Die Bemessung und Bewertung von Betonelementen erfolgt normalerweise auf Abschnitts- (1D-Element) oder Punktebene (2D-Element).
Dieses Verfahren ist in allen Normen für die Tragwerksplanung beschrieben, z.B. in EN 1992-1-1, und wird in der alltäglichen Konstruktionspraxis verwendet. Es ist jedoch nicht immer bekannt oder anerkannt, dass das Verfahren nur in Bereichen akzeptabel ist, in denen die Bernoulli-Navier-Hypothese zur Verteilung von ebenen Dehnung gilt (als B-Bereiche bezeichnet). Die Stellen, an denen diese Hypothese nicht zutrifft, werden als Diskontinuität oder gestörte Regionen (D-Bereiche) bezeichnet. Beispiele für B- und D- Bereiche von 1D-Elementen sind in Abb. 1 angegeben.
Dies sind z. B. Tragende Flächen, Teile, an denen konzentrierte Lasten aufgebracht werden, Orte, an denen eine abrupte Änderung des Querschnitts auftritt, Öffnungen usw. Bei der Bemessung von Betonstrukturen treffen wir auf viele andere D- Bereiche wie Wände, Brückenquerschnitte, Konsolen usw.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]In der Vergangenheit wurden semi-empirische Bemessungsregeln zur Dimensionierung von Diskontinuitätsbereichen verwendet.
Glücklicherweise wurden diese Regeln in den letzten Jahrzehnten durch Fachwerkmodelle (Schlaich et al., 1987) und Spannungsfelder (Marti 1985) weitgehend abgelöst, die in aktuellen Bemessungsnormen enthalten sind und heute häufig von Tragwerksplanern verwendet werden. Diese Modelle sind mechanisch belastbare und leistungsstarke Werkzeuge. Beachten Sie, dass Spannungsfelder im Allgemeinen kontinuierlich oder diskontinuierlich sein können und dass Fachwerkmodelle ein Sonderfall für diskontinuierliche Spannungsfelder sind.
Trotz der Entwicklung der Rechenwerkzeuge in den letzten Jahrzehnten werden Fachwerkmodelle im Wesentlichen immer noch bei Handberechnungen verwendet. Ihre Anwendung für reale Strukturen ist mühsam und zeitaufwändig, da Iterationen erforderlich sind und mehrere Lastfälle berücksichtigt werden müssen. Darüber hinaus eignet sich diese Methode nicht zur Überprüfung der Kriterien für die Gebrauchstauglichkeit (Verformungen, Rissbreiten usw.).
Das Interesse von Bauingenieuren an einem zuverlässigen und schnellen Werkzeug für die Bemessung von D-Bereichen führte zur Entscheidung, die neue Methode für kompatible Spannungsfelder zu entwickeln, eine Methode zur computergestützten Bemessung von Spannungsfeldern, die die automatische Bemessung und Bewertung von zur Belastung in der Ebene unterworfenen Strukturbetonbauteilen ermöglicht.
Das kompatible Spannungsfeldmethode (Original: Compatible Stress Field Method) ist ein kontinuierliches Analyseverfahren für FE-basierte Spannungsfelder, bei dem klassische Spannungsfeldlösungen durch kinematische Überlegungen ergänzt werden, d.h. der Dehnungszustand wird in der gesamten Struktur bewertet.
Daher kann die effektive Druckfestigkeit von Beton auf der Grundlage des Zustands der Querdehnung auf ähnliche Weise automatisch berechnet werden wie bei Druckfeldanalysen, die Druckentfestigung berücksichtigen (Vecchio und Collins 1986; Kaufmann und Marti 1998) und der EPSF-Methode (Fernández) Ruiz und Muttoni 2007). Darüber hinaus berücksichtigt die CSFM Zugversteifung, die den Elementen realistische Steifigkeiten verleiht, und deckt alle Vorschriften der Bemessungsnorm (einschließlich Aspekte der Gebrauchstauglichkeit und Verformungskapazität) ab, die von früheren Ansätzen nicht konsequent berücksichtigt wurden. Die CSFM verwendet gemeinsame einachsige konstitutive Gesetze, die in Bemessungsnormen für Beton und Bewehrung vorgesehen sind. Diese sind bereits in der Entwurfsphase bekannt, wodurch die Methode der Teilsicherheitsfaktoren verwendet werden kann. Daher müssen Tragwerksplaner keine zusätzlichen, häufig willkürlichen, Materialeigenschaften ausgeben, wie sie typischerweise für nichtlineare FE-Analysen erforderlich sind, wodurch die Methode perfekt für die technische Praxis geeignet ist.
