжатии может быть выше до трёх раз в зависимости от конфигурации области распределения A_c1 (согласно новой редакции Еврокода, прочность таких зон может быть завышена до 7 раз).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Частично нагруженные области в соответствии с EN 1992-1-1.}}}\]

В таких областях нужно предусматривать много косвенной арматуры, которая будет воспринимать разрывные усилия. Для расчёта подобных зон Еврокод предусматривает метод тяжей и распорок (англ. Strut-and-Tie). Без достаточного армирования прочность таких областей не может быть увеличена.

Частично нагруженные области в МСПН

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Фиктивные тяжи в сетке конечных элементов бетона.}}}\]

МСПН позволяет выполнять расчёты и проверки железобетонных конструкций с учётом повышенной прочности бетона в частично нагруженных областях. Так как МСПН модель состоит из 2D элементов, а расчёт частично нагруженной области – 3D задача, то её решение должно удовлетворять обеим формулировкам (Рис. 35). Если функция "Частично нагруженная область" активна, то геометрия заданной усечённой пирамиды строится в соответствии с Еврокодом (Рис. 34). Все геометрические нестыковки решаются в объёмной постановке для заданной геометрии бетонного элемента и размеров каждой такой области. После этого строится её расчётная модель.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Допустимая геометрия усечённых пирамид (конусов).}}}\]

Подход с модификацией материала оказался неудобным в первую очередь из-за неудобства проецирования свойств бетона на сетку КЭ. Было определено, что более подходящим решением будет метод, не привязанный к сетке конечных элементов. Для заданного конуса сжатия создаются полностью когерентные фиктивные тяжи (Рис. 35 и Рис. 37). Эти тяжи имеют свойства, схожие с материалом бетона расчётной схемы, включая также диаграмму деформирования. Форма конуса определяет направление тяжей, которые постепенно распределяют нагрузку по области до расчётного участка распределения. Поверхностная плотность фиктивных тяжей меняется в пределах её размеров, что завышает фиктивную площадь бетона в направлении нагрузки. В уровне нагрузки (A_c0) добавляется фиктивная площадь бетона в соответствии с соотношением \(\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}\)  (где A_real – предполагаемая площадь опирания расчётной 2D-модели), эта площадь линейно уменьшается до нуля в направлении расчётной области распределения (A_c1). 

Такое решение гарантирует, что сжимающие напряжения в бетоне будут постоянными по всему объёму конуса.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Фиктивные тяжи в расчётной модели}}}\]

Прочность частично нагруженной области увеличивается в соответствии с отношением расчётной площади распределения к площади нагрузки, что описано в EN 1992-1-1 (6.7). Следует помнить, что такая расчётная модель не может точно описать напряжённо-деформированное состояние в данной области, так как в реальности оно намного сложнее. Тем не менее, такой подход позволяет получить корректное распределение нагрузки по всей модели с учётом повышенной прочности отдельных зон. Кроме того, он подробно описывает распределение поперечных напряжений в этих областях.

5.5     Расчёты по 2 ПС

Проверки по 2 ПС включают в себя ограничение напряжений, ширину раскрытия трещин и ограничение прогибов. Напряжения в бетоне и арматуре проверяются в соответствии с Еврокодом 1992-1-1 аналогично 1 ПС.

5.5.1  Ограничение напряжений

Сжимающие напряжения в бетоне ограничиваются, чтобы избежать появления продольных трещин. Согласно EN 1992-1-1 разд. 7.2 (2), продольные трещины могут возникать, если уровень напряжений от характеристической комбинации нагрузок превышает величину k₁f_ck. Сжимающие напряжения в бетоне определяются как отношение максимальных главных напряжений σ_c3 , полученных в ходе КЭ-расчёта по 2 ПС к предельному значению σ_c3,lim , после чего находятся значения

\[\frac{σ_{c3}}{σ_{c3,lim}}\]

\[σ_{c3,lim} = k_1\cdot f_{ck}\]

где:

f_ck   –  нормативное значение цилиндрической прочности бетона,

k₁    –  коэффициент, равный 0.6.

Предполагается, что недопустимых трещин и деформаций можно избежать в том случае, если для характеристической комбинации нагрузок растягивающие напряжения в арматуре не будут превышать величины k₃f_yk (EN 1992-1-1 разд. 7.2 (5)). Прочность арматуры определяется как отношение напряжений в пределах трещин σ_sr к заданному предельному значению σ_sr,lim:

\[\frac{σ_{sr}}{σ_{sr,lim}}\]

\[σ_{sr,lim} =  k_3\cdot f_{yk}\]

где:

f_yk   –  предел текучести арматуры,

k₃    –  коэффициент, равный 0.8.

5.5.2  Прогибы

Оценку прогибов можно выполнить только для стеновых панелей или статически определимых и статически неопределимых балок. В этих случаях оцениваются абсолютные величины прогибов (относительно исходного состояния перед нагружением), а максимально допустимые значения задаются пользователем. Проверку прогибов в элементах с подрезкой проверить нельзя, так как фактически такие расчётные схемы являются механизмами, их равновесие достигается постановкой силовых граничных условий, а не кинематических. По этой причине перемещения в таких моделях будут нереалистичными. Проверить можно как кратковременные прогибы u_z,st , так и длительные u_z,lt и сравнить их с пользовательскими предельными значениями:

\[\frac{u_ z}{u_{z,lim}}\]

где:

u_z        –   кратковременный или длительный прогиб из КЭ-расчёта,

u_z,lim    –   предельный прогиб, заданный пользователем..

