Die Bewertung der Struktur mittels CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: Eine für Kombinationen der Gebrauchstauglichkeit und eine für den GZT. Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit geht davon aus, dass das finale Verhalten des Elements ausreichend ist und die Fließbedingungen des Materials auf dem Lastniveau der Gebrauchstauglichkeit nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Werkstoffmodelle (mit einem linearen Zweig des Spannungs-Dehnungs-Diagramms des Betons) für die Analyse der Gebrauchstauglichkeit, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern.
5.1 Materialien
5.1.1 Beton - GZT
Das in der CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den Werkstoffgesetzen für einachsigen Druck, die in EN 1992-1-1 für die Bemessung von Querschnitten, die nur von der Druckfestigkeit abhängen, vorgeschrieben sind. Das in EN 1992-1-1 (Abb. 26a) angegebene Parabel-Rechteck-Diagramm wird in der CSFM standardmäßig verwendet; Konstrukteure können jedoch auch ein vereinfachtes, elastisch ideal plastisches Verhältnis wählen (Abb. 26b). Wie es bei der Bemessung von klassischem Stahlbeton der Fall ist, wird die Zugfestigkeit vernachlässigt.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}\]
Unter Verwendung der Standardeinstellungen berücksichtigt die aktuelle Implementierung der CSFM in IDEA StatiCa Detail kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Druckbeton (d.h. nach Erreichen der Spannungsspitze wird ein plastischer Zweig mit εcu2 (εcu3) mit einem Wert von 5% berücksichtigt, während EN 1992-1-1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,35% annimmt). Diese Vereinfachung macht die Überprüfung der Verformungskapazität von Strukturen, die bei Druck versagen, nicht möglich. Ihre finale Kapazität wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zu dem in Abb. 2e definierten Faktor für gerissenen Beton (kc2, siehe Abb. 27)) die Zunahme der Sprödigkeit von Beton mit zunehmender Festigkeit anhand des in der fib Modellnorm 2010 definierten Reduktionsfaktors wie folgt berücksichtigt wird:
\[f_{cd}=\frac{f_{ck,red}}{γ_c} = \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]
\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]
wo:
kc – Globaler Reduktionsfaktor der Druckfestigkeit
kc2 – Reduktionsfaktor aufgrund von Querrissen
fck – Charakteristische Festigkeit des Betonzylinders (in MPa zur Definition von ηfc.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27\qquad The compression softening law.}}}\]
5.1.2 Beton - GZG
Die Analyse zur Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Werkstoffmodelle, die für die GZT Analyse verwendet werden. Es wird ein perfekter Verbund angenommen, d.h. die Verankerungslänge wird bei der Gebrauchstauglichkeit nicht überprüft.
Weiterhin wird der plastische Zweig der Spannungs-Dehnungs-Kurve von auf Druck belastetem Beton nicht berücksichtigt, während der elastische Zweig linear und unendlich ist. Das Gesetz zur Druckentfestigung wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit, verringern jedoch nicht die Allgemeinheit der Lösung, solange die resultierenden Grenzwerte für die Materialspannung bei Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Streckgrenzen liegen (wie vom Eurocode gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten, vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Anforderungen zur Überprüfung erfüllt sind.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]
Langfristige Auswirkungen
Bei der Analyse der Gebrauchstauglichkeit werden die langfristigen Auswirkungen von Beton unter Verwendung eines wirksamen unendlichen Kriechkoeffizienten (φ, standardmäßig mit 2,5 angenommen) betrachtet, der den Sekantenmodul der Elastizität des Betons (Ecm) wie folgt bearbeitet:
\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]
Bei der Betrachtung von langfristigen Auswirkungen wird zunächst ein Lastschritt mit allen ständigen Lasten, unter Berücksichtigung des Kriechkoeffizienten (d.h .unter Verwendung des wirksamen E-Mduls von Beton, Ec,eff) berechnet, und anschließend werden die zusätzlichen Lasten ohne den Kriechkoeffizienten berechnet (d.h. unter Verwendung von Ecm). Um kurzfristige Überprüfungen durchzuführen, wird zusätzlich eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den Kriechkoeffizienten berechnet werden. Beide Berechnungen für Langzeit- und Kurzzeitüberprüfungen sind in Abb. 28 dargestellt.
