Проверка конструкций с использованием МСПН выполняется двумя различными способами: по 1 ПС и 2 ПС. В расчётах по 2 ПС подразумевается, что поведение элемента находится в допустимых пределах, а условия разрушения материала не достигаются при заданном уровне нагрузки. Это позволяет использовать упрощённые расчётные модели (диаграмму для бетона с линейной ветвью) для улучшения сходимости и ускорения расчётов.
5.1 Материалы
5.1.1 Бетон - 1 ПС
Для модели бетона в МСПН необходим только один параметр – прочность бетона при сжатии. В неё заложены простые зависимости для одноосного сжатия, прописанные в EN 1992-1-1 для проверки ЖБ сечений. В МСПН по умолчанию используется параболически-линейная зависимость из EN 1992-1-1 (Рис. 26a), однако пользователи также могут выбрать упрощённую билинейную упруго-идеальнопластическую диаграмму (Рис. 26b). Прочность на растяжение не учитывается, как и в классическом подходе к проектированию железобетонных конструкций.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Диаграмма зависимости напряжений от деформации для бетона по 1 ПС: a) параболически-линейная диаграмма; b) билинейная зависимость.}}}\]
Текущая реализация МСПН в IDEA StatiCa Detail не учитывает явный критерий разрушения бетона от деформаций при сжатии. Таким образом, при достижении предельных напряжений бетон работает в пластической стадии с εcu2 (εcu3), равным 5%, в то время как по EN 1992-1-1 предполагается, что деформации должны быть менее 0,35%. Это упрощение не позволяет выполнить проверку железобетонных конструкций по деформациям при разрушении от сжатия. Однако, несущую способность можно спрогнозировать с помощью специального коэффициента в дополнение к значению kc2 (Рис. 27) для бетона с трещинами. Этот понижающий коэффициент \(\eta_{fc}\), заданный в fib Model Code 2010, позволяет учесть увеличение хрупкости бетона с ростом его прочности:
\[f_{cd}=\frac{f_{ck,red}}{γ_c} = \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]
\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]
где:
kc – общий понижающий коэффициент к прочности при сжатии
kc2 – понижающий коэффициент, учитывающий влияние поперечных трещин
fck – нормативная цилиндрическая прочность бетона (в МПа, для задания\( \eta_{fc} \)).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27\qquad Закон разупрочнения бетона при сжатии.}}}\]
5.1.2 Бетон - 2 ПС
В расчётах по 2 ПС используются некоторые упрощения в расчётных моделях. Здесь подразумевается, что поверхность арматуры находится в идеальном зацеплении с бетоном, то есть, длина её заделки в бетоне не проверяется. Кроме того, пластическая ветвь на диаграмме работы бетона не учитывается: считается, что бетон до бесконечности работает линейно-упруго. Описанные упрощения улучшают сходимость расчёта и повышают его скорость, при этом не нарушая фундаментальных принципов, так как результирующие напряжения в расчётах по 2 ПС находятся далеко от предельных значений (по требованию Еврокодов). Поэтому упрощённые модели, используемые в расчётах по 2 ПС, могут использоваться только в том случае, когда выполнены все эти необходимые требования.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Диаграммы работы бетона для расчётов по 2 ПС: при кратковременном нагружении и при длительном нагружении.}}}\]
Длительные воздействия
В расчётах по 2 ПС эффекты старения бетона учитываются с помощью специального коэффициента бесконечной ползучести (\(\varphi\), который по умолчанию равен 2.5. Этот коэффициент влияет на секущий модуль упругости бетона (Ecm):
\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]
При учёте эффектов старения сперва определяется шаг постоянной нагрузки с учётом коэффициента ползучести (то есть, по приведённому модулю упругости бетона, Ec,eff), после чего вычисляются дополнительные нагрузки без учёта коэффициента ползучести (например, по Ecm). Кроме того, для выполнения проверок с учётом длительных эффектов выполняется ещё один расчёт на все нагрузки без учёта коэффициента ползучести. Оба расчёта с учётом длительных и кратковременных эффектов показаны на Рис. 28.