Zur Förderung der Verwendung computergestützter Spannungsfelder durch Statiker sollten diese Methoden in benutzerfreundlichen Softwareumgebungen implementiert werden.
Zu diesem Zweck wurde die CSFM in IDEA StatiCa Detail implementiert: Eine neue benutzerfreundliche kommerzielle Software, die von der ETH Zürich und dem Softwareunternehmen IDEA StatiCa im Rahmen des Projekts DR-Design Eurostars-10571 gemeinsam entwickelt wurde.
1.1 Hauptannahmen und Einschränkungen
Das CSFM geht von fiktiven, rotierenden, spannungsfreien Rissen aus, die sich ohne Schlupf öffnen (Abb. 2a), und berücksichtigt das Gleichgewicht an den Rissen zusammen mit den durchschnittlichen Dehnungen der Bewehrung. Daher berücksichtigt das Modell maximale Beton- (σc3r) und Bewehrungsspannungen (σsr) an den Rissen, während die Betonzugfestigkeit (σc1r = 0) vernachlässigt wird, mit Ausnahme der versteifenden Wirkung auf die Bewehrung. Durch die Berücksichtigung der Zugversteifung wird die Simulation der durchschnittlichen Bewehrungsdehnungen (εm) ermöglicht.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}\)
Trotz ihrer Einfachheit wurde gezeigt, dass ähnliche Annahmen genaue Vorhersagen für bewehrte Bauteile liefern, die einer Belastung in der Ebene ausgesetzt sind (Kaufmann 1998; Kaufmann und Marti 1998), wenn die Bewehrung zur Vermeidung von Sprödbrüchen bei der Rissbildung führt.
Darüber hinaus steht die Nichtberücksichtigung einer Verteilung der Zugfestigkeit von Beton zur Grenzlast im Einklang mit den Prinzipien moderner Bemessungsnormen, die größtenteils auf der Plastizitätstheorie beruhen.
Die CSFM ist jedoch nicht für schlanke Elemente ohne Querbewehrung geeignet, da relevante Mechanismen für Elemente wie Aggregatverankerungen, Restzugspannungen an der Rissspitze und Dübelwirkung - alle direkt oder indirekt von der Zugfestigkeit des Betons abhängig – außer Acht gelassen werden. Während einige Bemessungsnormen die Bemessung solcher Elemente auf der Grundlage semi-empirischer Bestimmungen erlauben, ist die CSFM nicht für diese Art von potenziell spröden Strukturen vorgesehen.
1.2 Werkstoffmodell
1.2.1 Beton
Das in der CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den Gesetzen zur einachsigen Druckkonstitution, die in den Bemessungsnormen für die Bemessung von Querschnitten vorgeschrieben sind und nur von der Druckfestigkeit abhängen. Das in EN 1992-1-1 (Abb. 2c) angegebene Parabel-Rechteck-Diagramm wird in der CSFM standardmäßig verwendet. Konstrukteure können jedoch auch ein vereinfachtes, elastisches ideal plastisches Verhältnis wählen. Bei der Bewertung nach ACI 3018-04 kann nur das Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Parabel-Rechtecks verwendet werden. Wie bereits erwähnt, wird die Zugfestigkeit vernachlässigt, wie dies bei der klassischen bewehrten Betonbemessung der Fall ist.
Die effektive Druckfestigkeit wird für gerissenen Beton automatisch, basierend auf der Hauptzugspannung (ε1), mittels des Reduktionsfaktors kc2 bewertet, wie in Abb. 2c und e gezeigt. Das implementierte Reduktionsverhältnis (Abb. 2e) ist eine Verallgemeinerung des Vorschlags der fib Modellnorm 2010 für Schernachweise, der einen Grenzwert von 0,65 für das maximale Verhältnis von effektiver Betonfestigkeit zu Betondruckfestigkeit enthält, der für andere Lastfälle nicht anwendbar ist.