5.1.3 Bewehrung
Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die blanken Bewehrungsstäbe berücksichtigt, die typischerweise durch Bemessungsnormen (Abb. 29) definiert sind. Die Definition dieses Diagramms erfordert nur, dass die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase bekannt sind (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Wann immer bekannt, kann das reale Spannungs-Dehnungs-Verhältnis der Bewehrung (warmgewalzt, kaltverformt, abgeschreckt und selbsttemperiert, etc.) berücksichtigt werden. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung kann vom Benutzer definiert werden. In diesem Fall ist es jedoch unmöglich, den Effekt der Zugversteifung anzunehmen (eine Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich). Die Verwendung des Spannungs-Dehnungs-Diagramms mit horizontalem oberem Ast ermöglicht keine Überprüfung der strukturellen Haltbarkeit. Daher ist eine manuelle Überprüfung der Standardanforderungen an die Duktilität erforderlich.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\)
Zugversteifung (Abb. 30) wird automatisch berücksichtigt, indem das Verhältnis von Eingangsspannung zu Dehnung des blanken Bewehrungsstabs bearbeitet wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (εm) gemäß den in Abschnitt 1.2.4 dargestellten Ansätzen zu erfassen.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]
5.2 Sicherheitsfaktor
Die kompatible Spannungsfeldmethode entspricht modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur Eigenschaften von Standardmaterialien verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Format des Teilsicherheitsfaktors ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die eingegebenen Lasten berücksichtigt und die charakteristischen Materialeigenschaften unter Verwendung der jeweiligen Sicherheitsfaktoren reduziert, die in den Bemessungsnormen, genau wie bei der herkömmlichen Betonanalyse, vorgeschrieben sind. Werte der Sicherheitsfaktoren in EN 1992-1-1 Kap. 2.4.2.4 sind standardmäßig eingestellt, der Anwender kann sie jedoch in den Einstellungen ändern (Abb. 31).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad The setting of material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]
Lastsicherheitsfaktoren müssen vom Anwender in der Kombinationsregel für jede nichtlineare Lastfallkombination definiert werden (Abb. 32). Für alle in IDEA StatiCa Detail implementierten Vorlagen sind die Teilsicherheitsfaktoren bereits vordefiniert.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad The setting of load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]
Durch die Verwendung geeigneter, benutzerdefinierter Kombinationen von Teilsicherheitsfaktoren können Anwender auch mit der CSFM unter Verwendung der Methode des globalen Tragfähigkeitsfaktors rechnen (global resistance factor method, Navrátil, et al. 2017), dieser Ansatz wird in der Bemessungspraxis jedoch kaum verwendet. Einige Richtlinien empfehlen die Verwendung der Methode des globalen Tragfähigkeitsfaktors für nichtlineare Analysen. Bei vereinfachten nichtlinearen Analysen (wie der CSFM), bei denen nur die Materialeigenschaften erforderlich sind, die bei herkömmlichen Handberechnungen verwendet werden, ist es jedoch noch wünschenswerter, das Format Teilsicherheiten zu verwenden.
5.3 GZT Analyse
Die verschiedenen, nach EN 1992-1-1 erforderlichen, Überprüfungen werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Überprüfungen für den GZT werden für Betonfestigkeit, Bewehrungsfestigkeit und Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.
Die Betonfestigkeit bei Druck wird als das Verhältnis von aus der FE-Analyse erhaltener, maximaler Hauptdruckspannung σc3 zu Grenzwert σc3,lim ausgewertet:
\[\frac{σ_{c3}}{σ_{c3,lim}}\]
\[σ_{c3,lim} = f_{cd} = α_{cc} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = α_{cc} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = α_{cc} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]
\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]
wo:
fck – Charakteristische Betonzylinderfestigkeit
kc2 – Faktor für die Druckentfestigung (siehe 5.1.1)
γc – Teilsicherheitsfaktor für Beton, γc = 1,5
αcc – Koeffizient zur Berücksichtigung von langfristigen Auswirkungen auf die Druckfestigkeit
und von ungünstigen Auswirkungen, die sich aus der Art und Weise ergeben, wie die
Last aufgebracht wird. Der Standardwert ist 1,0
Die Bewehrungsfestigkeit wird sowohl bei Zug als auch bei Druck als das Verhältnis zwischen von Spannung in der Bewehrung an den Rissen σsr zu festgelegtem Grenzwert σsr,lim ausgewertet:
\[\frac{σ_{sr}}{σ_{sr,lim}}\]
\(σ_{c3,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}\)
\(σ_{c3,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}\)
wo:
fyk – Streckgrenze der Bewehrung,
k – Verhältnis von Streckgrenze ftk zu Fließspannung,
γs – Teilsicherheitsfaktor für Bewehrung γs = 1,15.