5.1.3 Армирование
По умолчанию для голых арматурных стержней принимается идеализированная билинейная диаграмма зависимости "Напряжения-Деформации", обычно используемая в нормах (Рис. 29). Для построения этой диаграммы требуются только основные свойства арматуры, известные на стадии проектирования (класс прочности и пластичности). Здесь также можно учесть фактические соотношения между напряжениями и деформациями арматуры, если они известны (для горячекатанной, холоднотянутой, подверженной закалке или отпуску). Диаграмма зависимости напряжений от деформаций может быть пользовательской, но в этом случае нельзя будет учесть эффект упрочнения при растяжении (нельзя вычислить ширину раскрытия трещин). Диаграмма с горизонтальной ветвью не допускает выполнения расчётов прочности конструкции. Поэтому, в этом случае необходимо вручную проверять соблюдение требований пластичности.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Диаграмма работы арматуры: a) билинейная с наклонной пластичной ветвью; b) билинейная }}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{с горизонтальной пластичной ветвью.}}}\)
Упрочнение при растяжении (Рис. 30) учитывается автоматически путём изменения диаграммы работы голого арматурного стержня. Это делается для того, чтобы учесть среднюю жёсткость стержней в бетоне (εm) в соответствии с подходами, описанными в Разделе 1.2.4.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Схемы упрочнения арматуры при растяжении.}}}\]
5.2 Коэффициенты безопасности
Метод совместимых полей напряжений полностью соответствует требованиям современных норм проектирования. Так как эти расчётные модели учитывают только основные свойства материала, то к ним можно напрямую применить частные коэффициенты безопасности из норм проектирования без дополнительной адаптации. Таким образом, приложенные нагрузки пересчитываются, а характеристики материала занижаются через коэффициенты безопасности, прописанные в нормах, как в обычных расчётах железобетона. Значения коэффициентов по умолчанию приводятся в EN 1992-1-1 разд. 2.4.2.4, однако пользователь может поменять их в настройках (Рис. 31).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad Задание коэффициентов безопасности по материалу в IDEA StatiCa Detail.}}}\]
Частные коэффициенты безопасности по нагрузке должны задаваться пользователем по особым правилам для каждой нелинейной комбинации и каждого расчёта (Рис. 32). Во всех шаблонах моделей IDEA StatiCa Detail эти коэффициенты уже заданы.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Задание коэффициентов безопасности по нагрузке в IDEA StatiCa Detail.}}}\]
Используя этот подход, пользователи также могут выполнять расчёты в соответствии с "global resistance factor method" (Navrátil, и др., 2017), но этот подход практически не используется в практике проектирования. В некоторых нормах рекомендуется использовать именно эту методику. Однако, в упрощённых нелинейных расчётах (в том числе и в МСПН), в которых фигурируют те же параметры материала, что и в ручных расчётах, рекомендуется всё же использовать подход с указанием частных коэффициентов безопасности.
5.3 Расчёты по 1 ПС
По результатам МСПН расчёта напрямую можно выполнить различные проверки, предписанные EN 1992-1-1. Проверки по 1 ПС включают в себя следующие:
- прочность бетона
- прочность арматуры
- длина заделки арматуры (проверка по напряжениям сцепления)
Прочность бетона при сжатии определяется как отношение максимальных главных напряжений сжатия σc3 , полученных в ходе МСПН расчёта, к предельному значению σc3,lim :
\[\frac{σ_{c3}}{σ_{c3,lim}}\]
\[σ_{c3,lim} = f_{cd} = α_{cc} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = α_{cc} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = α_{cc} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]
\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]
Где:
fck – нормативная цилиндрическая прочность бетона,
kc2 – коэффициент разупрочнения бетона (см. 5.1.1),
γc – частный коэффициент безопасности для бетона, γc = 1,5,
αcc – коэффициент, учитывающий влияние на прочность бетона его возраста и другие неблагоприятные эффекты, связанные с характером приложения нагрузок. По умолчанию коэффициент равен 1,0.
Прочность арматуры при сжатии и растяжении оценивается как отношение напряжений в трещинах σsr к заданному предельному значению σsr,lim:
\[\frac{σ_{sr}}{σ_{sr,lim}}\]
\(σ_{c3,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{для билинейной диаграммы с наклонной ветвью}}\)
\(σ_{c3,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{для билинейной диаграммы с горизонтальной ветвью}}\)
где:
fyk – предел текучести арматуры,
k – отношение прочности при растяжении ftk к пределу текучести,
\(k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}\)
γs – частный коэффициент безопасности для арматуры, γs = 1,15.
