Расчёт и проверка железобетонных элементов, как правило, выполняются на уровне сечений (1D элементы) или на уровне точечной оценки (2D элементы). Эта процедура описывается во всех нормах проектирования, н-р, в EN 1992-1-1, и используется в ежедневной инженерной практике. Однако, не всегда известно, что эта процедура применима только для областей, в которых выполняется гипотеза Навье-Бернулли о плоских сечениях (В-области). Места конструкции, где эти гипотезы не выполняются, называются областями разрыва сплошности (D-области). Примеры В и D областей в 1D элементах приводятся на Рис. 1. Это могут быть, например, опорные узлы, места приложения сосредоточенных нагрузок, участки резкого изменения сечений, проёмы и т.д. При расчёте железобетонных конструкций приходится также сталкиваться с множеством других D-областей, таких как стеновые панели, диафрагмы мостов, консоли и т.д.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Рис. 1\qquad Области разрыва сплошности (Navrátil и др., 2017)}}}\]
Ранее для решения таких задач использовались полуэмпирические зависимости. К счастью, в последнее время их серьёзно потеснили модели тяжей и распорок (Schlaich et al., 1987) и поля напряжений (Marti 1985), которые включены в текущие нормы проектирования и используются инженерами на сегодняшний день. Эти модели следуют принципам механики и являются довольно мощным расчётным инструментом. Следует отметить, что поля напряжений могут быть как непрерывными, так и прерывистыми, а модели тяжей и распорок являются частными случаями непрерывных полей напряжений.
Несмотря на широкое развитие вычислительных технологий за последние десятилетия, метод тяжей и распорок всё ещё используется для ручных расчётов. Его применение в рабочей практике весьма утомительно, требует много времени на выполнение итераций и учёт нескольких расчётов. Более того, эта методика не подходит для проверки конструкций по эксплуатационной пригодности (раскрытие трещин, деформации и т.д.).
Потребность проектировщиков в надёжном и быстром инструменте для проверки D-областей привела к созданию нового Метода Совместимых Полей Напряжений, который позволяет выполнять автоматизированные расчёты и проверки железобетонных конструкций, подверженных плоскому напряжённо-деформированному состоянию.
В методе совместимых полей напряжений (далее – МСПН), основанном на конечно-элементном подходе, классические зависимости для напряжений дополняются кинематическими условиями, то есть, деформированное состояние может быть получено для всей конструкции. Следовательно, эффективная прочность бетона может быть вычислена автоматически через зависимости для поперечной деформации, как это делается при анализе полей сжимающих напряжений с учётом разупрочнения при сжатии (Vecchio and Collins 1986; Kaufmann и Marti 1998) и в EPSF-методе (Fernández Ruiz и Muttoni 2007). Более того, МСПН учитывает упрочнение арматуры при растяжении, описывая фактическую жёсткость элементов и охватывает все предписания норм проектирования (включая эксплуатационную пригодность и деформативность), что не учитывалось в предыдущих подходах. В МСПН используются известные одноосные зависимости, подробно описанные в нормах проектирования для бетона и арматуры. Они известны на этапе проектирования, и это позволяет использовать подход с частными коэффициентами безопасности. Следовательно, проектировщикам не нужно указывать дополнительные (зачастую произвольные) свойства материалов, которые требуются для выполнения нелинейных КЭ-расчётов, что делает МСПН весьма удобным для повседневного использования.
Чтобы сделать эту методику востребованной в инженерном сообществе, её нужно реализовать в виде удобного программного обеспечения. Именно для этой цели МСПН был реализован в IDEA StatiCa Detail – новом удобном программном обеспечении, разработанном коммерческой организацией IDEA StatiCa совместно с ETH Zurich в рамках проекта DR-Design Eurostars-10571.
1.1 Основные допущения и ограничения
МСПН оперирует понятием фиктивных поворачивающихся трещин без напряжений в бетоне, раскрывающиеся без проскальзывания (рис. 2а) и рассматривает их равновесие вместе со средней деформацией в арматуре. Следовательно, модель учитывает максимальные напряжения в бетоне (σc3r) и напряжения в арматуре (σsr) в трещинах, пренебрегая прочностью бетона при растяжении (σc1r = 0), но принимая во внимание упрочнение арматуры при растяжении. Учёт упрочнения арматуры при растяжении позволяет получить среднюю деформацию арматуры (εm).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Рис. 2\qquad Базовые положения МСПН: (a) главные напряжения в бетоне; (b) напряжения в направлении арматуры;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) диаграмма НДС бетона с учётом максимальных напряжений и разупрочнения при сжатии;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) диаграмма НДС арматуры с учётом напряжений в трещинах и средних деформаций; (e) разупрочнение при сжатии}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) зависимость проскальзывания от сдвигающих напряжений для верификации длины анкеровки.}}}\)
Несмотря на их простоту, было показано, что эти зависимости весьма точно описывают поведение железобетонных конструкций, подверженных плоскому напряжённо-деформированному состоянию (Kaufmann 1998; Kaufmann и Marti 1998) в случаях, когда заданное армирование позволяет избежать хрупкого разрушения конструкции. Кроме того, неучёт вклада растянутого бетона на предельную нагрузку согласуется с принципами, описанными в современных нормах проектирования, которые в большинстве своём основаны на теории пластичности бетона.