Die Verbundschubspannung wird unabhängig als das Verhältnis zwischen von durch FE-Analyse berechneter Verbundspannung τb und der finalen Verbundfestigkeit fbd, gemäß EN 1992-1-1 Kap. 8.4.2, ausgewertet:
\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\]
\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]
wo:
fctd – Bemessungswert der Zugfestigkeit des Betons. Aufgrund der zunehmenden
Sprödigkeit von hochfestem Beton, fctk, ist 0,05 auf den Wert für C60/75 begrenzt
η1 – Koeffizient in Bezug auf die Qualität des Verbundzustands und die Position des Stabes
während des Betonierens (Abb. 33):
η1 = 1,0 wenn „gute“ Bedingungen erreicht sind
η1 = 0,7 für alle anderen Fälle und für Stäbe in Strukturelementen, die mit
Gleitformen gebaut wurden, es sei denn, es kann nachgewiesen werden, dass
„gute“ Verbundbedingungen vorliegen
η2 – Bezogen auf den Stabdurchmesser:
η2 = 1,0 für Ø ≤ 32 mm
η2 = (132 - Ø)/100 für Ø > 32 mm
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad Description of bond conditions.}}}\]
Diese Überprüfungen erfolgen in Bezug auf die entsprechenden Grenzwerte für die jeweiligen Teile der Struktur (d.h. trotz einer einzigen Klasse sowohl für Beton als auch für Bewehrungsmaterial unterscheiden sich die finalen Spannungs-Dehnungs-Diagramme in jedem Teil der Struktur aufgrund von Auswirkungen von Zugversteifung und Druckentfestigung).
5.4 Teilbelastete Flächen
Bei der Bemessung von Betonstrukturen treffen wir auf zwei große Gruppen von teilbelasteten Flächen (PLA) - die erste besteht aus Auflagern, während die andere aus Verankerungsbereichen besteht. Gemäß den derzeit geltenden Normen für die Bemessung von bewehrten Betonstrukturen (EN 1992-1-1 Kap. 6.7, siehe Abb. 34) sollten lokales Quetschen des Betons und Querzugkräfte für teilbelastete Flächen berücksichtigt werden. Für eine gleichmäßig verteilte Last auf einer Fläche Ac0 kann die Druckkapazität von Beton je nach Bemessungsverteilungsfläche Ac1 um das max. Dreifache erhöht werden (gemäß dem neuen Eurocode-Konzept ist es möglich, die Tragfähigkeit um das bis zu Siebenfache zu erhöhen).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}\]
Die teilbelastete Fläche muss ausreichend mit einer Querbewehrung verstärkt sein, um die in dem Bereich auftretenden Querzugkräfte zu übertragen. Für die Bemessung der Querbewehrung in teilbelasteten Flächen wird die Fachwerkmethode nach Eurocode verwendet. Ohne die erforderliche Querbewehrung kann eine Erhöhung der Druckkapazität des Betons nicht in Betracht gezogen werden.
Teilbelastete Flächen in der CSFM
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]
Mit der CSFM ist es möglich, bewehrte Betonstrukturen, unter Berücksichtigung des Einflusses der zunehmenden Druckfestigkeit von Beton in teilweise belasteten Bereichen, zu bemessen und zu bewerten. Da die CSFM ein Wandmodell (2D) ist und die teilbelasteten Fläche eine räumliche Aufgabe (3D) sind, musste eine Lösung gefunden werden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Abb. 35). Ist die Funktion „teilbelastete Flächen“ aktiviert, wird die zulässige Kegelgeometrie nach Eurocode erstellt (Abb. 34). Alle geometrischen Kollisionen werden vollständig in 3D für die festgelegte Geometrie des Betonbauteils und die Abmessungen jeder teilbelasteten Fläche gelöst. Anschließend wird ein Rechenmodell der teilbelasteten Fläche erstellt.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}\]
Die Bearbeitung des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, vor allem die Abbildung von Eigenschaften auf das Finite-Elemente-Netz problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Finite-Elemente-Netz unabhängiger Ansatz eine geeignetere Lösung ist. Für die bekannte Druckkegelgeometrie (Abb. 35 und Abb. 37) werden absolut kohärente fiktive Streben erzeugt (Abb.35 und Abb.37). Diese Streben haben identische Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannungs-Dehnungs-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, die die Last über die teilbelastete Fläche allmählich in den Verteilungsbereich verteilt. Die Flächendichte der fiktiven Streben ist an jedem Teil des Kegels veränderlich und fügt einen fiktiven Betonbereich in Lastrichtung hinzu. Auf der Ebene der belasteten Fläche (Ac0) wird eine fiktive Betonfläche gemäß dem Verhältnis (mit Areal als Auflagerfläche im 2D-Computermodell) hinzugefügt, und dieser Bereich nimmt zur Bemessungsverteilungsfläche hin linear auf Null ab (Ac1). Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.