Unter Verwendung der Standardeinstellungen berücksichtigt die aktuelle Implementierung der CSFM in IDEA StatiCa Detail kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d.h. es wird ein unendlich plastischer Zweig berücksichtigt, nachdem die Spannungsspitze erreicht ist). Diese Vereinfachung macht die Überprüfung der Verformungskapazität von Strukturen, die bei Druck versagen, nicht möglich. Ihre finale Kapazität wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zu dem in Abb. 2e definierten Faktor für gerissenen Beton (kc2) die Zunahme der Sprödigkeit von Beton mit zunehmender Festigkeit anhand des in der fib Modellnorm 2010 definierten Reduktionsfaktors wie folgt berücksichtigt wird:
\[f_{ck,red} = k_c \cdot f_{ck} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}\]
\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]
wo:
kc – Globaler Reduktionsfaktor der Druckfestigkeit
kc2 – Reduktionsfaktor aufgrund von Querrissen
fck – Charakteristische Festigkeit des Betonzylinders (in MPa zur Definition von ηfc \( \eta_{fc} \)).
1.2.2 Bewehrung
Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die blanken Bewehrungsstäbe betrachtet, die typischerweise durch Bemessungsnormen (Abb. 2d) definiert sind. Die Definition dieses Diagramms erfordert lediglich, dass die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase bekannt sind (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Eine benutzerdefinierte Spannungs-Dehnungs-Beziehung kann ebenfalls definiert werden.
Zugversteifung wird berücksichtigt, indem das Verhältnis von Eingangsspannung zu Dehnung des blanken Bewehrungsstabs bearbeitet wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (εm) zu erfassen (Abschnitt 1.2.4).
1.2.3 Verifizierung der Verankerungslänge
Im Finite-Elemente-Modell für Lastfälle im GZT wurde ein Verbundschlupf zwischen Bewehrung und Beton eingeführt, unter Berücksichtigung des in Abb. 2f dargestellten vereinfachten konstitutiven Verhältnisses von starr zu perfekt plastisch, wobei fbd der Bemessungswert der finalen Verbundspannung ist, die durch die Bemessungsnorm für die spezifischen Verbundbedingungen festgelegt ist.
Dies ist ein vereinfachtes Modell mit dem alleinigen Zweck, die Verbundvorschriften gemäß den Bemessungsnormen (d.h. Verankerung der Bewehrung) zu überprüfen. Die Verringerung der Verankerungslänge bei Verwendung von Haken, Schlaufen und ähnlichen Stabformen kann, wie in Abschnitt 3.5.3 beschrieben, berücksichtigt werden, indem am Bewehrungsende eine bestimmte Kapazität definiert wird. Es ist zu beachten, dass für die Berechnung der Zugversteifung und der Rissbreite ein anderes Modell zum Verhältnis von Verbundschubspannung zu Schlupf angenommen wird. In solchen Fällen berücksichtigt das Modell durchschnittliche Verbundschubspannungen anstelle charakteristischer Werte, um das durchschnittliche Verhalten der Elemente zu erfassen.
1.2.4 Zugversteifung
Die Implementierung von Zugversteifung unterscheidet zwischen Fällen stabilisierter und nicht stabilisierter Rissmuster. In beiden Fällen gilt der Beton vor der Belastung standardmäßig als vollständig gerissen.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)
Stabilisierte Rissbildung
Bei voll entwickelten Rissmustern wird die Zugversteifung mit dem Zuggurtmodell (Tension Chord Model, TCM) eingeführt (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) - Abb. 3a - von dem gezeigt wurde, dass es trotz seiner Einfachheit hervorragende Verhaltensvorhersagen liefert (Burns 2012). Die TCM geht von einem abgestuften Verhältnis von starr-perfekter plastischer Verbundschubspannung zu Schlupf, mit τb = τb0 = 2 ∙ fctm für σs ≤ fy und τb = τb1 = fctm für σs > fy, aus. Das Durch das Behandeln jedes Bewehrungsstabes als Zuggurt – Abb. 3b und Abb. 3a - kann die Verteilung der Verbundsschub-, Stahl- und Betonspannungen und damit die Dehnungsverteilung zwischen zwei Rissen für jeden gegebenen Wert der maximalen Stahlspannungen (oder Dehnungen) an den Rissen ermittelt werden.