Прочность по границе сцепления оценивается отдельно как отношение напряжений сцепления τb , вычисленные в ходе КЭ-расчёта, к предельному значению fbd, в соответствии с EN 1992-1-1 разд. 8.4.2:
\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\]
\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]
где:
fctd – расчётная прочность бетона при растяжении. Из-за повышенной хрупкости высокопрочных бетонов верхняя граница величины fctk,0,05 не может быть выше С60/75,
η1 – коэффициент, зависящий от качества поверхности сцепления арматуры при бетонировании (Рис. 33):
η1 = 1,0 при ‘хороших’ условиях и
η1 = 0,7 для всех остальных случаев и для стержней в конструктивных элементах, отлитых в стапельных формах, если 'хороших' условий не наблюдается
η2 назначается в зависимости от диаметра:
η2 = 1,0 для Ø ≤ 32 мм
η2 = (132 - Ø)/100 для Ø > 32 мм
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad Пояснения к условиям сцепления.}}}\]
Описанные выше проверки выполняются с учётом соответствующих предельных значений. Несмотря на то, что классы бетона и арматуры для всей модели могут быть едиными, зависимости между напряжениями и деформациями могут отличаться от точки к точке в силу проявления эффектов упрочнения арматуры при растяжении и разупрочнения бетона при сжатии.
5.4 Частично нагруженные области
При расчёте железобетонных конструкций приходится сталкиваться с двумя большими группами частично нагруженных областей (англ. partially loaded areas, сокр. PLA). К первой группе относятся зоны действия больших сминающих напряжений, ко второй – зоны анкеровки. Согласно действующим нормам проектирования железобетонных конструкций, EN 1992-1-1 разд. 6.7 (Рис. 34), в таких областях необходимо учитывать местное разрушение бетона, а также растягивающие усилия в поперечном направлении. Для равномерно нагруженной области Ac0 прочность бетона при сжатии может быть выше до трёх раз в зависимости от конфигурации области распределения Ac1 (согласно новой редакции Еврокода, прочность таких зон может быть завышена до 7 раз).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Частично нагруженные области в соответствии с EN 1992-1-1.}}}\]
В таких областях нужно предусматривать много косвенной арматуры, которая будет воспринимать разрывные усилия. Для расчёта подобных зон Еврокод предусматривает метод тяжей и распорок (англ. Strut-and-Tie). Без достаточного армирования прочность таких областей не может быть увеличена.
Частично нагруженные области в МСПН
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Фиктивные тяжи в сетке конечных элементов бетона.}}}\]
МСПН позволяет выполнять расчёты и проверки железобетонных конструкций с учётом повышенной прочности бетона в частично нагруженных областях. Так как МСПН модель состоит из 2D элементов, а расчёт частично нагруженной области – 3D задача, то её решение должно удовлетворять обеим формулировкам (Рис. 35). Если функция "Частично нагруженная область" активна, то геометрия заданной усечённой пирамиды строится в соответствии с Еврокодом (Рис. 34). Все геометрические нестыковки решаются в объёмной постановке для заданной геометрии бетонного элемента и размеров каждой такой области. После этого строится её расчётная модель.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Допустимая геометрия усечённых пирамид (конусов).}}}\]
Подход с модификацией материала оказался неудобным в первую очередь из-за неудобства проецирования свойств бетона на сетку КЭ. Было определено, что более подходящим решением будет метод, не привязанный к сетке конечных элементов. Для заданного конуса сжатия создаются полностью когерентные фиктивные тяжи (Рис. 35 и Рис. 37). Эти тяжи имеют свойства, схожие с материалом бетона расчётной схемы, включая также диаграмму деформирования. Форма конуса определяет направление тяжей, которые постепенно распределяют нагрузку по области до расчётного участка распределения. Поверхностная плотность фиктивных тяжей меняется в пределах её размеров, что завышает фиктивную площадь бетона в направлении нагрузки. В уровне нагрузки (Ac0) добавляется фиктивная площадь бетона в соответствии с соотношением \(\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}\) (где Areal – предполагаемая площадь опирания расчётной 2D-модели), эта площадь линейно уменьшается до нуля в направлении расчётной области распределения (Ac1).