Однако, МСПН не подходит для гибких элементов без поперечного армирования, поскольку соответствующие механизмы для таких элементов, например, сцепление заполнителя, остаточные напряжения в трещинах и нагельный эффект, которые прямо или косвенно зависят от прочности бетона, не учитываются. Хотя некоторые нормы и разрешают рассчитывать такие элементы с помощью полуэмпирических зависимостей, МСПН не предназначен для конструкций, подверженных хрупкому разрушению.
1.2 Расчётные модели
1.2.1 Бетон
Модель бетона, заложенная в МСПН, базируется на одноосном напряжённо-деформированном состоянии, который используется в нормах для расчёта сечений железобетонных элементов, и использует только один входящий параметр – прочность при сжатии. Параболически-линейная зависимость, описанная в EN 1992-1-1 (рис. 2с), используется в МСПН по умолчанию, но проектировщики также могут использовать более сложные идеально-упругопластические зависимости между напряжениями и деформациями. Проверки по ACI 3018-04 допускают только параболически-линейные зависимости. Как уже говорилось ранее, растянутый бетон не учитывается, в соответствии с классическими положениями норм проектирования.
Эффективная прочность бетона с трещинами определяется автоматически по главным деформациям (ε1) с учётом понижающего коэффициента kc2, как описано в пунктах с и е Рис. 2. Реализованная зависимость (Рис. 2е) – это обобщение fib для Model Code 2010 для проверки на сдвиг, которое содержит предельное значение, равное 0.65 как максимальное отношение нормативной прочности бетона к пределу его прочности. Это обобщение не применимо к другим расчётам.
По умолчанию текущая реализация МСПН в IDEA StatiCa Detail не учитывает явный критерий разрушения с точки зрения деформаций бетона при сжатии (т. е. после достижения пиковых напряжений пластическая ветвь считается бесконечной). Эти упрощения накладывают ограничения на проверку деформативности конструкций, разрушающихся от сжатия. Однако, предел их прочности можно корректно оценить в том случае, если кроме коэффициента разупрочнения (kc2), указанного на Рис. 2е, учесть увеличение хрупкости бетона по мере роста его прочности с помощью понижающего коэффициента \( \eta_{fc} \), заданного в fib Model Code 2010 следующим образом:
\[f_{ck,red} = k_c \cdot f_{ck} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}\]
\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]
где:
kc – глобальный понижающий коэффициент к прочности бетона при сжатии
kc2 – понижающий коэффицент, учитывающий влияние поперечных трещин
fck – нормативная цилиндрическая прочность бетона (в МПа для задания коэффициента\( \eta_{fc} \)).
1.2.2 Арматура
По умолчанию для голых (без учёта бетона) арматурных стержней используется идеализированная билинейная диаграмма работы (Рис 2d), подробно описанная во многих нормативных документах. Для задания такой зависимости требуются только базовые свойства арматуры на стадии проектирования (прочность и класс пластичности). В программе также можно задать пользовательские диаграммы работы. Упрочнение при растяжении учитывается с помощью небольшой модификации исходной зависимости для голых арматурных стержней, что позволяет зафиксировать среднюю жёсткость стержней, заделанных в бетон (εm) (См. раздел 1.2.4).
1.2.3 Оценка длины анкеровки
Моделирование сцепления и проскальзывания по границе арматуры с бетоном реализовано специальными конечными элементами. Они используются для выполнения расчётов по 1 ПС и работают по упрощённому жёстко-пластическому закону, показанному на Рис. 2f, где fbd – расчётное предельное значение прочности сцепления, взятое из норм проектирования в зависимости от условий заделки.
В программе используется именно упрощённая модель. Её основное назначение – проверка требований по обеспечению надёжности анкеровки в соответствии с нормами проектирования (т. е. заделки арматуры). Уменьшение длины анкеровки за счёт крюков, петель и других форм загиба стержней может быть учтено с помощью специальных коэффициентов жёсткости заделки концов этих стержней, как это подробно описано в разделе 3.5.3. Следует отметить, что для учёта упрочнения при растяжении и расчёта ширины раскрытия трещин используется другая зависимость для сцепления арматуры с бетоном.