Bei sr = sr0 kann sich ein neuer Riss bilden; es bildet sich kein Riss, wenn in der Mitte zwischen zwei Rissen σc1 = fct. Folglich kann der Rissabstand um einen Faktor von 2 variieren, d.h. sr = λsr0, mit l = 0,5 ... 1,0. Unter der Annahme eines bestimmten Wertes für λ kann die durchschnittliche Dehnung des Gurtes (εm) als Funktion der maximalen Bewehrungsspannungen (d.h. Spannungen an den Rissen, σsr) ausgedrückt werden. Für das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die in der CSFM standardmäßig berücksichtigten blanken Bewehrungsstäbe gelten die folgenden analytischen Ausdrücke in geschlossener Form (Marti et al. 1998):
\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]
\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]
\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]
wo:
Esh – E-Modul bei Stahlentfestigung Esh = (ft – fy)/(εu – fy /Es) ,
Es – E-Modul der Bewehrung
Ø – Durchmesser des Bewehrungsstabes
sr – Rissabstand
σsr – Bewehrungsspannung an den Rissen
σs – aktuelle Bewehrungsspannungen
fy - Streckgrenze der Bewehrung
Die Implementierung der CSFM von IDEA StatiCa Detail berücksichtigt bei einer computergestützten Spannungsfeldanalyse standardmäßig den durchschnittlichen Rissabstand. Der durchschnittliche Rissabstand wird als 2/3 des maximalen Rissabstands (λ = 0,67) angenommen, was den Empfehlungen auf der Grundlage von Biege- und Zugversuchen entspricht (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983).
Die Anwendung der TCM hängt vom Bewehrungsanteil ab, und daher ist die Zuordnung einer geeigneten Betonfläche, die bei Zug zwischen den Rissen wirkt, zu jedem Bewehrungsstab von entscheidender Bedeutung. Es wurde ein automatisches numerisches Verfahren entwickelt, um den entsprechenden wirksamen Bewehrungsanteil (ρeff = As/Ac,eff) für jede Konfiguration, einschließlich der Schrägbewehrung, zu definieren (Abb. 4).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)
Nicht-stabilisierte Rissbildung
Risse in Bereichen mit geometrischen Bewehrungsanteilen < ρcr, d.h. der Mindestbewehrungsmenge, für die die Bewehrung die Risslast ohne Fließen tragen kann, werden entweder durch nichtmechanische Einwirkungen (z. B. Schrumpfen) oder durch das Fortschreiten kontrollierter Risse, durch andere Verstärkung, erzeugt. Der Wert dieser Mindestbewehrung wird wie folgt erhalten:
\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]
wo:
fy – Streckgrenze der Bewehrung
fct – Zugfestigkeit des Betons
n – Verhältnis der Module, n = Es/Ec
Für konventionellen Beton und Bewehrungsstahl beträgt ρcr ungefähr 0,6%.
Bei Bügeln mit Bewehrungsanteil < ρcr wird die Rissbildung als nicht stabilisiert angesehen, und die Zugversteifung wird mit Hilfe des in Abb. 3b beschriebenen Auszugsmodells (Pull-Out Model, POM) durchgeführt. Dieses Modell analysiert das Verhalten eines einzelnen Risses bei Annahme keiner mechanischen Wechselwirkung zwischen getrennten Rissen, wobei die Verformbarkeit von Beton unter Spannung vernachlässigt wird und das gleiche abgestufte Verhältnis von starr-perfekter plastischer Verbundschubspannung zu Schlupf angenommen wird, das von der TCM verwendet wird.
Dies ermöglicht es, die Dehnungsverteilung der Bewehrung (εs) in Rissnähe für jede maximale Stahlspannung am Riss (σsr) direkt aus dem Gleichgewicht zu erhalten.
Angesichts der Tatsache, dass der Rissabstand für ein nicht vollständig entwickeltes Rissmuster unbekannt ist, wird die durchschnittliche Dehnung (εm) für jedes Lastniveau über dem Abstand zwischen Punkten mit einem Null-Schlupf berechnet, wenn der Bewehrungsstab seine Zugfestigkeit (ft) am Riss (lε,avg in Abb. 3b) erreicht, was zu folgenden Abhängigkeiten führt:
Die vorgeschlagenen Modelle ermöglichen die Berechnung des Verhaltens der Verbundbewehrung, die final in der Analyse berücksichtigt wird. Dieses Verhalten (einschließlich Zugversteifung) für den häufigsten europäischen Bewehrungsstahl (B500B, mit ft / fy = 1,08 und εu = 5%) ist in Abb. 3c-d dargestellt.