\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}} - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]
Die Tragfähigkeit der teilbelasteten Fläche wird entsprechend dem Verhältnis von Bemessungswert der verteilten Fläche zu belasteter Fläche gemäß EN 1992-1-1 (6.7) erhöht. Es sei daran erinnert, dass dies ein Entwurfsmodell ist, das den Spannungszustand über einen teilbelasteten Bereich, dessen tatsächlicher Fluss viel komplizierter ist, nicht genau beschreiben kann. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Lastverteilung auf das gesamte Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit des teilbelasteten Bereichs. Desweiteren werden in diesem Bereich Querspannungen korrekt eingeführt.
5.5 GZT Analyse
Bewertungen für GZT erfolgen für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen. Spannungen in Beton- und Bewehrungselementen gemäß EN 1992-1-1 werden auf ähnliche Weise wie für den GZT überprüft.
5.5.1 Spannungsbegrenzung
Die Druckspannung im Beton muss begrenzt sein, um Längsrisse zu vermeiden. Gemäß EN 1992-1-1 Kap. 7.2 (2) können Längsrisse auftreten, wenn das Spannungsniveau bei charakteristischer Lastkombination einen Wert k1fck überschreitet. Die Betonspannung bei bei Druck wird als das Verhältnis von maximaler Hauptdruckspannung σc3, die aus der FE-Analyse für Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit ermittelt wird, zum Grenzwert σc3,lim ausgewertet:
\[\frac{σ_{c3}}{σ_{c3,lim}}\]
\[σ_{c3,lim} = k_1\cdot f_{ck}\]
wo:
fck – Charakteristische Zylinderfestigkeit des Betons
k1 = 0,6
Es kann davon ausgegangen werden, dass unerwünschte Risse oder Verformungen vermieden werden, wenn bei charakteristischer Lastkombination die Zugspannung in der Bewehrung den Wert von k3fyk nicht überschreitet (EN 1992-1-1, Kap. 7.2 (5)). Die Festigkeit der Bewehrung wird als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen σsr zu angegebenem Grenzwert σsr,lim ausgewertet:
\[\frac{σ_{sr}}{σ_{sr,lim}}\]
\[σ_{sr,lim} = k_3\cdot f_{yk}\]
wo:
fyk – Streckgrenze der Bewehrung
k3 = 0,8
5.5.2 Durchbiegung
Durchbiegungen können nur für Wände oder isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Träger bewertet werden. In diesen Fällen wird der absolute Durchbiegungswert berücksichtigt (verglichen mit dem Ausgangszustand vor dem Belasten) und der maximal zulässige Durchbiegungswert muss vom Anwender festgelegt werden. Durchbiegungen an zugeschnittenen Enden können nicht nachgewiesen werden, da es sich im Wesentlichen um instabile Strukturen handelt, bei denen das Gleichgewicht durch Hinzufügen von Endkräften erreicht wird und Durchbiegungen daher unrealistisch sind. Kurzfristige (uz,st) oder langfristige (uz,lt) Durchbiegungen können berechnet und mit benutzerdefinierten Grenzwerten verglichen werden:
\[\frac{u_ z}{u_{z,lim}}\]
wo:
uz – Kurz- oder langfristige Durchbiegung, berechnet über FE Analyse
uz,lim – Grenzwert der benutzerdefinierten Durchbiegung
5.5.3 Rissbreite
Die Berechnung der Rissbreite und Rissrichtungen erfolgt nur für ständige Lasten, entweder kurz- oder langfristig. Die Überprüfung, unter Berücksichtigung der durch den Anwender festgelegten Grenzwerte, nach Eurocode wird wie folgt dargestellt:
\[\frac{w_ z}{w_{z,lim}}\]
wo:
w – Kurz- oder langfristige Rissbreite, berechnet über FE Analyse
wlim – Grenzwert der benutzerdefinierten Rissbreite
Wie in Abschnitt 4.2.1 dargestellt, gibt es 2 Wege zur Berechnung von Rissbreiten (stabilisierte und nicht stabilisierte Rissbildung). Im generellen Fall (stabilisierte Rissbildung) erfolgt die Berechnung der Rissbreite durch Integration der Dehnungen auf den 1D Elementen der Bewehrungsstäbe. Die Berechnung der Rissrichtung erfolgt dann von den 3 nahesten (vom Mittelpunkt des gegebenen finiten Elements (1D) der Bewehrung) Integrationspunkten der 2D Betonelemente. Auch wenn dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht mit den wirklichen Positionen der Risse übereinstimmt, gibt er jedoch representative Werte aus, die zu Ergebnissen für die Rissbreite führen, welche mit den Norm geforderten Werten für die Rissbreite, an der Position des Bewehrungsstabes, verglichen werden können.