Такое решение гарантирует, что сжимающие напряжения в бетоне будут постоянными по всему объёму конуса.
\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}} - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Фиктивные тяжи в расчётной модели}}}\]
Прочность частично нагруженной области увеличивается в соответствии с отношением расчётной площади распределения к площади нагрузки, что описано в EN 1992-1-1 (6.7). Следует помнить, что такая расчётная модель не может точно описать напряжённо-деформированное состояние в данной области, так как в реальности оно намного сложнее. Тем не менее, такой подход позволяет получить корректное распределение нагрузки по всей модели с учётом повышенной прочности отдельных зон. Кроме того, он подробно описывает распределение поперечных напряжений в этих областях.
5.5 Расчёты по 2 ПС
Проверки по 2 ПС включают в себя ограничение напряжений, ширину раскрытия трещин и ограничение прогибов. Напряжения в бетоне и арматуре проверяются в соответствии с Еврокодом 1992-1-1 аналогично 1 ПС.
5.5.1 Ограничение напряжений
Сжимающие напряжения в бетоне ограничиваются, чтобы избежать появления продольных трещин. Согласно EN 1992-1-1 разд. 7.2 (2), продольные трещины могут возникать, если уровень напряжений от характеристической комбинации нагрузок превышает величину k1fck. Сжимающие напряжения в бетоне определяются как отношение максимальных главных напряжений σc3 , полученных в ходе КЭ-расчёта по 2 ПС к предельному значению σc3,lim , после чего находятся значения
\[\frac{σ_{c3}}{σ_{c3,lim}}\]
\[σ_{c3,lim} = k_1\cdot f_{ck}\]
где:
fck – нормативное значение цилиндрической прочности бетона,
k1 – коэффициент, равный 0.6.
Предполагается, что недопустимых трещин и деформаций можно избежать в том случае, если для характеристической комбинации нагрузок растягивающие напряжения в арматуре не будут превышать величины k3fyk (EN 1992-1-1 разд. 7.2 (5)). Прочность арматуры определяется как отношение напряжений в пределах трещин σsr к заданному предельному значению σsr,lim:
\[\frac{σ_{sr}}{σ_{sr,lim}}\]
\[σ_{sr,lim} = k_3\cdot f_{yk}\]
где:
fyk – предел текучести арматуры,
k3 – коэффициент, равный 0.8.
5.5.2 Прогибы
Оценку прогибов можно выполнить только для стеновых панелей или статически определимых и статически неопределимых балок. В этих случаях оцениваются абсолютные величины прогибов (относительно исходного состояния перед нагружением), а максимально допустимые значения задаются пользователем. Проверку прогибов в элементах с подрезкой проверить нельзя, так как фактически такие расчётные схемы являются механизмами, их равновесие достигается постановкой силовых граничных условий, а не кинематических. По этой причине перемещения в таких моделях будут нереалистичными. Проверить можно как кратковременные прогибы uz,st , так и длительные uz,lt и сравнить их с пользовательскими предельными значениями:
\[\frac{u_ z}{u_{z,lim}}\]
где:
uz – кратковременный или длительный прогиб из КЭ-расчёта,
uz,lim – предельный прогиб, заданный пользователем..
5.5.3 Ширина раскрытия трещин
Ширина раскрытия трещин и их направления вычисляются только для постоянных нагрузок, как кратковременных, так и длительных. Результаты сравниваются с предельными значениями, заданными пользователем в соответствии с Еврокодом:
\[\frac{w_ z}{w_{z,lim}}\]
где:
w – ширина раскрытия трещин от кратковременных или длительных нагрузок, вычисленная в ходе КЭ-расчёта,
wlim – предельное раскрытие трещин, заданное пользователем.
Как уже было сказано в разделе 4.2.1, раскрытие трещин определяется двумя способами (стабилизированные и нестабилизированные трещины). В общем случае (стабилизированные трещины) ширина раскрытия определяется интегрированием деформаций по длине 1D элементов арматурных стержней. Направления трещин затем вычисляются по трём ближайшим (от центра рассматриваемого 1D элемента арматуры) точкам интегрирования 2D элементов бетона. Хотя такой способ определения направлений трещин не позволяет определить фактическое положение трещин, он даёт важные результаты, по которым можно оценить саму ширину раскрытия трещин и сравнить её с нормативным значением для заданного арматурного стержня.