1.2.4 Упрочнение при растяжении
Реализованный механизм учёта упрочнения при растяжении различает нестабилизированные и стабилизированные трещины. В обоих случаях перед нагружением бетон считается полностью трещиноватым.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Упрочнение арматуры: (a) модель растянутых стержней для стабилизированных трещин с учётом распределения напряжений сцепления,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{напряжения в стали и бетоне, деформации стали между трещинами с учётом среднего расстояния между трещинами); (b) предположения о выдёргивании}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{для нестабилизированных трещин с учётом распределения сдвигающих напряжений от сцепления, напряжений в арматуре и деформаций вокруг трещин; (c) результирующее}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{поведение растянутого стержня в пределах трещин с точки зрения напряжений при средних деформациях для европейской стали В500В;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) начальная ветвь деформирования растянутого стержня.}}}\)
Стабилизированные трещины
В полностью стабилизированных (раскрытых) трещинах упрочнение при растяжении арматуры описывается с помощью Модели Растянутого Тяжа (англ. Tension Chord Model, сокр. TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Рис. 3a, которая , несмотря на свою простоту, даёт отличные результаты (Burns 2012). ТСМ предполагает ступенчатую, идеально жёстко-пластичную зависимость для напряжений и проскальзывания с τb = τb0 =2 fctm для σs ≤ fy и τb =τb1 = fctm для σs > fy. При рассмотрении каждого арматурного стержня как растянутого тяжа (Рис. 3b и 3a) распределение напряжений сцепления, напряжений в арматуре и бетоне и, как следствие, деформации между трещинами могут быть определены для любых заданных значений максимальных напряжений (деформаций) в арматуре в пределах трещин.
При sr = sr0 новые трещины могут образовываться, а могут и нет, так как в середине расстояния между двумя трещинами выполняется условие σc1 = fct. Следовательно, расстояние между трещинами может изменяться вдвое, т. е. sr = λsr0, с λ = 0.5…1.0. Предполагая, что λ имеет заданное значение, средняя деформация тяжа (εm) может быть выражена как функция от максимальных напряжений в арматуре (т. е. напряжений в трещинах, σsr). Для идеализированной билинейной диаграммы зависимости напряжений от деформаций в отдельно взятом арматурном стержне без учёта бетона, которые рассматриваются в рамках МСПН по умолчанию, получены следующие аналитические зависимости (Marti et al. 1998):
\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]
\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]
\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]
где:
Esh коэффициент упрочнения стали Esh = (ft – fy)/(εu – fy /Es) ,
Es модуль упругости арматуры,
Ø диаметр арматурного стержня,
sr расстояние между трещинами,
σsr напряжения в арматуре в пределах трещины,
σs фактические напряжения в арматуре,
fy предел текучести арматуры.
Реализация МСПН в IDEA StatiCa Detail по умолчанию учитывает осреднённый шаг трещин при численном расчёте полей напряжений. Среднее расстояние между трещинами считается равным 2/3 от максимального расстояния (λ = 0.67), что соответствует рекомендациям, полученным на основе натурных испытаний на изгиб и растяжение (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Следует отметить, что в расчётах ширины раскрытия трещин учитывается именно максимальное расстояние между трещинами (λ = 1.0) для более консервативной оценки.
Границы применимости ТСМ зависят коэффициента армирования, и поэтому назначение площади растянутого бетона между трещинами будет определяющим фактором для каждого арматурного стержня. Для этого был реализован автоматизированный численный подход, позволяющий определить эффективный коэффициент армирования (ρeff = As/Ac,eff) для любых конфигураций схемы, даже с учётом наклонной арматуры (Рис. 4).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Эффективная площадь растянутого бетона для стабилизированных трещин: (a) максимальная площадь, которая может быть задействована;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) защитный слой и условия общей симметрии; (c) результирующая эффективная площадь.}}}\)
Нестабилизированные трещины
Трещины, имеющиеся в бетоне с геометрическим коэффициентом армирования ρcr , т. е. минимально возможной площадью для восприятия нагрузок в момент трещинообразования без наступления текучести, возникают либо в результате немеханических воздействий (н-р, усадки), либо в результате трещин, контролируемых другим армированием. Величина этого минимального армирования находится следующим образом:
\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]
где:
fy предел текучести арматуры,
fct прочность бетона при растяжении,
n отношение модулей упругости, n = Es / Ec .
Для обычных бетонов и арматуры величина ρcr составляет приблизительно 0.6%.
Для хомутов с коэффициентом армирования ниже ρcr трещины считаются нестабилизированными и упрочнение при растяжении оценивается по модели выдергивания (англ. Pull-Out Model, сокр. РОМ), описанной на Рис. 3b. Эта модель описывает поведение одиночной трещины с точки зрения немеханического взаимодействия между отдельными трещинами, игнорируя деформации растянутого бетона и предполагая такую же скачкообразную, идеально жёстко-пластичную диаграмму зависимости проскальзывания от сдвига, как в модели ТСМ. Это позволяет получить распределение деформаций (εs) в арматуре вблизи трещины для любого максимального напряжения (σsr) напрямую из уравнений равновесия. Учитывая, что расстояние между трещинами, работающими по нестабилизированной модели, неизвестно, средняя деформация (εm) вычисляется для любого уровня нагрузки между двумя точками с нулевым проскальзыванием, когда арматура в пределах трещины (lε,avg на Рис. 3b) достигает предела прочности (ft). Это позволяет получить следующие зависимости:
Предлагаемые модели дают возможность оценить поведение арматуры, находящейся в сцеплении с бетоном, которое в итоге будет учтено в расчёте. Такой характер работы (включая упрочнение при растяжении), присущий большинству европейских сталей (В500В с ft / fy = 1.08 и εu = 5%), показан на рисунках 3c-d.