5.5.3  Ширина раскрытия трещин

Ширина раскрытия трещин и их направления вычисляются только для постоянных нагрузок, как кратковременных, так и длительных. Результаты сравниваются с предельными значениями, заданными пользователем в соответствии с Еврокодом:

\[\frac{w_ z}{w_{z,lim}}\]

где:

w       –   ширина раскрытия трещин от кратковременных или длительных нагрузок, вычисленная в ходе КЭ-расчёта,

w_lim   –    предельное раскрытие трещин, заданное пользователем.

Как уже было сказано в разделе 4.2.1, раскрытие трещин определяется двумя способами (стабилизированные и нестабилизированные трещины). В общем случае (стабилизированные трещины) ширина раскрытия определяется интегрированием деформаций по длине 1D элементов арматурных стержней. Направления трещин затем вычисляются по трём ближайшим (от центра рассматриваемого 1D элемента арматуры) точкам интегрирования 2D элементов бетона. Хотя такой способ определения направлений трещин не позволяет определить фактическое положение трещин, он даёт важные результаты, по которым можно оценить саму ширину раскрытия трещин и сравнить её с нормативным значением для заданного арматурного стержня.

Ссылки

ACI Committee 318. 2009a. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08) and Commentary. Farmington Hills, MI: American Concrete Institute.

Alvarez, Manuel. 1998. Einfluss des Verbundverhaltens auf das Verformungsvermögen von Stahlbeton. IBK Bericht 236. Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zurich, Birkhäuser Verlag.

Beeby, A. W. 1979. “The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete.” The Structural Engineer 57A (1): 9–17.

Broms, Bengt B. 1965. “Crack Width and Crack Spacing In Reinforced Concrete Members.” ACI Journal Proceedings 62 (10): 1237–56. https://doi.org/10.14359/7742.

Burns, C.. 2012. “Serviceability Analysis of Reinforced Concrete Members Based on the Tension Chord Model.” IBK Report Nr. 342, Zurich, Switzerland: ETH Zurich.

Crisfield, M. A. 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley.

European Committee for Standardization (CEN). 2015. 1 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1:  General rules and rules for buildings. Brussels: CEN, 2005.

Fernández Ruiz, M., and A. Muttoni. 2007. “On Development of Suitable Stress Fields for Structural Concrete.” ACI Structural Journal 104 (4): 495–502.

Kaufmann, W., J. Mata-Falcón, M. Weber, T. Galkovski, D. Thong Tran, J. Kabelac, M. Konecny, J. Navratil, M. Cihal, and P. Komarkova. 2020. “Compatible Stress Field Design Of Structural Concrete. Berlin, Germany.”AZ Druck und Datentechnik GmbH, ISBN 978-3-906916-95-8.

Kaufmann, W., and P. Marti. 1998. “Structural Concrete: Cracked Membrane Model.” Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467–75. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467).

Kaufmann, W.. 1998. “Strength and Deformations of Structural Concrete Subjected to In-Plane Shear and Normal Forces.” Doctoral dissertation, Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7612-4.

Konečný, M., J. Kabeláč, and J. Navrátil. 2017. Use of Topology Optimization in Concrete Reinforcement Design. 24. Czech Concrete Days (2017). ČBS ČSSI. https://resources.ideastatica.com/Content/06_Detail/Verification/Articles/Topology_optimization_US.pdf.

Marti, P. 1985. “Truss Models in Detailing.” Concrete International 7 (12): 66–73.

Marti, P. 2013. Theory of Structures: Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells. First edition. Berlin, Germany: Wiley Ernst & Sohn.

http://sfx.ethz.ch/sfx_locater?sid=ALEPH:EBI01&genre=book&isbn=9783433029916.

Marti, P., M.Alvarez, W. Kaufmann, and V. Sigrist. 1998. “Tension Chord Model for Structural Concrete.” Structural Engineering International 8 (4): 287–298.

https://doi.org/10.2749/101686698780488875.

Mata-Falcón, J. 2015. “Serviceability and Ultimate Behaviour of Dapped-End Beams (In Spanish: Estudio Del Comportamiento En Servicio y Rotura de Los Apoyos a Media Madera).” PhD thesis, Valencia: Universitat Politècnica de València.

Meier, H. 1983. “Berücksichtigung Des Wirklichkeitsnahen Werkstoffverhaltens Beim Standsicherheitsnachweis Turmartiger Stahlbetonbauwerke.” Institut für Massivbau, Universität Stuttgart.

Navrátil, J., P. Ševčík, L. Michalčík, P. Foltyn, and J. Kabeláč. 2017. A Solution for Walls and Details of Concrete Structures. 24. Czech Concrete Days.

Schlaich, J., K. Schäfer, and M. Jennewein. 1987a. “Toward a Consistent Design of Structural Concrete.” PCI Journal 32 (3): 74–150.

Vecchio, F.J., and M.P. Collins. 1986. “The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear.” ACI Journal 83 (2): 219–31.

Прикреплённые файлы

• Theoretical Background 20.pdf (PDF, 2,1 MB)